基于區(qū)制轉(zhuǎn)移模型的中國短期利率動態(tài)行為研究

蔣祥林，李一凡

(復(fù)旦大學(xué) 金融研究院，上海 200433）

0 引言

短期利率動態(tài)行為對固定收益證券和利率衍生品的定價起著十分重要的作用，了解短期利率的動態(tài)有助于金融產(chǎn)品價格發(fā)現(xiàn)和利率風(fēng)險管理。在實際經(jīng)濟運行中，我國短期利率發(fā)生了顯著的結(jié)構(gòu)性變化，利率波動性發(fā)生了明顯的分界。因此，有必要將這種結(jié)構(gòu)性變化考慮到短期利率變動中。國內(nèi)現(xiàn)有的區(qū)制轉(zhuǎn)移利率模型的實證研究中，大多采用了月度或周數(shù)據(jù)。但從固定收益?zhèn)把苌a(chǎn)品的定價、風(fēng)險測度等運用上看，我們更需要了解短期利率的日波動特征。因此，本文的實證研究中采用了銀行間7天同業(yè)拆借市場每天的收盤利率。

本文主要采用區(qū)制轉(zhuǎn)移的單因素擴散模型分析我國短期利率動態(tài)特征。首先將區(qū)制轉(zhuǎn)移引入到單因素模型的漂移項和波動項部分中，可以捕捉短期利率的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移特征。然后，為估計利率水平和馬爾科夫轉(zhuǎn)移的聯(lián)合動態(tài)模型，采用A?t-Sahalia的方法給出了轉(zhuǎn)移密度函數(shù)近似的封閉函數(shù)表達式，并在此基礎(chǔ)上利用漢密爾頓算法得出對數(shù)似然函數(shù)。最后，運用短期利率的四種模型對我國銀行間短期拆借利率進行實證分析，考察不同數(shù)目區(qū)制約束下短期利率模型選擇，考察利率波動區(qū)制轉(zhuǎn)移特征，以及考察宏觀經(jīng)濟與波動高持續(xù)性之間的內(nèi)在關(guān)系。

1 短期利率模型

1.1 單因素擴散模型

本文采用的短期利率模型是CKLS單因素擴散模型

其中α0和α1是刻畫利率變化條件均值參數(shù)，β為利率波動，ρ度量利率波動對利率水平的敏感度，即為彈性參數(shù)。如果ρ≠0，則波動存在水平效應(yīng)。模型（1）表明利率變化具有（α0+α1rt）的漂移率和β的擴散率。可以看出短

其中，密度參數(shù)qij表示，當時間趨于0并且qij＞0條件下，馬爾科夫過程從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率速率。相應(yīng)的時間間隔Δ內(nèi)，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：期利率變化的條件均值和方差都依賴于利率水平。模型表明利率的長期均值為-α0/α1，并且向長期均值回歸的速度由α1表示，α1值越大，均值回歸速度就越快。

1.2 含區(qū)制轉(zhuǎn)移的單因素擴散模型

本文在利率的CLKS隨機過程基礎(chǔ)上引入一個區(qū)制狀態(tài)變量，模型變化為：

其中，區(qū)制狀態(tài)變量用st表示，它服從連續(xù)時間2狀態(tài)一階馬爾科夫鏈過程，并假設(shè)用low（L）和high（H）表示短期利率的低波動和高波動的2種不同的區(qū)制狀態(tài)。那么，短期利率在任何時刻可能處在低波動區(qū)制或高波動區(qū)制。

區(qū)制轉(zhuǎn)移模型使得短期利率變化的漂移項和擴散項的均是狀態(tài)依賴的，其主要特點就是允許利率在不同區(qū)制狀態(tài)具有不同的條件均值和方差。

