基于遺傳算法的公司生產(chǎn)銷售方案制定

安哲成，于廣瀛

(1.大連理工大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，遼寧大連116024;2.大連理工大學(xué)能源與動力學(xué)院，遼寧大連116024)

企業(yè)是從事生產(chǎn)、流通、服務(wù)等經(jīng)濟活動，以生產(chǎn)或服務(wù)滿足社會需要，實行自主經(jīng)營、獨立核算、依法設(shè)立的一種盈利性的經(jīng)濟組織。作為社會活動的重要參與者，企業(yè)承擔(dān)生產(chǎn)產(chǎn)品并將其推向市場、進行銷售的社會責(zé)任。企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品主要通過營銷部進行銷售［1］。

對于生產(chǎn)方案，在滿足已簽約的銷售合同量的基礎(chǔ)上，對意向簽約量有選擇地安排生產(chǎn)。對于銷售方案，企業(yè)的產(chǎn)品銷售共有三種途徑:第一，企業(yè)組織安排生產(chǎn)，完成已簽約的銷售合同;第二，企業(yè)希望營銷部門與意向簽約的客戶簽訂正式銷售合同;第三，企業(yè)希望營銷部門銷售更多產(chǎn)品(計劃外)。

關(guān)于利潤計算，對于所簽約的銷售合同和意向簽約量(計劃內(nèi))，企業(yè)根據(jù)銷售量向營銷部發(fā)放經(jīng)費(包括工資以及宣傳費用等);對于計劃外銷售的產(chǎn)品，實行承包制，營銷部向企業(yè)繳納利潤。產(chǎn)品的生產(chǎn)費用由企業(yè)承擔(dān)，與銷售有關(guān)的費用(如產(chǎn)品的宣傳費用等)由營銷部承擔(dān)。

在上述問題背景下，企業(yè)產(chǎn)品生產(chǎn)銷售方案的制定直接決定著企業(yè)及其營銷部的利潤收益。因此，優(yōu)化企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)銷售方案，使企業(yè)及營銷部獲得最大收益期望，具有重大的現(xiàn)實意義。

1 問題分析

在企業(yè)運營過程中，企業(yè)決策部門根據(jù)自身生產(chǎn)能力、已簽約訂單數(shù)量、意向簽約訂單數(shù)量和計劃外銷售量的可能情況制定生產(chǎn)方案。在這個問題中，意向簽約訂單數(shù)量和計劃外銷售量為滿足一定分布的隨機變量，在單次試驗中其具體取值不可預(yù)知，并且產(chǎn)品的生產(chǎn)先于意向訂單及計劃外訂單的簽約和這部分產(chǎn)品的銷售過程，也就是說，產(chǎn)品的生產(chǎn)方案不能夠根據(jù)這些隨機變量的具體取值而調(diào)整。

對于確定的生產(chǎn)和銷售方案，利潤等指標(biāo)是關(guān)于意向訂單簽約量和計劃外訂單簽約量等隨機變量的函數(shù)，即利潤等指標(biāo)也是隨機變量。為使確定的生產(chǎn)方案應(yīng)對不確定的意向簽約訂單和計劃外訂單的實際簽約情況，使用各種指標(biāo)的數(shù)學(xué)期望作為目標(biāo)函數(shù)并對其進行優(yōu)化［2－3］。數(shù)學(xué)期望本身是隨機變量的取值以其出現(xiàn)概率為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)，在指標(biāo)函數(shù)的各隨機自變量的已知分布函數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)期望能夠精確全面地反映各種可能發(fā)生的實際情況，為生產(chǎn)方案的制定提供依據(jù)。

