數(shù)學(xué)思想在地球運(yùn)動(dòng)類試題教學(xué)中的應(yīng)用舉隅

浙江省金華第一中學(xué)（321015） 王洋平

自從公元前二世紀(jì)古希臘地理學(xué)家兼天文學(xué)家埃拉托色尼用幾何學(xué)的方法計(jì)算地球的周長(zhǎng)，奠定了數(shù)理地理的初步基礎(chǔ)開始，就昭示著地理與數(shù)學(xué)的不解之緣。數(shù)學(xué)作為基本的問題解決工具，在中學(xué)地理教學(xué)中有著獨(dú)特的作用，其結(jié)果的定量使得很多地理結(jié)論有了事實(shí)的依據(jù)和明確的數(shù)據(jù)。地球運(yùn)動(dòng)類試題一直是教學(xué)中的一大重難點(diǎn)，也是復(fù)習(xí)教學(xué)的重頭戲。本文就結(jié)合地球運(yùn)動(dòng)類試題，談?wù)勔恍┗緮?shù)學(xué)思想在實(shí)際教學(xué)中的具體應(yīng)用。

一、代數(shù)方程思想

例1（2010·浙江文綜·6）讀圖1，某經(jīng)線上有一點(diǎn)M，虛線為過M點(diǎn)地面垂直線，L1、L2分別是二至日正午太陽(yáng)光線。當(dāng)角α、β之差小于6°時(shí)，M點(diǎn)的緯度范圍是

A．3°N～3°S

B．6°N～17.5°N

C．3°N～17.5°N或3°S～17.5°S

D．17.5°S～23.5°S或17.5°N～23.5°N

參考答案：A

1. 應(yīng)用代數(shù)方程步驟如下

根據(jù)材料和圖像可作圖2（作M地平線m），可知∠1=90°-α、∠2=90°-β，因此α-β=∠2-∠1，另?yè)?jù)材料可知∣∠1-∠2∣=∣αβ∣，即兩者差值絕對(duì)值小于6°。設(shè)該地緯度為X，則有下列方程組：

X+23.5°=90°-∠1 ........ (1)

23.5°- X=90°-∠2 ........ (2)

(1)- (2)可得

2X=∣∠1-∠2∣=（0,6）……即0可取而6不可取，得知X=（0,3），即緯度范圍為3°N～3°S。

2. 應(yīng)用過程探析

圖1

圖2

分析和求解問題時(shí)，由描述的地理情景或題給條件，根據(jù)地理概念和地理規(guī)律，從時(shí)間關(guān)系、空間關(guān)系以及相關(guān)地理事物之間的數(shù)值關(guān)系等，建立方程（組），這是該類問題解決的基本策略。方程組的最終確立需要借助于地理原理，即用數(shù)學(xué)方程（組）的形式把地理原理進(jìn)行定量表達(dá)，使地理結(jié)論更加明確和清晰，如方程(1)的確立就是建立于地理原理——兩地緯度差即為兩地正午太陽(yáng)高度差。而最終結(jié)論的呈現(xiàn)，則只要把方程組簡(jiǎn)單的解出即可。這樣使問題解決過程更加定量化，學(xué)生的模仿更加“有路可走”。

二、幾何圖形思想

例2（2010·金華模擬·9）圖3弧S為某局部經(jīng)線圈， M、N兩地緯度相同，O為該經(jīng)線圈圓心，某日太陽(yáng)光與S位于同一平面且相切于M。此日M地的正午太陽(yáng)高度為

A.0° B. α

C.90°—α D. 23.5°+α

參考答案：B

1. 應(yīng)用幾何圖形步驟如下

依據(jù)所給可知，M、N兩地緯度相同即兩點(diǎn)中間有極點(diǎn)，而要尋求的就是α與該地正午太陽(yáng)高度角之間的關(guān)聯(lián)。根據(jù)同一緯度、同一經(jīng)線圈的兩點(diǎn)同時(shí)接受太陽(yáng)，說明該地出現(xiàn)極晝，即分別為0點(diǎn)和12點(diǎn)時(shí)的太陽(yáng)光線圖。這是采用什么樣幾何圖形的決策基礎(chǔ)。

