復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)下Burr分布參數(shù)的估計(jì)

李俊華

（鄖陽(yáng)師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系，湖北 十堰 442000）

0 引言

Burr分布是精算師常用的八大分布之一，在社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、環(huán)境科學(xué)、保險(xiǎn)精算學(xué)等諸多領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛的應(yīng)用。所以對(duì)Burr分布性質(zhì)進(jìn)行深入的探討，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，引起了越來(lái)越多的人的注意。本文將討論復(fù)合LINEX對(duì)稱損失下雙參數(shù)Burr分布在參數(shù)α已知的情況下其狀態(tài)參數(shù)的Bayes估計(jì)，多層Bayes估計(jì)。

考慮考慮雙參數(shù)Burr分布的隨機(jī)變量X，其密度函數(shù)為

設(shè)(x1,x2,…,xn)為來(lái)自總體的i.i.d的樣本，則在樣本下的似然方程為

由于參數(shù)未知，人們使用各種方法對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。

1975年Varian提出了LINEX損失函數(shù)，定義為

其中，δ為參數(shù)θ的估計(jì)；a是該損失函數(shù)的尺度參數(shù)，a≠0，是一類非對(duì)稱損失函數(shù)。

在文獻(xiàn)[4]中提出了復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)，表達(dá)形式為

1 θ的Bayes估計(jì)

欲使R(δ)最小，只需E(L(θ,δ(|)x)幾乎處處達(dá)到最小。

又因?yàn)閔(δ)關(guān)于δ是嚴(yán)格凸函數(shù)，故δB(x)是其唯一的極小值點(diǎn)，進(jìn)而得到Bayes估計(jì)是唯一的。

2 給定先驗(yàn)分布下，θ的多層Bayes估計(jì)

證明：取Γ(a,b)為θ的先驗(yàn)分布時(shí)，θ的后驗(yàn)分布為：

故在復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)下θ的Bayes估計(jì)為

引理1在給定的Bayes決策中，對(duì)給定的先驗(yàn)分布π(θ)，θ的Bayes的δB(x)是唯一的，則它是容許的。

由于Burr分布可靠度估計(jì)在復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)下是嚴(yán)格凸的,其Bayes估計(jì)必是唯一的，由引理可知該估計(jì)是可容許的。

在定理2中求出的參數(shù)θ的估計(jì)δB(x)中仍然含有超參數(shù)a,b，由文獻(xiàn)[1]可知應(yīng)選擇a和b使得π(|λ a,b)為λ的減函數(shù)，再由Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性，可以確定超參數(shù)a和b的范圍為0＜a＜1，0＜b＜c（c＞0為常數(shù)）。

若超參數(shù)a,b的先驗(yàn)分布為均勻分布，即π(a,b)=1/c，此時(shí)θ的多層先驗(yàn)密度函數(shù)為

定理3對(duì)雙參數(shù)Burr分布，若θ的多層先驗(yàn)分布由（3）給出，則在復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)下θ的多層Bayes證明:根據(jù)Bayes定理，θ的多層后驗(yàn)密度為

在復(fù)合LINEX對(duì)稱損失函數(shù)下θ的多層Bayes估計(jì)為

[1]王學(xué).Linex損失下Burr分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[D].華中師范大學(xué)，2008,（5）.

[2]陳志強(qiáng)，韋程?hào)|，程艷霞.熵?fù)p失函數(shù)下Burr分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,24（3）.

[3]韋程?hào)|，韋師，蘇韓.復(fù)合LINEX對(duì)稱損失下Pareto分布形狀參數(shù)的E_Bayes估計(jì)及應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009,(17).

[4]張睿.復(fù)合LINEX損失下的參數(shù)估計(jì)[D].大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文，2007.