離散型多變量條件極值問題新探

●張俊杰 劉海槐 (華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)

1 問題引入

(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

此題是1976年第4道IMO試題的變式，采用調(diào)整法即可求解.受文獻(xiàn)［1］的啟發(fā)，筆者把每個xi加強為正合數(shù)，得到了一些有趣的結(jié)論.

2 變式推廣

顯然，和為S的不同正整數(shù)分拆只有有限個，所以必有S的一個正合數(shù)分拆，使得u(n)取到最大值.

定義 若x1+x2+…+xn=S(n∈N*)，其中S∈ Z+，xi(i=1，2，…，n) 為正合數(shù)，則稱使u(n)取得最大值的數(shù)組(x1，x2，…，xn)為最優(yōu)解.

下面對u(n)max進(jìn)行探究.

為求u(n)max的值，可先探究v(n)min.容易驗證：當(dāng)S ∈ {1，2，3，5，7，11} 時，S不能表示成若干正合數(shù)之和，因此 v(n)min不存在;當(dāng) S ∈ {4，6，8，9，10，12}時，對應(yīng)的n和v(n)min如表1所示.

表1 對應(yīng)的n和v(n)min值

續(xù)表1

下設(shè)S≥13，u(n)取得最大值的最優(yōu)解為(x1，x2，…，xn)，此時 v(n) 取得最小值，則有

性質(zhì)1 xi≤9(1≤i≤ n).

證明若不然，則存在某個xj≥10(1≤j≤n).下面對xj進(jìn)行分類討論：

(1) 當(dāng)2|xj時，因為xj=(xj-4)+4，注意到xj-4為正合數(shù)，但

所以可用xj-4和4代替xj而使v(n)變小，這與(x1，x2，…，xn) 為最優(yōu)解矛盾;

同理可得，與(x1，x2，…，xn)為最優(yōu)解矛盾.

性質(zhì)2 不存在xi=xj=6(1≤i＜j≤n).

證明因為xi+xj=6+6=4+4+4(1≤i ＜ j≤ n)，但

與(x1，x2，…，xn) 為最優(yōu)解矛盾.

性質(zhì)3 不存在xi=xj=9(1≤i＜j≤n).

同理得出矛盾.

下面對S(S≥13)進(jìn)行分類討論：

(1)4|S，即S=4k，k∈ N*且k≥4.由上述3個性質(zhì)，易知當(dāng)x1=x2=… =xn=4時，v(n)取得最小值

此時n=k.

(2)4|S+3，即S=4k-3，k∈N*且k≥4.因為S為奇數(shù)，由性質(zhì)3知，存在唯一的某個xi=9(1≤ i≤ n)，不妨設(shè) xn=9，則

由(1)知，當(dāng)x1=x2=… =xn-1=4且xn=9時，v(n)取得最小值

(3)4|S+2，即S=4k-2，k∈N*且k≥4.因為S=4(k-2)+6為偶數(shù)，由性質(zhì)2和性質(zhì)3知，存在唯一的某個xi=6(1≤i≤n)，但不存在xj=9(1 ≤ j≤ n).不妨設(shè) xn=6，則

由(1)知當(dāng)x1=x2=… =xn-1=4且xn=6時，v(n)取得最小值

(4)4|S+1，即S=4k-1，k∈N*且k≥4.因為S為奇數(shù)，故存在唯一的某個xi=9(1≤i≤n)，不妨設(shè) xn=9，則

由性質(zhì)2，不妨設(shè)xn-1=6，則

由(1)知，當(dāng)x1=x2=… =xn-2=4，xn-1=6且xn=9時，v(n)取得最小值

結(jié)論當(dāng)S?{1，2，3，5，7，11} 時，對應(yīng)的n，v(n)min和u(n)max的值分別為表2所示(其中k∈N*).

表2 對應(yīng)的n，v(n)min和u(n)max值

設(shè)u(n)取得最大值的最優(yōu)解為(x1，x2，…，xn)，不妨設(shè)x1≤x2≤…≤xn，同理可得性質(zhì)1至性質(zhì)3，而且在變式2中還滿足：

性質(zhì)4 x1=4.

證明若不然，則x1=6或x1=9.倘若x1=6，因為

這與(x1，x2，…，xn) 為最優(yōu)解矛盾;倘若 x1=9，因為產(chǎn)生矛盾.故x1=4.

至此，變式2化歸為變式1的求解，下不贅述.

其實，還可以改變u(n)的形式和xi的條件限制，例如當(dāng)xi均為正奇合數(shù)時將得到一些有趣的新結(jié)論.請讀者自行探究.

［1］ 葉軍.數(shù)學(xué)奧林匹克教程［M］.長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2003.