2 模型建立

2.1 利潤計算

設(shè)企業(yè)共生產(chǎn) n種產(chǎn)品，用 xi(i=1，2，...，n)表示第i種產(chǎn)品的生產(chǎn)量;用yi表示第i種產(chǎn)品的訂購量;用zi表示第i種產(chǎn)品的銷售量，z1i表示計劃內(nèi)訂單的銷售量，z2i表示意向簽約訂單的銷售量，z3i表示計劃外的銷售量。設(shè)pi(z3i)為營銷部向企業(yè)繳納的關(guān)于第i種產(chǎn)品的計劃外銷售量z3i的利潤函數(shù);ci(xi)為第 i種產(chǎn)品的生產(chǎn)成本關(guān)于第i種產(chǎn)品產(chǎn)量xi的函數(shù);si(zi)為第i種產(chǎn)品的銷售額關(guān)于其銷售量zi的函數(shù);di(z1i+z2i)為企業(yè)下放營銷部的針對計劃內(nèi)產(chǎn)品的運營經(jīng)費關(guān)于第i種產(chǎn)品中計劃內(nèi)銷售量z1i+z2i的函數(shù);ui(zi)為第i種產(chǎn)品的宣傳費用關(guān)于i種產(chǎn)品銷售量zi的函數(shù)。

公司的利潤為公司的總收益和支出之差。公司的總收益為計劃內(nèi)銷售額和營銷部計劃外營業(yè)額上繳的金額之和，支出為生產(chǎn)總成本和根據(jù)計劃內(nèi)銷售量向營銷部發(fā)放的經(jīng)費。營銷部的利潤等于營銷部的收益減去營銷部的支出，其中:營銷部的總收益為計劃外訂單的銷售額與公司派發(fā)的計劃內(nèi)經(jīng)費之和;營銷部的支出包括計劃外訂單的宣傳經(jīng)費和上繳利潤。

對于不同的訂單，用z1ij表示第i種商品第j份計劃內(nèi)訂單的銷售量，N1i表示第i種商品的計劃內(nèi)訂單總數(shù);用z2ij表示第i種商品第j份實際簽約的意向訂單的銷售量，N2i表示第i種商品的實際簽約意向訂單總數(shù)，則全部的n種商品的計劃內(nèi)銷售額Sc等于各種商品的已簽約訂單銷售額與意向簽約訂單的實際銷售額之和:

設(shè)計劃外商品的銷售量為z3i，營銷部銷售計劃外產(chǎn)品后上交公司的利潤為P，則有

設(shè)所有產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為C，則有

設(shè)計劃內(nèi)產(chǎn)品下放營銷部的運營經(jīng)費為D，則有

式中:z1i表示第i種產(chǎn)品的已簽約訂單實際銷售總量;z2i表示該產(chǎn)品的意向簽約訂單的實際銷售總量，即

所以，公司的總利潤可用下式表示

同理，營銷部的總利潤為

其中，Ss為營銷部獲得的計劃外訂單銷售額，假設(shè)所有的計劃外銷量均來自于同一個訂單，故有

設(shè)所有產(chǎn)品的宣傳費用為U，有

2.2 約束條件

設(shè)y1i為各種產(chǎn)品的簽約合同量，各種產(chǎn)品的意向簽約量為y2i，計劃外訂購量為y3i。各種產(chǎn)品的簽約合同銷售量z1i、意向合同銷售量z2i、計劃外銷售量z3i的取值需要滿足銷售量不超過訂購量的約束條件

各種產(chǎn)品的產(chǎn)量和各種產(chǎn)品銷售量的關(guān)系應(yīng)該滿足如下關(guān)系

并且各種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)符合公司的生產(chǎn)能力，設(shè)公司生產(chǎn)能力的約束條件為

將滿足式(9)、(10)、(11)、(12)的(x1，x2，...，xn)的取值集合設(shè)為X，則集合X為優(yōu)化問題的約束條件。

2.3 優(yōu)化模型

2.3.1 公司利潤極大化值

在設(shè)計產(chǎn)品銷售分配方案時，銷售策略只針對超出已訂購訂單生產(chǎn)的產(chǎn)品，給出銷售給意向訂單和計劃外訂單的分配方案。制定銷售方案需要考慮訂貨量相同的訂單、銷售給意向訂單及計劃外訂單時公司和營銷部所獲得的利潤。