1.3 馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣

驅(qū)動2狀態(tài)的區(qū)制狀態(tài)變量st馬爾科夫鏈過程的轉(zhuǎn)移概率密度矩陣用表示如下：

轉(zhuǎn)移概率pij=P(st=j|st-1=i),i,j=L,H。馬爾科夫鏈的穩(wěn)態(tài)概率密度：

本文假設(shè)轉(zhuǎn)移概率隨時間變化并且參數(shù)化為以下形式：

根據(jù)經(jīng)驗，累計正態(tài)分布函數(shù)和Logistic函數(shù)，exp(x)/[1+exp(x)]都可以用來表示轉(zhuǎn)移概率。如果di為正（負），那么在下一期隨著短期利率的增大，經(jīng)濟停留在相同狀態(tài)i下的概率增大（減少）。當dL=dH=0時，轉(zhuǎn)移矩陣就退化為時間不變的轉(zhuǎn)移概率矩陣。

2 極大似然估計方法

2.1 轉(zhuǎn)移密度函數(shù)

本文采用A?t-Sahalia(2002)的方法將未知函數(shù)形式的真實的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)轉(zhuǎn)化為近似的封閉形式的函數(shù)表達式。

在每種區(qū)制狀態(tài)下，短期利率的動態(tài)行為服從模型（1）。在這一部分，將忽略區(qū)制狀態(tài)st，先得到轉(zhuǎn)移密度函數(shù)p(rt+Δ|rt,st)的近似封閉式函數(shù)形式，該封閉函數(shù)將用于下面一部分似然函數(shù)的構(gòu)造。

首先，將短期利率rt過程用下面的等式轉(zhuǎn)化為單位擴散過程Yt：

其次，采用Ito’s引理得到單位擴散過程Yt：

最后，將單位擴散過程Yt變換成轉(zhuǎn)移密度函數(shù)近似標準正態(tài)分布的擴散過程Zt，那么就可以對pz進行Hermite擴展，如下：

其中，φ(z)為標準正態(tài)密度函數(shù)。Hermite多項式是正

條件期望可以使用無窮小操作因子AY進行泰勒展開：

因此，對于無限可導(dǎo)函數(shù)f，有：

利用上面的公式，py可以用下面表達式近似：

可根據(jù)時間間隔Δ的冪級數(shù)排列重新改寫（8）式，得到近似密度函數(shù)PY的第K階擴展表達式為：

實際上，大多數(shù)情況下K=1或2就能得到非常精確的密度函數(shù)。本文采用K=1，根據(jù)ρ的取值不同，可以得到不同的Yt：

根據(jù)Ito’s引理得到單位擴散過程Yt,在（10）中的任何情況都有(Yt;θ)=1，但是uY(Yt;σ)可根據(jù)（6）式的到不同的表達式。利用等式（9），轉(zhuǎn)移密度函數(shù)在（10）中的任何情況下都能得到。只要得到轉(zhuǎn)移密度函數(shù)，通過變量變換就可以得到r的轉(zhuǎn)移密度函數(shù)：

漢密爾頓算法

利用貝葉斯公式，樣本的對數(shù)似然函數(shù)表達式為：

rt是在時刻{t=iΔ|i=0,1,…,n}的短期利率的觀察值。首先根據(jù)（Hamilton 1994）的作法定義一個新的狀態(tài)變量，如下：

那么s*t就是4狀態(tài)連續(xù)時間馬爾科夫鏈，有轉(zhuǎn)移矩陣：

rt和的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：

2.3 平滑概率

根據(jù)極大似然估計的結(jié)果，得不到每一時刻經(jīng)濟將處于何種狀態(tài)，本文采用平滑概率來推斷在任意時刻t,經(jīng)濟處于高波動（H）還是低波動（L）的狀態(tài)。且平滑概率為：

