構造二次函數(shù)解決兩類最值問題

李鵬

關鍵詞：函數(shù)模型；發(fā)現(xiàn)規(guī)律；最值；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B

文章編號：1009-010X（2011）07-0064-01

最值問題是近幾年各地中考所關注的熱點．比如解決面積最大問題，求最大利潤問題往往需要“構造”二次函數(shù)模型，進而利用二次函數(shù)的有關知識加以解決。本文舉例說明，以幫助學生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握解決最值問題的方法。

一、求最大面積

例1:如圖1，平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E為BC上一動點（不與B重合），作EF⊥AB于F，F(xiàn)E，DC的延長線交于點G，設BE=x，△DEF的面積為S。

（1）求證：△BEF∽△CEG；

（2）求用x表示S的函數(shù)表達式，并寫出x的取值范圍；

（3）當E運動到何處時，S有最大值，最大值為多少？

二、求最大利潤

例2:某賓館客房部有60個房間供游客居住，當每個房間的定價為每天200元時，房間可以住滿。當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑。對有游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用。

設每個房間每天的定價增加x元。求：

（1）房間每天的入住量y（間）關于x（元）的函數(shù)關系式；

（2）該賓館每天的房間收費z（元）關于x（元）的函數(shù)關系式；

（3）該賓館客房部每天的利潤w（元）關于x（元）的函數(shù)關系式；當每個房間的定價為每天多少元時，w有最大值？最大值是多少？

所以，當x=210，w有最大值。此時，x+200=410，就是說，當每個房間的定價為每天410元時，w有最大值，最大值為15210元。

總評在上述問題中涉及到兩個變量，就是函數(shù)問題，可建立函數(shù)模型，結合函數(shù)的性質最終求解。對于這類中考的熱點問題“當某某為何值時，某某最大（或最小）？”解決的方法步驟為：

1.設變量x、y；

2.根據(jù)題意建立y與x的函數(shù)關系式；.

3.求出自變量的x的取值范圍；

4.利用函數(shù)的性質，求出數(shù)學問題的解（最值）；

5.檢驗解的合理性，得到實際問題的解（最值）。

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