通過分析兩個部門的利潤和不同訂單的資金分配關(guān)系，發(fā)現(xiàn)當(dāng)產(chǎn)品出售給意向客戶時，企業(yè)拿到該訂單的銷售額，同時拿出一部分資金分給營銷部當(dāng)做經(jīng)費;當(dāng)產(chǎn)品出售給計劃外客戶時，營銷部獲得該訂單的銷售額，同時銷售部拿出一部分資金作為上繳利潤交給企業(yè)。可將兩個部門的收入關(guān)系簡化為:當(dāng)產(chǎn)品出售給意向訂單時，銷售額中取出一部分作為經(jīng)費分給營銷部，其余資金均歸企業(yè)所有;在銷售給計劃外客戶時，銷售額的一部分作為上繳利潤分給企業(yè)，剩下的資金歸營銷部所有。根據(jù)這種銷售額分配政策，得到了企業(yè)出售某一批商品給意向訂單和計劃外訂單時的利潤情況，如圖1所示。

圖1 產(chǎn)品銷售給不同類型訂單時公司獲得的利潤

從圖1中可看出，使公司自身獲得最大利潤，應(yīng)在滿足簽約訂單的基礎(chǔ)上，優(yōu)先考慮計劃內(nèi)的最大訂單。即:

1)簽約訂單為題目已知條件，即z1、S1已知;

2)滿足簽約訂單后，將剩下的x－y1件產(chǎn)品優(yōu)先售予意向訂單;若仍有剩余則考慮計劃外訂單，可得到z2，進而可得S2;

3)由2)可求得 z3，z3=x－ z1－ z2，于是求得P;

4)同樣，在已知 x、z后，可求 C、D;

5)具體求解公司利潤的公式如下:以企業(yè)利潤最大為條件的營銷方案為

式(13)即為在確定生產(chǎn)方案的情況下，根據(jù)xi和y1i、y2i、y3i制定的銷售方案。其中，z2i有可能不滿足所有的實際意向訂單。假設(shè)只提供某份訂單的一部分需求，不能滿足全部實際意向訂單的意向簽約產(chǎn)品銷售量z2i將被用來優(yōu)先隨機滿足一些訂單，零余部分用來滿足部分隨機的某份訂單的需求。這里將每份訂單大小造成的銷售額的偏差忽略不計。對于計劃外銷售量z3i，也使用此方法進行處理。

將式(13)帶入式(5)可得公司最大利潤Qc。

由2.2 的分析可知，Qc是關(guān)于 x1，x2，...，xn的函數(shù)，同時也是關(guān)于隨機變量x2ij、y3i的隨機變量函數(shù)，取Qc的數(shù)學(xué)期望E(Qc)作為目標(biāo)函數(shù)，故此時的生產(chǎn)方案優(yōu)化模型為

2.3.2 營銷部利潤極大化值收益的分析和簡化，可得到相同數(shù)量產(chǎn)品出售給意向訂單和計劃外訂單時營銷部的收益。

圖2 產(chǎn)品銷售給不同類型訂單時營銷部獲得的利潤

由圖2可知，營銷部爭取更多的計劃外訂單才能獲得更多的利潤。即將滿足已簽約訂單剩余的x－z1個產(chǎn)品優(yōu)先供給計劃外訂單，仍有剩余產(chǎn)品時再供給意向訂單。

按照x－z1與y3i的大小關(guān)系，可得表達式如下:

根據(jù)2.2的銷售方案中對公司和營銷部獲得

將式(15)代入式(6)可得營銷部最大化利潤Qs。

與上一模型相似，此模型中待優(yōu)化變量Qs與產(chǎn)品的生產(chǎn)量xi有關(guān)。通過優(yōu)化可求得營銷部的最大受益及此時的生產(chǎn)量方案。