其中IT代表全部信息集。

3 我國短期利率的實證分析

3.1 數(shù)據(jù)來源以及估計模型

3.2 實證結(jié)果

表1給出了上訴四個模型各參數(shù)的極大似然估計值及其標準誤差。從表1可以看出，模型1各參數(shù)估計值在5%水平上都很顯著，其它三個模型參數(shù)估計值在5%水平下大部分是顯著的。從模型2、3、4參數(shù)估計結(jié)果可以看出，兩種區(qū)制下均值回歸表現(xiàn)出顯著非對稱性。因為低波動區(qū)制狀態(tài)下，參數(shù)α0和α1在5%水平下不顯著的，因此在低波動區(qū)制時利率表現(xiàn)為未含趨勢的隨機游動過程，而在高波動區(qū)制狀態(tài)利率表現(xiàn)均值回歸行為。對于彈性參數(shù)ρ，可以發(fā)現(xiàn)在不同區(qū)制下均不為零，說明波動存在水平效應(yīng)。

從表1可以看出，從單一區(qū)制狀態(tài)模型（模型1）到具有二種區(qū)制狀態(tài)模型（模型2、3、4），對數(shù)似然值顯著增大。與模型1相比較，模型2、模型3和模型4的似然比統(tǒng)計量（LRT）分別為368.38、377.61和377.714，三個似然比統(tǒng)計量分別服從χ2(6)、χ2(8)和χ2(8)，0.5%的置信水平下，χ2(6)和χ2(8)的臨界值分別為18.55和21.95。因此，根據(jù)似然比LR檢驗，拒絕只有一種區(qū)制的原假設(shè)。說明短期利率的動態(tài)行為具有二種區(qū)制。從模型2到模型3和模型4，服從χ2(2)對數(shù)似然比（LRT）統(tǒng)計量對應(yīng)的p值分別為0.0099和0.0094。因此在1%的水平下，拒絕常數(shù)轉(zhuǎn)移概率的假設(shè)，說明馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率是時變的。模型3和模型4的對數(shù)似然值幾乎相等，表明時變的轉(zhuǎn)移概率無論是使用Logistic函數(shù)還是使用標準正態(tài)累計分布函數(shù)，對于模型的擬合效果沒有影響。從表1可以看出，模型3和4中的馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率的參數(shù)（c、d），dL在通常的顯著性水平均顯著不為零，dH在5%顯著性水平下均顯著為零，說明了轉(zhuǎn)移概率在底波動區(qū)制狀態(tài)下時時變的，而在高區(qū)制狀態(tài)下是常數(shù)，并且dL＞0。因此馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率隨著利率水平的增大（減少），下一期停留在低波動區(qū)制狀態(tài)的概率將增大（減少）。

注：表中各參數(shù)估計值均是用matlab軟件得出。小括號里的數(shù)值為相應(yīng)參數(shù)估計值的標準誤差，星號（*）表示對應(yīng)參數(shù)估計值在5%水平下顯著。

圖1、圖2和圖3分別為7天同業(yè)拆借利率水平圖、7天同業(yè)拆借利率差分圖和模型4的高波動區(qū)制平滑概率時變圖。由于模型3和模型4參數(shù)估計得到的平滑概率時變圖幾乎相同，這里只給出了模型4高波動區(qū)制平滑概率時變圖。從圖2可以看出我國銀行拆借利率具有兩種波動區(qū)制，高波動區(qū)制和低波動區(qū)制。如果在時刻t所觀察到的區(qū)制狀態(tài)i的平滑概率大于0.5，則可認為利率波動處于區(qū)制狀態(tài)i。從圖3可以看出，2004年第三季度，我國銀行拆借利率處于高波動區(qū)制，從2004年第四季度到2005年初利率處于低波動區(qū)制，從2005年第二季度到2006年第一季度利率基本處于高波動區(qū)制，2006年下半年利率基本處于低波動區(qū)制，從2007年到2008年上半年利率又基本處于高波動區(qū)制，而2008年下半年利率又基本處于低波動區(qū)制，但是利率從2009年至觀察結(jié)束日這一期間出現(xiàn)高低兩種波動區(qū)制的頻繁交替。

