一種新型移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系快速構(gòu)建方法研究

宋孟軍 張明路 張建華

河北工業(yè)大學(xué)，天津，300130

0 引言

在對(duì)串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的過程中，需要建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系。傳統(tǒng)的構(gòu)建方法是依據(jù)D－H參數(shù)法則將坐標(biāo)系建立在機(jī)器人的轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)關(guān)節(jié)處，然后在此基礎(chǔ)上應(yīng)用相應(yīng)的坐標(biāo)系變換法則進(jìn)行相應(yīng)的坐標(biāo)系構(gòu)建[1－4]。這種方法在某些情況下影響了坐標(biāo)系構(gòu)建的多樣性，且給結(jié)構(gòu)多樣的串聯(lián)機(jī)器人的分析工作帶來過多的分析步驟，不僅影響了串聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)的效率，而且可能在某種程度上給后續(xù)的分析工作帶來一定的困難（如存在機(jī)器人機(jī)構(gòu)模型不一致的現(xiàn)象從而給分析工作帶來困難）。針對(duì)這個(gè)問題，本文提出冗余坐標(biāo)系的概念以解決串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系快速構(gòu)建的問題，從而為串聯(lián)機(jī)器人坐標(biāo)系的快速構(gòu)建提供一種新的解決方案；同時(shí)沿Y軸進(jìn)行坐標(biāo)變換，進(jìn)一步提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型構(gòu)建的效率。構(gòu)建冗余坐標(biāo)系及沿Y軸構(gòu)建運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，兩種方法均可提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系構(gòu)建的效率。

1 D－H法則坐標(biāo)系的構(gòu)建

首先，應(yīng)用D－H 法則[5－6]對(duì)一種多足移動(dòng)機(jī)器人的腿部構(gòu)建全局坐標(biāo)系，如圖1所示，其中連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量如表1所示。

圖1 基于D－H法則構(gòu)建坐標(biāo)系

表1 基于D－H法則連桿及關(guān)節(jié)變量參數(shù)

依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解公式可以求出多足機(jī)器人末端坐標(biāo)系相對(duì)于固定參考系的位姿解。求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，所得位姿解具體情況如表2所示。其中，c1＝cosθ1，s1＝sinθ1，c12＝cos（θ1＋θ2），s12＝sin（θ1＋θ2），余同。

表2 新型移動(dòng)機(jī)器人位姿

2 冗余坐標(biāo)系的構(gòu)建

冗余坐標(biāo)系就是建立在機(jī)器人非運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)處，為機(jī)器人整體運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系的構(gòu)建起到過渡作用的坐標(biāo)系，在機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，冗余坐標(biāo)系并不參與相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)（如移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)），即冗余坐標(biāo)系的變換始終為常量。

冗余坐標(biāo)系的構(gòu)建仍以本例多足移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象。首先構(gòu)建圖2所示全局坐標(biāo)系。

圖2 全局坐標(biāo)系構(gòu)建

仍依據(jù)圖1所示坐標(biāo)系構(gòu)建方法對(duì)多足移動(dòng)機(jī)器人的坐標(biāo)系進(jìn)行構(gòu)建，將基座固定坐標(biāo)系O0X0Y0Z0通過連桿坐標(biāo)系進(jìn)行傳遞，同時(shí)推導(dǎo)末端坐標(biāo)系O4X4Y4Z4的位姿形態(tài)，推導(dǎo)結(jié)果如表3所示。

表3 全局坐標(biāo)系的連桿及關(guān)節(jié)參數(shù)

推導(dǎo)進(jìn)行到坐標(biāo)系O3X3Y3Z3時(shí)，再依據(jù)D－H坐標(biāo)系的確定方法很難將坐標(biāo)系O3X3Y3Z3變換到坐標(biāo)系O4X4Y4Z4，因此本文將采用構(gòu)建冗余坐標(biāo)系的方法，在冗余坐標(biāo)系概念基礎(chǔ)上，構(gòu)建圖3所示的全局坐標(biāo)系。

圖3 冗余坐標(biāo)系構(gòu)建圖

如圖3所示，在圖2所構(gòu)建的坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，在原關(guān)節(jié)3的位置（O2X2Y2Z2）構(gòu)建冗余坐標(biāo)系O3X3Y3Z3，從而在表3推導(dǎo)結(jié)果的基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)末端坐標(biāo)系的位姿進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)結(jié)果如表4所示。

表4 冗余坐標(biāo)系的連桿及關(guān)節(jié)參數(shù)

由表4可以看出，每增加一個(gè)冗余坐標(biāo)系就會(huì)增加一個(gè)坐標(biāo)系的傳遞過程（即推導(dǎo)過程）。與表1所示傳遞推導(dǎo)過程相比較，冗余坐標(biāo)系的構(gòu)建簡化了全局坐標(biāo)系變換的規(guī)則，改變了變換的思路，從而有利于快速構(gòu)建運(yùn)動(dòng)學(xué)全局坐標(biāo)系，并且為較復(fù)雜的關(guān)節(jié)變換關(guān)系提供了良好的解決方案，有利于構(gòu)建具有復(fù)雜關(guān)節(jié)變換關(guān)系的坐標(biāo)系系統(tǒng)。