第一步：先用幾何圖像表示出兩地的太陽(yáng)高度，作M、N兩地的地平線，相交于P（如圖4）。

第二步：則有α+∠1+∠2+∠MPN=360°（四邊形內(nèi)角之和為360°）。

圖3

圖4

∠1+∠2=90°（兩角皆為地平線和球半徑的夾角），所以有α+∠MPN=180°。

第三步：∠3+∠MPN=180°（兩角相鄰為互補(bǔ)角），所以有α=∠3 。

第四步：∠3=∠4（兩角為平行光線上的同位角），所以有α=∠4。

而根據(jù)太陽(yáng)光與S位于同一平面且相切于M可知，M所在緯度是剛好出現(xiàn)極晝的緯度，而此時(shí)N即為正午12點(diǎn)，所以N地的太陽(yáng)高度（圖示∠4）即為M地的正午太陽(yáng)高度?？芍鸢笧锽。

2. 應(yīng)用過程探析

幾何圖形思想是指在對(duì)地理現(xiàn)象做出分析的基礎(chǔ)上，通過反映題給條件或相關(guān)情景的幾何圖形（如題中四邊形OMPN、太陽(yáng)光線構(gòu)成的一組平行線），應(yīng)用地理規(guī)律（如題中地平線與球半徑的夾角為直角、太陽(yáng)光線是平行光等）和數(shù)學(xué)知識(shí)（如題中四邊形內(nèi)角和為360°、同位角相等等）求解地理問題的方法。地球運(yùn)動(dòng)中凡涉及空間的問題都多少與幾何知識(shí)有關(guān)，諸如正午太陽(yáng)高度、零時(shí)太陽(yáng)高度、平行入射的太陽(yáng)光線、緯度及緯度差、經(jīng)線及經(jīng)度差、自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)軌道圖等都可以用幾何圖形表示，平時(shí)教學(xué)中也要多為學(xué)生用幾何圖形來表達(dá)相應(yīng)的地理概念，為學(xué)生建立比較好的空間想象力，同時(shí)恰當(dāng)?shù)睦脦缀螆D像相關(guān)原理建立和佐證地理數(shù)據(jù)的不同相關(guān)性，這樣為學(xué)生在解題和應(yīng)用的遷移打下很好基礎(chǔ)。

三、假設(shè)猜測(cè)思想

例3（2010·浙江模擬·9）圖5中圓弧代表赤道，O為中心點(diǎn)，其中甲乙兩點(diǎn)位于赤道，箭頭代表地球自轉(zhuǎn)方向。其中甲地兩側(cè)日期不同，乙地兩側(cè)晝夜情況不同。此時(shí)北京時(shí)間可能為

A．2：00 B． 8：00 C．18：00 D．22：00

參考答案：C

1. 假設(shè)猜測(cè)步驟如下

根據(jù)題中所給可知，甲是日界線與赤道交點(diǎn)，乙是晨昏線與赤道交點(diǎn)，但不管是晨昏線還是日界線均有兩條，但也只是各有兩條，所以假設(shè)猜測(cè)如下：

(1) 設(shè)乙為昏線與赤道交點(diǎn)，則乙地方時(shí)為18點(diǎn)。

(2) 設(shè)乙為晨線與赤道交點(diǎn)，則乙地方時(shí)為6點(diǎn)。

(3) 設(shè)甲為國(guó)際日期變更線與赤道交點(diǎn)，則甲位于180°附近。

圖5

(4) 設(shè)甲為昨天和今天交界線（即地方時(shí)為零點(diǎn)）與赤道交點(diǎn)，則甲地方時(shí)為0點(diǎn)。

上述的四種可能猜測(cè)中，根據(jù)甲在乙西側(cè)120°可知甲地方時(shí)必小于乙8小時(shí)，所以如果甲地地方時(shí)為0點(diǎn)，則乙地方時(shí)為8點(diǎn)，均不符合(1) (2)兩種對(duì)乙的假設(shè)，所以甲只能是符合(3)類假設(shè)，可知甲位于180°，而乙可以是上述的(1) (2)假設(shè)，可知甲(180°)地方時(shí)為10點(diǎn)或22點(diǎn)，所以北京時(shí)間即東八區(qū)為6點(diǎn)或者18點(diǎn)。