顯然利率出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性動態(tài)行為與我國宏觀經(jīng)濟狀況及貨幣政策有關(guān)。例如2005年第二季度到2006年第一季度的利率高波動區(qū)制可能與央行靈活的公開市場操作有關(guān),即2005年3、4月份央行票據(jù)發(fā)行規(guī)模有所增加，對沖力度進一步加大；5～8月份，央行適當調(diào)整公開市場操作力度，引導(dǎo)貨幣市場利率適度下行；9～12月份，中國人民銀行適時加大公開市場操作力度，控制貨幣供應(yīng)量增長速度，促進貨幣市場利率合理回升。也可能與央行分別在2005年3月17日將金融機構(gòu)在中國人民銀行的超額存款準備金利率下調(diào)到0.99%，7月22日、8月23日和10月15日三次上調(diào)小額外幣存款利率上限的利率調(diào)控政策有關(guān)。還可能是受到國內(nèi)消費需求較快增長，投資需求增速逐季加快宏觀經(jīng)濟的影響。2007年到2008年上半年的利率高波動區(qū)制可能與2007年央行10次上調(diào)存款準備金率共5.5個百分點，2008年1月25日再次上調(diào)0.5個百分點，并6次上調(diào)金融機構(gòu)人民幣存貸款基準利率的“從緊”貨幣政策以及我國投資增長過快，價格總水平上漲較快的國內(nèi)宏觀經(jīng)濟有關(guān)。事實上，宏觀經(jīng)濟越不穩(wěn)定，貨幣當局越可能對經(jīng)濟進行調(diào)控，債券市場作出反應(yīng)的可能性越大，從而未來的利率波動性越大。

而比較圖1和圖3可以看出，利率的高波動區(qū)制在低利率水平和高利率水平下均能發(fā)生。

4 結(jié)論

本文在單因素CKLS擴散模型基礎(chǔ)上引入了服從連續(xù)時間2狀態(tài)一階馬爾科夫鏈的區(qū)制狀態(tài)變量，對我國銀行間7日同業(yè)拆借收盤利率進行了實證研究。為實現(xiàn)帶有區(qū)制轉(zhuǎn)移變量的短期利率模型，本文采用A?t-Sahalia的方法給出了轉(zhuǎn)移密度函數(shù)p(rt+Δ|rt,st)的近似的封閉函數(shù)形式表達式，并利用漢密爾頓算法得出了所要優(yōu)化的對數(shù)似然函數(shù)，以及使用極大似然估計得出模型各參數(shù)的估計值。

本文的研究發(fā)現(xiàn)我國短期利率的波動不僅存在水平效應(yīng)還存在顯著的區(qū)制轉(zhuǎn)換。而且在單一區(qū)制模型中引入?yún)^(qū)制轉(zhuǎn)移變量后，似然比檢驗顯示模型的擬合能力有較大的提高，因此在研究我國短期利率的波動時不容忽視結(jié)構(gòu)性變化。另外，本文還發(fā)現(xiàn)我國短期利率在兩種不同的區(qū)制狀態(tài)下，其漂移項呈現(xiàn)非對稱性，即在低波動區(qū)制時利率明顯表現(xiàn)為未含趨勢的隨機游走過程，而在高波動區(qū)制則表現(xiàn)為均值回歸過程。并且馬爾科夫轉(zhuǎn)移概率在高低兩種不同的區(qū)制狀態(tài)下也呈現(xiàn)非對稱性，即在利率低波動區(qū)制時轉(zhuǎn)移概率為時變函數(shù)，而在高波動區(qū)制時轉(zhuǎn)移概率為常數(shù)。通過平滑概率分析發(fā)現(xiàn)，我國的宏觀經(jīng)濟環(huán)境以及央行的貨幣政策與我國短期利率的結(jié)構(gòu)性動態(tài)行為密切相關(guān)。因此可以通過預(yù)測國內(nèi)宏觀經(jīng)濟和貨幣政策方向，來推斷我國短期利率在將來某一時期或某時刻處在何種區(qū)制狀態(tài)的概率，這對于經(jīng)濟的穩(wěn)定與發(fā)展，貨幣政策的實施及風(fēng)險管理等方面有著重要指導(dǎo)作用。

圖1 IBO007每日觀察值

圖2 IBO007每日利差

圖3 平滑概率P（St=H|rt,…,r1）

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