對(duì)全局坐標(biāo)系下的各個(gè)變換矩陣進(jìn)行求解[4]，可以求得上述各個(gè)傳遞推導(dǎo)過程的變換矩陣分別如下：

可以看出，增加了冗余坐標(biāo)系的變換矩陣與沒有增加冗余坐標(biāo)系的變換矩陣相比，變換矩陣的結(jié)構(gòu)得到了簡化，從而便于分析計(jì)算。

利用已經(jīng)求得的各個(gè)變換矩陣A1～A5，可以首先得出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程T5：

進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解如表5所示。

表5 新型移動(dòng)機(jī)器人冗余坐標(biāo)系下位姿

如圖1、圖3所示，在兩種建立全局坐標(biāo)系的方法中，基坐標(biāo)系所選擇的姿態(tài)均相同，而末端姿態(tài)略有不同，圖3建立的末端坐標(biāo)系O5X5Y5Z5與圖1建立的末端坐標(biāo)系O4X4Y4Z4，其姿態(tài)解并不完全相同，需進(jìn)行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換，如圖4所示。

圖4 末端坐標(biāo)系構(gòu)建圖

由圖4可以看出，經(jīng)過變換后的末端坐標(biāo)系與圖1構(gòu)建的坐標(biāo)系具有相同的位姿解。在表2的基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)坐標(biāo)系O6X6Y6Z6在基座固定坐標(biāo)系中的位置姿態(tài)進(jìn)行推導(dǎo)，結(jié)果如表6所示。

表6 末端連桿及關(guān)節(jié)參數(shù)

表6所示傳遞過程的變換矩陣可表示為

在變換矩陣A6的基礎(chǔ)上，可以得到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

同理，可以求得運(yùn)動(dòng)學(xué)方程T6的正解如表7所示。表7所列θ5與表2所列θ4為同一關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變量，即｜θ5｜＝｜θ4｜，而在各自的全局坐標(biāo)系中，兩變量所在坐標(biāo)系的Z軸相互夾角為180°。當(dāng)－θ5＝θ4時(shí)，將表2所得結(jié)果與表7所得結(jié)果進(jìn)行比較可知，兩坐標(biāo)系末端具有相同的位姿正解。

表7 基于冗余坐標(biāo)系的機(jī)器人位姿

3 冗余坐標(biāo)系的仿真驗(yàn)證

由前面分析可知，應(yīng)用冗余坐標(biāo)系構(gòu)建坐標(biāo)系所得的位姿結(jié)果與應(yīng)用D－H法則構(gòu)建坐標(biāo)系所得位姿結(jié)果一致，如表2和表7所示。由表2和表5可知，若兩種方法所得末端坐標(biāo)系不進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，則結(jié)果并不相同（圖5）。圖5所示為各個(gè)關(guān)節(jié)變量以不同的非線性函數(shù)進(jìn)行輸入時(shí)的情況（對(duì)正解隨機(jī)輸入的情況進(jìn)行模擬）。

圖5 各關(guān)節(jié)角度輸入情況

應(yīng)用D－H法則構(gòu)建的坐標(biāo)系下，各關(guān)節(jié)變量輸入如圖5所示，所得末端坐標(biāo)系的空間運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)的X、Y、Z坐標(biāo)在平面上的投影如圖6所示。

在應(yīng)用冗余坐標(biāo)系構(gòu)建方法所構(gòu)建的坐標(biāo)系下，各關(guān)節(jié)變量輸入如圖5所示，所得末端坐標(biāo)系的空間運(yùn)動(dòng)軌跡在平面內(nèi)的投影如圖7所示。

由圖6和圖7可知，由于構(gòu)建坐標(biāo)系的方法不同，導(dǎo)致部分關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的旋向并不相同。將θ5逆向旋轉(zhuǎn)，如圖8所示。將圖8所示角度應(yīng)用到冗余坐標(biāo)系構(gòu)建方法中，所得結(jié)果與圖6所示結(jié)果相一致。這也進(jìn)一步證明了冗余坐標(biāo)系建立的正確性。

圖6 D－H法則坐標(biāo)系末端軌跡投影輸出情況

圖7 冗余坐標(biāo)系末端軌跡投影輸出情況

圖8 θ5變換后各關(guān)節(jié)角度輸入情況

4 沿Y軸構(gòu)建坐標(biāo)系

沿Y軸構(gòu)建坐標(biāo)系，仍以本例多足移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象。

依據(jù)圖1所示坐標(biāo)系構(gòu)建方法對(duì)多足移動(dòng)機(jī)器人的坐標(biāo)系進(jìn)行構(gòu)建，將基座固定坐標(biāo)系O0X0Y0Z0通過連桿坐標(biāo)系進(jìn)行傳遞，仍對(duì)末端坐標(biāo)系O4X4Y4Z4的位姿形態(tài)進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)結(jié)果如表8所示。

