阿基米德定律背后的原理
——談浮力 體積和質(zhì)量的起源

羅開(kāi)明 黃 剛

(贛州市南康中學(xué) 江西贛州 341400)

羅會(huì)仟

(中國(guó)科學(xué)院物理研究所 北京 100190)

力學(xué)之父阿基米德最為人熟知的故事就是他因發(fā)現(xiàn)皇冠的秘密而欣喜若狂地上街裸奔.這個(gè)秘密就是，當(dāng)把物體完全浸沒(méi)在水中時(shí)，物體即使有相同重量但不同材質(zhì)，體積便不同，那么排出的水量也不一樣.由此得出阿基米德定律:浸在液體(或氣體)里的物體受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被該物體排開(kāi)的液體的重量.這條定律又稱為浮力原理，實(shí)際上它并不完美，若仔細(xì)推敲里面一些詞語(yǔ)將會(huì)發(fā)現(xiàn)諸多隱含的物理原理.本文從阿基米德定律出發(fā)，繞到其背后去看一看究竟還有什么奧妙.

1 浮力的起源

先來(lái)看看阿基米德領(lǐng)悟到的秘密和阿基米德定律的異同之處.阿基米德把皇冠完全浸沒(méi)在水中，由于皇冠里面摻了銀，而且銀的密度要比金小，因此同等重量的皇冠體積就要更大一些，故而排出的水量要比純金打造的皇冠完全浸沒(méi)時(shí)排出的水量大.阿基米德這個(gè)秘密說(shuō)明的是，同等重量的物體密度大小可以通過(guò)排出的水量來(lái)衡量.要這么做的原因也在于物體的外形不規(guī)則，也就難以測(cè)量其體積.換而言之，阿基米德發(fā)現(xiàn)的不過(guò)是采用排水量來(lái)測(cè)量不規(guī)則外形物體體積的一種辦法——排出水的體積等于物體外形的體積.至此，仍然無(wú)法看出浮力如何衍生出來(lái)，甚至令人覺(jué)得阿基米德發(fā)現(xiàn)的秘密和浮力根本沒(méi)有任何關(guān)系.

再來(lái)看看阿基米德定律，它和牛頓第二定律類似.這條定律實(shí)際上就是對(duì)浮力的定義:浮力的方向是豎直向上的，浮力的大小等于物體排開(kāi)的液體的重量.用公式表述就是f=ρgV排.由此可見(jiàn)阿基米德當(dāng)年發(fā)現(xiàn)的秘密和所謂阿基米德定律的共同點(diǎn)在于——利用排開(kāi)液體的體積可以計(jì)算液體的質(zhì)量，從而進(jìn)一步計(jì)算排開(kāi)液體的重量［1］.如今人們已很清楚，浮力實(shí)際上就是浸在液體中的物體受到的所有液體壓力的合力，其根本起源在于液體中不同深度的壓強(qiáng)不同，而造成液體壓強(qiáng)不同的最根本的原因在于液體本身具有重力.假如液體連同浸在其中的物體一起處于失重狀態(tài)，那么很顯然物體將不再受到任何浮力.因?yàn)楦魈幰后w對(duì)物體的壓強(qiáng)為零或說(shuō)液體本身已不受到重力(選液體和物體系統(tǒng)為參考系，這是一個(gè)非慣性參考系)，但是此時(shí)物體仍然排開(kāi)了一定體積的液體.明白了浮力的真正起源，便很容易理解這個(gè)問(wèn)題了.也可以換一個(gè)角度來(lái)看浮力原理，如前所述它和牛頓第二定律非常類似，即定義了力的方向和大小.浮力原理即是

其中m'是排出液體的質(zhì)量，g是液體的重力加速度.因此和牛頓第二定律F=ma相比，這兩個(gè)定律本質(zhì)上完全一致.浮力原理又可以理解為，浮力等于液體的等效質(zhì)量乘以其等效重力加速度.等效質(zhì)量指的是排開(kāi)液體的質(zhì)量，等效重力加速度指的是液體所在參考系里物體的重力加速度.如此進(jìn)一步明確了浮力的起源:對(duì)于選定的參考系，若液體具有一定的重力加速度，它會(huì)對(duì)浸在其中的物體產(chǎn)生壓力，如果上下壓力不同，其所有壓力的合力就將形成浮力，它的方向和重力加速度方向相反，大小等于排開(kāi)液體的等效重量.推而廣之，若在失重的太空中，讓液體通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生向心加速度，那么它就會(huì)對(duì)浸在其中物體產(chǎn)生離心方向的浮力，而這個(gè)浮力的方向原則上并不一定是豎直向上——因?yàn)樵谔罩袩o(wú)法分辨“向上”還是“向下”.