2.3.3 兼顧公司和營銷部的利益

從2.3.1和2.3.2的分析可知，優(yōu)先接收意向訂單，公司可以獲得很多利潤，而營銷部獲得的收益較少;優(yōu)先接收計劃外訂單，則公司收入少，營銷部獲得利潤較多。所以如何分配兩類訂單的產(chǎn)品銷售數(shù)量直接影響企業(yè)與營銷部的收益平衡問題。在此引入分配比重的調(diào)整系數(shù)k，k∈(0，+∞)。當(dāng)?shù)趇種商品的生產(chǎn)量為xi，已簽約訂購量為y1i，意向訂購量為y2i，計劃外訂購量為y3i時，就有xi－y1i的產(chǎn)品可售給意向訂單和計劃外訂單，調(diào)整系數(shù)k則有的產(chǎn)品銷售給意向訂單，剩下)的產(chǎn)品銷售給計劃外訂單。k越大供給意向訂單的產(chǎn)品越多。通過建立評價指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)對生產(chǎn)量和分配比重進行優(yōu)化。評價體系既要使企業(yè)和營銷部的利潤盡可能大還要兼顧雙方的利潤分配，所以評價指標(biāo)包含公司和營銷部總利潤評價指標(biāo)及公平性評價指標(biāo)。

要求企業(yè)和營銷部的收益和盡可能大，二者利潤加和后進行歸一化得到利潤評價指標(biāo)為

式中:Qc為公司的利潤;Qs為營銷部的利潤;Qm為企業(yè)和營銷部的理論總收益的最大值。Qm用于對實際的Qc和Qs之和進行歸一化處理，實際計算中Qc和Qs之和不一定能真正達到Qm。這里的Qm為前兩問中優(yōu)化得到的企業(yè)和營銷部的最大利潤之和。

在考慮公平性時，需要權(quán)衡企業(yè)與營銷部的利潤比例。設(shè)企業(yè)與營銷部的利潤比為1∶δ時為最佳的利潤分配方案，歸一化后得到利潤分配公平性的評價指標(biāo)。

綜合考慮總最大收益和公平性指標(biāo)，將兩者的權(quán)重設(shè)為ω1和ω2，得到最終的評價指標(biāo)函數(shù)G。

同樣對指標(biāo)函數(shù)G求關(guān)于各隨機變量的數(shù)學(xué)期望，得到E(G)。G以產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量xi和調(diào)整系數(shù)ki為自變量的函數(shù)，優(yōu)化后可得最優(yōu)產(chǎn)品生產(chǎn)和銷售方案。

3 模型求解

3.1 蒙特卡洛方法求數(shù)學(xué)期望的近似解

以上模型均以含有隨機變量的指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望作為目標(biāo)函數(shù)。由于大多數(shù)優(yōu)化算法需要反復(fù)計算目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值，因而如何高效地求解這些指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望成為解決此問題的關(guān)鍵。假設(shè)每個客戶訂購每種商品的數(shù)量是相互獨立的隨機變量，故各指標(biāo)函數(shù)均包含大量的相互獨立的隨機變量。

為了優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)期望計算的時間復(fù)雜度，使用蒙特卡洛算法來近似計算指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望［4］。利用計算機隨機生成相互獨立的滿足各隨機變量分布的隨機數(shù)，最為各隨機變量的取值來模擬訂單情況，計算出此時的指標(biāo)函數(shù)值。反復(fù)多次按此方法計算指標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值，最后計算平均結(jié)果，作為指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的近似結(jié)果。

經(jīng)檢驗，計算1000次指標(biāo)函數(shù)的值取平均數(shù)得到的近似數(shù)學(xué)期望具有較好的穩(wěn)定性，并且在普通PC機上程序運行的時間小于20毫秒，可滿足計算需求。