表8 前兩關(guān)節(jié)變換的連桿及關(guān)節(jié)參數(shù)

推導(dǎo)進(jìn)行到坐標(biāo)系O3X3Y3Z3時(shí)，仍依據(jù)D－H坐標(biāo)系變換方法將坐標(biāo)系O3X3Y3Z3變換到坐標(biāo)系O4X4Y4Z4會(huì)存在一定的困難。本文將繼續(xù)分析坐標(biāo)變換規(guī)則，采用將運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系沿Y軸進(jìn)行變換的方法，構(gòu)建圖9所示的全局坐標(biāo)系。

圖9 應(yīng)用坐標(biāo)變換規(guī)則構(gòu)建全局坐標(biāo)系

如圖9所示，在圖1所構(gòu)建的坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，將關(guān)節(jié)3處坐標(biāo)系O2X2Y2Z2變換到關(guān)節(jié)4處坐標(biāo)系O3X3Y3Z3，沿Y軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。將Z軸直接變換到旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)4處，這樣便減少了變換步驟。如圖1所示，將關(guān)節(jié)3變換到關(guān)節(jié)4處須進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)變換，增加了變換的步驟。利用圖9所示方法對(duì)末端坐標(biāo)系的位姿進(jìn)行推導(dǎo)，推導(dǎo)結(jié)果如表9所示。由表9可知，坐標(biāo)系變換既繞Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移變換，同時(shí)又繞Y軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移變換。

表9 后兩關(guān)節(jié)變換的連桿及關(guān)節(jié)參數(shù)

下面依據(jù)D－H坐標(biāo)系的確定方法[4]和沿Y軸進(jìn)行坐標(biāo)系變換的方法相結(jié)合，對(duì)全局坐標(biāo)系下的各個(gè)變換矩陣進(jìn)行求解。由表8、表9和表1可知，兩種方法所對(duì)應(yīng)的前兩種關(guān)節(jié)變換矩陣相同，后兩種關(guān)節(jié)變換矩陣不同，上述各個(gè)傳遞過程的變換矩陣如下：

其中，A3Y、A4Y為在Y軸方向進(jìn)行坐標(biāo)變換后所得的變換矩陣，與沒有添加冗余坐標(biāo)系的變換矩陣相比，變換矩陣的計(jì)算過程得到了進(jìn)一步簡化，即轉(zhuǎn)換步驟得到了一定程度的簡化。

利用求得的變換矩陣A1Y～A4Y可以首先計(jì)算出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程T4Y：

進(jìn)而求得運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正解如表10所示。

表10 沿Y軸變換機(jī)器人位姿

如圖1和圖9所示，兩種建立全局坐標(biāo)系的方法中，基坐標(biāo)系選擇均相同，而末端姿態(tài)有所不同，即圖9建立的末端坐標(biāo)系O4X4Y4Z4與圖1所建立的末端坐標(biāo)系O4X4Y4Z4姿態(tài)并不完全相同，需進(jìn)行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換，如表11所示。

表11 末端坐標(biāo)系變換連桿及關(guān)節(jié)參數(shù)

由表11所進(jìn)行的變換可知，經(jīng)過變換后的末端坐標(biāo)系與圖1所構(gòu)建的末端坐標(biāo)系具有相同的位姿解，表11所示傳遞過程的變換矩陣可以表示為

在變換矩陣A5Y的基礎(chǔ)上，可以得到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程T5Y：

同理，可以求得運(yùn)動(dòng)學(xué)方程T5Y的正解如表12所示。

表12 沿Y軸變換機(jī)器人最終位姿

表12所列θ5與表2所列θ4為同一關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變量，即｜θ5｜＝｜θ4｜，且在各自的全局坐標(biāo)系中兩變量相差180°。當(dāng)－θ5＝θ4時(shí)，表2與表12將具有相同的結(jié)果，即兩坐標(biāo)系末端將具有相同的位姿正解。

通過以上求解證明可以發(fā)現(xiàn)，沿Y軸進(jìn)行坐標(biāo)系變換與使用D－H法則進(jìn)行坐標(biāo)系變換，兩種方法具有相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解結(jié)果。

5 結(jié)論

本文針對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過程中坐標(biāo)系快速構(gòu)建問題，提出了冗余坐標(biāo)系的概念，并對(duì)冗余坐標(biāo)系進(jìn)行了求解，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，研究結(jié)果表明，冗余坐標(biāo)系的構(gòu)建可以更加直接、快速地求解機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，并且可以為運(yùn)動(dòng)學(xué)求解提供較為準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

本文進(jìn)一步沿Y軸進(jìn)行了坐標(biāo)變換，構(gòu)建了多足移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，求解了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并證明了這種方法的正確性，為快速構(gòu)建運(yùn)動(dòng)學(xué)模型、求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程提出了另一種新的解決方案。

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