2 體積的起源

如前所述，阿基米德發(fā)現(xiàn)的秘密，就是完全浸沒(méi)在液體中的固體體積等于排開(kāi)液體的體積，即V固=V排.要特別小心的是，這里的V固不過(guò)是固體外形的體積而已，并非等于組成該固體所有固態(tài)物質(zhì)的體積.據(jù)說(shuō)有個(gè)老婦人也拿了個(gè)金球要阿基米德鑒定真假，結(jié)果阿基米德給出的結(jié)論是，這不是純金的球.老婦人很氣憤，隨即一刀劈開(kāi)了球，原來(lái)球是空心的，組成球的材料卻仍然是貨真價(jià)實(shí)的純金.阿基米德失誤在于把空心部分的空氣體積也作為固體體積了.這個(gè)事例說(shuō)明，不同的物質(zhì)形態(tài)，其體積起源是有所區(qū)別的.

固態(tài)物質(zhì)，主要有晶態(tài)、非晶態(tài)和準(zhǔn)晶態(tài).晶體又分為單晶和多晶.下面文中所說(shuō)固體皆指晶體.單晶體之所以有規(guī)則的外形，是因?yàn)閺奈⒂^尺度上來(lái)看晶體內(nèi)部的原子堆積是具有規(guī)則的周期結(jié)構(gòu)的.組成固體的原子直徑一般是nm量級(jí).而固體材料中原子間距即原子間隙一般要比原子本身尺度大得多.因此固體體積大部分來(lái)源于原子間隙，不同的原子排列方式會(huì)給出不同密度、不同外形、不同硬度的材料.金剛石和石墨就是典型的例子，兩者微觀尺度上都是碳原子的規(guī)則陣列，但金剛石中碳原子排列方式是密堆結(jié)構(gòu)，而石墨則是層狀結(jié)構(gòu)，原子排列方式的不同導(dǎo)致金剛石的硬度要遠(yuǎn)大于石墨，當(dāng)然它們的密度也大不一樣.為什么原子排列方式可以多種多樣呢?這主要是因?yàn)樵油鈱觾r(jià)電子數(shù)和能量不同，從而形成了豐富的化學(xué)鍵結(jié)構(gòu).這些化學(xué)鍵的根本成因就是電子 －電子之間的庫(kù)侖相互作用.也就是說(shuō)，庫(kù)侖相互作用使得原子按照一定的方式規(guī)則排列，并存在較大的間隙，從而在宏觀上使得固體有了一定的體積.此外，原子自身的體積也是庫(kù)侖相互作用形成的，原子核大小只有10－6nm，電子直徑要更小，它們和原子的直徑相比都要小得多.實(shí)際上，原子的直徑約等于電子在原子核外運(yùn)動(dòng)形成的電子云直徑，也即原子核和電子間庫(kù)侖相互作用的最大間距.由此可見(jiàn)，固體的體積最根本的來(lái)源就是電荷之間的基本相互作用——庫(kù)侖相互作用.

眾所周知，固體中原子之間的共價(jià)鍵、離子鍵和金屬鍵都具有很強(qiáng)的鍵能，或者說(shuō)它們之間的庫(kù)侖相互作用較強(qiáng)，因此固體的體積一般較難改變［2］.通過(guò)施加外界應(yīng)力或者改變溫度，可以改變?cè)拥恼駝?dòng)能量、間距大小甚至排列方式，從而改變固體宏觀體積形狀，但體積變化相對(duì)值都很小.對(duì)于液體或者氣體，就大不一樣了.組成液體或者氣體的分子之間主要相互作用是范德瓦耳斯力，或稱分子鍵，它和化學(xué)鍵相比鍵能要小得多.這是液體或者氣體體積的主要成因，也說(shuō)明液體和氣體的體積可以很容易地改變.而范德瓦耳斯力主要來(lái)自分子間偶極矩的相互作用.分三種情況:第一種，若偶極矩是分子自身的極性也就是電荷分布不均勻性造成的;第二種，極性分子可使另外非極性分子極化產(chǎn)生偶極矩;第三種，均為非極性分子其相互作用來(lái)自分子中電子運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的瞬時(shí)偶極矩，它可以瞬時(shí)極化鄰近的分子并增強(qiáng)自身的瞬時(shí)偶極矩.偶極矩相互作用和電荷本身之間的相互作用相比，它只是個(gè)二級(jí)效應(yīng)，其強(qiáng)度要弱很多，但其本質(zhì)上還是庫(kù)侖相互作用形成的.因此，從微觀意義上來(lái)看，固體外形體積和流體體積的起源盡管有所不同，但其本質(zhì)都來(lái)自于庫(kù)侖相互作用.阿基米德能把它們從宏觀意義上等同，確實(shí)寓意深遠(yuǎn).