3.2 遺傳算法優(yōu)化模型

2.3 中各優(yōu)化模型的約束條件為線性的，目標(biāo)函數(shù)是以隨機變量為分界點的分段函數(shù)，需通過蒙特卡洛算法計算其近似結(jié)果。同時，計算目標(biāo)函數(shù)需要用到的銷售額、生產(chǎn)成本等函數(shù)是通過表格的形式給出，沒有解析表達式。綜上所述，優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)具有高度非線性化、非連續(xù)等特點，難以使用求解線性優(yōu)化模型的單純型法或求解連續(xù)可微模型的牛頓法來進行優(yōu)化求解［5］。本文利用遺傳算法來求解此優(yōu)化模型［6－7］。

將生產(chǎn)量作為個體，將目標(biāo)函數(shù)即指標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望作為適應(yīng)度指標(biāo)。首先隨機生成若干個個體作為初始種群，每個個體對應(yīng)的基因包含每種產(chǎn)品計劃生產(chǎn)量或者每種產(chǎn)品的分配比重調(diào)整系數(shù)，通過計算每個目標(biāo)基因的適應(yīng)度，使適應(yīng)度較高的個體更容易被保留下來，產(chǎn)生后代。親代所產(chǎn)生的子代由其親代的基因通過交叉組合和變異產(chǎn)生，新的個體組成下一代繼續(xù)進行選擇。這樣經(jīng)過種群的演化和選擇可使整個種群向著適應(yīng)度最高的方向進化，最終得出適應(yīng)度最大即獲得收益最高的個體種群［8］。此時種群中每個個體的基因基本相同，對應(yīng)著收益最大時的計劃生產(chǎn)量和分配比重調(diào)整系數(shù)。

使用MATLAB R2009a中的gatool工具箱實現(xiàn)此算法，設(shè)定初始種群數(shù)量為20個個體。通過多次迭代目標(biāo)函數(shù)，選擇最后的結(jié)果，最為最終的近似最優(yōu)解。

4 計算實例

將某家電生產(chǎn)企業(yè)的數(shù)據(jù)帶入模型，進行求解，得到如圖3、4、5的結(jié)果。從圖中看到，公司的最大利潤收斂于1687.92萬元，營銷部的最大利潤收斂于472.41萬元，綜合評價指標(biāo)收斂于0.84(注:企業(yè)數(shù)據(jù)來源于2010年東北三省數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽A題附表)。

根據(jù)圖1、圖2、圖3得到最佳生產(chǎn)量方案，如表1、表2、表3所示。

表1 公司利潤最大時每種產(chǎn)品的最優(yōu)計劃產(chǎn)量 千件

表2 營銷部利潤最大時每種產(chǎn)品的最優(yōu)計劃產(chǎn)量 千件

表3 兼顧公司和營銷部收益時每種產(chǎn)品的最優(yōu)計劃產(chǎn)量及分配方案 千件

5 結(jié)論

本文針對企業(yè)生產(chǎn)銷售方案制定問題，分析了產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量、客戶訂單和產(chǎn)品銷售量三者之間的關(guān)系，給出了公司和營銷部的利潤計算公式。在平衡公司和營銷部二者利益時，引入了分配比重的調(diào)整系數(shù)。通過建立綜合評價指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)對生產(chǎn)量和分配比重兩個自變量進行優(yōu)化，得到二者的最優(yōu)化方案并且在利潤最大的同時，兼顧公平。在模型求解的過程中，蒙特卡洛算法的應(yīng)用降低了求解多維隨機變量數(shù)學(xué)希望的時間復(fù)雜度。遺傳算法的應(yīng)用體現(xiàn)了其求解高度非線性化目標(biāo)函數(shù)及約束條件下的運籌模型時的強大優(yōu)勢。計算實例表明模型求解的結(jié)果有較好的收斂性和近似性。

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