例談中考閱讀題中的相似問題

210019 南師大附中新城初中 何君青

例談中考閱讀題中的相似問題

210019 南師大附中新城初中 何君青

《新課標》中明確指出數(shù)學在應用方面需要大力加強,鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑,使他們經(jīng)歷知識的形成過程.創(chuàng)新型閱讀試題是考查學生數(shù)學能力的最好題型之一,它對考察學生的閱讀理解能力、知識遷移能力、類比猜想能力、數(shù)學探究能力、數(shù)學創(chuàng)新意識等都有良好的作用.本文列舉幾例創(chuàng)新型閱讀題相似問題的應用.

1 相似問題中的相似點、強相似點

相似是初中數(shù)學體系中的重要內(nèi)容之一,它有著豐富的背景,它既是空間與圖形研究的對象,又是數(shù)與代數(shù)研究的對象,是集“數(shù)、形”于一身的數(shù)學概念.在中考中有著不容忽視的地位,常與圓、特殊四邊形、二次函數(shù)等眾多中考熱點、難點結(jié)合.相似三角形是其主要考查點,既可以單獨考查,也能與很多知識結(jié)合考查.

例1 如圖1,在四邊形ABCD的AB邊上任取一點E(點E不與點A、點B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成3個三角形.如果其中有2個三角形相似,我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點;如果這3個三角形都相似,我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強相似點.

問題1 若圖1中,∠A=∠B=∠DEC=50°,說明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點;

分析 本題題目給出了相似點的概念,是以往沒有接觸過的知識點,但閱讀后發(fā)現(xiàn)只要證明出相似就可以得到相似點,將未知轉(zhuǎn)化為已知,體現(xiàn)數(shù)學的類比思想、轉(zhuǎn)化思想.

∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點.

圖1

問題2 (1)如圖2,畫出矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點.(要求：畫圖工具不限,不寫畫法,保留畫圖痕跡或有必要的說明.)

(2)對于任意的一個矩形,是否一定存在強相似點？如果一定存在,請說明理由;如果不一定存在,請舉出反例.

分析 本題題目給出了強相似點的概念,類比相似點,本問第(1)小問即要作出一點使其劃分的三個三角形均相似,此處與相似概念、圓中“直徑對直角”結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)學知識的緊密聯(lián)系以及數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想.

解 (1)以CD為直徑畫弧,取該弧與AB的一個交點即為所求.

(2)對于任意的一個矩形,不一定存在強相似點,如正方形.

問題3 在梯形ABCD中,AD∥BC,AD ＜BC,∠B=90°,點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點,判斷AE與BE的數(shù)量關系并說明理由.

分析 本題未給出圖,對于很多學生而言難以解答,這就是創(chuàng)新型閱讀題考查學生數(shù)學能力的體現(xiàn),而且從題目中可知強相似點只能說明劃分的3個三角形均相似,但并未給出三角形各頂點如何對應,這是學生易漏解的地方,本題考查了學生的綜合數(shù)學能力以及分類討論的思想.

圖2

解 第一種情況(如圖3).

圖3

圖4

2 相似問題中的自相似點

2011年南京市中考試題第27題考查了“自相似點”的知識,題目先給出了自相似點的概念,隨后讓學生利用此概念解決了幾個相關問題,雖然此題難度不大,但得分率不高,主要原因是很多考生未能讀懂題意,或者平時在“題海訓練”下,沒有親歷過自主探究的過程,遇到創(chuàng)新閱讀題會費時,心理緊張,全部成功解決的概率大大降低.

例2 (2011年南京)如圖5,P為△ABC內(nèi)一點,連接PA,PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中,如果存在一個三角形與△ABC相似,那么就稱P為△ABC的自相似點.

圖5

問題1 如圖6,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB ＞∠A,CD 是AB上的中線,過點B作BE⊥CD,垂足為E,試說明E是△ABC的自相似點.

分析 第1問難度不大,學生根據(jù)題目便知道只要滿足以E點為頂點的一個三角形與△ABC相似即可,但找準這個三角形是關鍵,創(chuàng)新型閱

讀題要將平時獲取新知過程中所積累的經(jīng)驗與方法,加以充分運用.

解 在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是AB上的中線,

圖6

(1)如圖7,利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P(寫出作法并保留作圖痕跡);

(2)若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點,求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù).

分析 雖然本題難度并不大,但是對于一個全新的知識要讓學生在有限的時間內(nèi)完全理解,并寫出完整、準確的解答是需要有一定的數(shù)學素養(yǎng)及能力的,這源于平時的積累,要求學生平時就具備較高的思維能力、探究問題能力和合情推理的能力,本題立足于教材,全面考查了學生的數(shù)學素養(yǎng).

解 (1)作法如下：

圖7

1 涂榮豹,季素月.數(shù)學課程與教學論新編.南京：教育出版社,2007

2 章士藻.中學數(shù)學教育學.南京：江蘇教育出版社,1996

20110725)