2. 應(yīng)用過程探析

在試題給出的信息不是完全充分的情況下，特別是在結(jié)論有多種可能性時(shí)，虛設(shè)猜測(cè)思想是非常好的策略。假設(shè)猜測(cè)思想在數(shù)學(xué)中非常常見，即具體就是按給出的情景假設(shè)多種可能，最終在數(shù)學(xué)原則或者地理原理下進(jìn)行對(duì)假設(shè)猜測(cè)的否定。一般否定原則來自于常見的地理概念、原理和現(xiàn)象，或者是題中所給條件（如上題甲乙夾角為120°）。應(yīng)該說地理中廣泛的用到假設(shè)猜測(cè)，如魏格納的大陸漂移學(xué)說等。同時(shí)假設(shè)猜測(cè)可以拓展學(xué)生思維，同時(shí)也是一種很好的解決問題策略。平時(shí)教學(xué)中也要給學(xué)生充分的展示空間和假想猜測(cè)時(shí)間，不要急著給學(xué)生明白直接的答案。

四、輔助圖像思想

例4（2010·全國(guó)卷Ⅰ·9）假設(shè)從空中R點(diǎn)看到地表的緯線m和晨昏線n，如圖6所示。R點(diǎn)在地表的垂直投影為S，則S地的緯度

圖6

A. 與M地相同 B. 介于M、N兩地之間

C. 高于N地 D. 低于M地

參考答案：D

1. 輔助作圖步驟如下

第一步：根據(jù)圖像，畫出一個(gè)符合題給圖像的緯線m和晨昏線n分布圖（如圖7）。

第二步：尋找空中俯視點(diǎn)R。根據(jù)看到的緯線為直線，可知空中俯視點(diǎn)R應(yīng)是緯線m的延長(zhǎng)線上（即圖7中的R點(diǎn)，當(dāng)然也可在左邊）。

第三步：尋找R點(diǎn)在地表的垂直投影S。垂直投影即為R點(diǎn)與地心的連線與地表的交點(diǎn)（圖7中的S點(diǎn)）。

作圖完成后，即可發(fā)現(xiàn)S點(diǎn)的緯度是低于M地。這樣通過簡(jiǎn)單添加輔助線和復(fù)原完整圖像的過程，解決問題與無(wú)形中。

圖7

2. 應(yīng)用過程探析

近幾年高考中，局部圖像是該類試題出現(xiàn)的基本載體，因此，在實(shí)際解題中，能更好的得到成像視角，恢復(fù)成完整圖像是作輔助圖的基本步驟，也是最主要的一步。該類圖像的一般成像視角是側(cè)視和俯視兩種，所以高考類圖像十之八九不會(huì)離開這兩類母圖。作輔助圖像時(shí)，還需要根據(jù)試題實(shí)際，根據(jù)地理原理，作出符合要求的輔助線或者添加陰影，從而通過作圖來探討圖中各要素之間的相互關(guān)系，或者直接得出結(jié)論。

綜上所述的四類數(shù)學(xué)思想應(yīng)為幾乎所有的高中學(xué)生所具備的，這為其具體應(yīng)用作了很好的鋪墊。同時(shí)地球運(yùn)動(dòng)類試題，因其難度而困倒不少高三文科學(xué)生，特別是針對(duì)文科類學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)知識(shí)和空間想象能力，導(dǎo)致在實(shí)際解題和理解該類現(xiàn)象時(shí)，遇到不少障礙。因此，在地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)的教學(xué)中，特別是高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中，需要針對(duì)該類知識(shí)進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思想滲透，多運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)方法表述地球運(yùn)動(dòng)知識(shí)和圖像，以便更好的讓數(shù)學(xué)思想、方法為地理服務(wù)。