3 質(zhì)量的起源

在化學(xué)里，計(jì)算物質(zhì)質(zhì)量通常以它們的分子量或式量為基準(zhǔn)，為此只需要弄清楚分子量的本質(zhì)就知道了質(zhì)量的起源.計(jì)算分子量的時(shí)候，一般是將各個(gè)原子的原子量按照原子配比加權(quán)得出，由此可見(jiàn)，原子之間的庫(kù)侖相互作用對(duì)分子質(zhì)量貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì).那么原子量又如何得出呢?定義質(zhì)子質(zhì)量為1原子質(zhì)量單位(u)，中子質(zhì)量和質(zhì)子質(zhì)量幾乎相等.原子量一般等于或大于原子核質(zhì)子數(shù)加中子數(shù)，大于的那一小部分來(lái)源于電子質(zhì)量，電子質(zhì)量是質(zhì)子質(zhì)量的，即電子也貢獻(xiàn)了一小部分原子量，而電子和原子核之間的庫(kù)侖相互作用對(duì)原子量幾乎沒(méi)有貢獻(xiàn).那么，質(zhì)子和中子的質(zhì)量來(lái)自于什么?組成質(zhì)子和中子的粒子是夸克，每個(gè)質(zhì)子和中子都是由3個(gè)夸克組成的.有意思的是，3個(gè)夸克質(zhì)量之和要遠(yuǎn)小于質(zhì)子或中子的質(zhì)量.似乎質(zhì)子或中子的質(zhì)量就此“失蹤”了.經(jīng)物理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，夸克之間的相互作用要比庫(kù)侖相互作用強(qiáng)很多，稱之為強(qiáng)相互作用.質(zhì)子和中子質(zhì)量大部分就來(lái)自夸克之間的強(qiáng)相互作用.夸克之間的強(qiáng)相互作用非常奇怪，無(wú)論增大還是減小夸克之間的間距，都將大大增加它們之間的相互作用強(qiáng)度，這使得人們無(wú)法觀測(cè)到獨(dú)立的夸克;至于夸克的內(nèi)部結(jié)構(gòu)就更難探測(cè)了.總之，物質(zhì)的質(zhì)量大部分起源于質(zhì)子和中子內(nèi)部夸克之間的強(qiáng)相互作用，而并非是組成物質(zhì)所有微粒質(zhì)量的總和［3］.這里用到的一個(gè)原理就是愛(ài)因斯坦質(zhì)能關(guān)系E=mc2，即相互作用能量和質(zhì)量實(shí)際上存在等價(jià)關(guān)系.

至此，明白了浮力公式f=ρgV排=m'g中體積和質(zhì)量的來(lái)源，它們一個(gè)來(lái)自于庫(kù)侖相互作用，一個(gè)來(lái)自于強(qiáng)相互作用.所謂相互作用，也就是力.也就是說(shuō)，體積和質(zhì)量都是起源于力.公式左邊是一個(gè)力——浮力，公式右邊物理量的基本含義其實(shí)還是力，因此所謂浮力公式就是力的定義和力的詮釋而已.至此，可以清楚地認(rèn)識(shí)到阿基米德定律實(shí)際上就是說(shuō)明了浮力和自然界其他相互作用力的比例關(guān)系.自然界各種力實(shí)際上都可以最終歸結(jié)為四類基本相互作用力，它們是強(qiáng)相互作用、弱相互作用、電磁相互作用和引力相互作用［4］.如今，物理學(xué)家已經(jīng)可以把前三者相互作用很好地統(tǒng)一起來(lái)描述;而如何納入引力相互作用而得到終極理論模型，正是新世紀(jì)物理學(xué)最前沿的課題之一.

1 朱鋼，戴顯熹.廣義阿基米德定律的理論推導(dǎo)和適用條件.大學(xué)物理，2004，23(8):13 ～15

2 (美)L·鮑林著，盧嘉錫，等譯.化學(xué)鍵的本質(zhì).上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1966.212～246

3 王青.再論質(zhì)量的起源.物理，2009，38(10):699～706

4 馮端，金國(guó)鈞.凝聚態(tài)物理學(xué)中的基本概念.物理學(xué)進(jìn)展，2000，20(1):1 ～ 21