特殊情形下線性模型異方差性的LM檢驗

郭彩霞

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009）

特殊情形下線性模型異方差性的LM檢驗

郭彩霞

（山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院，山西大同 037009）

考慮了特殊情形下具有異方差性的線性模型。首先導出了在模型中當異方差為線性函數(shù)時異方差檢驗的LM檢驗統(tǒng)計量及其性質(zhì)，然后舉例說明其有效性。

回歸分析；異方差性；LM檢驗

通常的回歸模型［1-3］都假設隨機誤差變量是獨立同分布的。對參數(shù)進行假設檢驗通常的方法有：Wald方法，似然比方法，拉格朗日乘子法［4-10］。本文提出了當異方差為線性函數(shù)時異方差性檢驗的LM檢驗統(tǒng)計量，檢驗法，即拉格朗日乘子法。它的應用面很廣。最后舉例說明該方法的功效。

1 LM檢驗法

考慮如下線性回歸模型：

響應變量Y＝（y1，…，yn）T協(xié)變量Xi＝（1，Xi1，…，Xip-1）T待估參數(shù)β＝（β0，β1，…，βp-1）T隨機誤差ε＝（ε1，…，εn）T協(xié)方差陣Σ的主對角元素（i＝1，…，n）都大于零且不全相等，其余元素全為零。稱模型（1）具有異方差性。

模型（1）是否具有異方差性即為如下統(tǒng)計假設檢驗：

σ2為誤差獨立同分布時的方差。假定具有如下形式：

其中σ（·）是一個可微函數(shù)，σ（α0）＞0且σ′（α0）＞0，α0和α＝（α1，…，αq）T為待估參數(shù)，Zi＝（zi1，…，ziq）T，q＝1，…p-1為影響方差εi變化的因素。

此時對于模型（1），假設檢驗（2）又可表述為：

LM檢驗法是將零假設條件看成一個約束條件，通過對有約束的極大似然函數(shù)的一階偏導數(shù)進行檢驗，對參數(shù)假設作出判斷，記θ＝（α0，α1，…，αq）T，＝（θT，νT）T，ν＝（β0，β1，…，βp-1）T，

考慮假設檢驗問題

H0∶hj（）＝0，j＝1，…，k，k＜p。

由（1）式可知，在備擇假設H1下，Y關于參數(shù)的對數(shù)似然函數(shù)

定理1 記參數(shù)ν＝（β0，β1，…，βp-1）′的極大似然估計為

若零假設H0成立，則的有約束極大似然估計H0近似于的無約束極大似然估計。令

即可得所求的LM檢驗統(tǒng)計量

根據(jù)王松桂［6］可以證明，當H0成立時，

2 應用舉例

模型：yi＝β0+β1xi+ei，ei～N（0，）。其中xi由如下方式生成：xi＝εi；ln（εi）～N（3，1），i＝1，…，n.。具有形式：＝σ2xi，i＝1，…，n。選擇樣本容量n＝20，30，40，50，60，70，80，每種不同的樣本容量選擇模擬重復1000次，由于異方差結(jié)構(gòu)中僅含有一個未知參數(shù)，故由（7）可知，LM檢驗統(tǒng)計量的漸進分布為分布。對顯著性水平10％，每次模擬計算相應的LM檢驗統(tǒng)計量的值，并與給定的顯著性水平下的臨界值相比，若該值大于臨界值，則拒絕零假設H0，記錄下1000次模擬中拒絕H0的次數(shù)的百分比。結(jié)果如表1：

表1 異方差結(jié)構(gòu)的模擬結(jié)果

結(jié)果表明，當樣本容量n≥40時，H0被拒絕的百分比大于或接近0.9。

故LM檢驗對n≥40是有效的。

［1］馮井艷，張志強，李華鵬.變系數(shù)模型誤差方差的估計［J］.山西大同大學學報：自然科學版，2010，26（1）：5-7.

［2］劉峰.部分線性模型的序列相關檢驗與異方差檢驗［D］.長沙：中南大學，2006.

［3］張霞峰.單指標模型的異方差檢驗［D］.上海：華東師范大學，2006.

［4］尹光霞.多元線性回歸模型中的異方差性問題［J］.湖北大學學報，2003，25（2）：121-125.

［5］茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［6］王松桂，陳敏.線性統(tǒng)計模型［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［7］童恒慶.理論計量經(jīng)濟學［M］.北京：科學出版社，2005.

［8］陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計引論［M］.北京：科學出版社，2007.

［9］吳喜之，王兆軍.非參數(shù)統(tǒng)計方法［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［10］范劍青，姚琦偉.非線性時間序列建模及應用［M］.北京：高等教育出版社，2005.

〔編輯 高?！?/p>

LM Tests for Heteroscedasticity of Some Linear Models

GUO Cai-xia
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

A general heteroscedastic regression model is considered in a special setting.In this model，the heteroscedastic function is a linear function.A LM test for heteroscedasticity is established at first.An example is presented to show the efficiency of the method.

regression analysis；heteroscedasticlty；LM tests

O212

A

1674-0874（2011）01-0005-02

2010-09-11

郭彩霞（1980-），女，山西左云人，碩士，助教，研究方向：泛函分析。