最大項與最小項的性質(zhì)分析與研究

孫振川

（棗莊學(xué)院 機電工程學(xué)院，山東 棗莊 277160）

最大項與最小項的性質(zhì)分析與研究

孫振川

（棗莊學(xué)院 機電工程學(xué)院，山東 棗莊 277160）

為了設(shè)計實際的數(shù)字電路，在分析了邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式-最小項之和和最大項之積的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，運用反演定理和對偶定理對最大項和最小項的性質(zhì)進(jìn)行了分析和研究.通過理論推導(dǎo)可以看出，運用反演定理和對偶定理，可以從一種新的角度來理解最大項與最小項的性質(zhì)，為更好地理解邏輯代數(shù)基礎(chǔ)，更好地設(shè)計數(shù)字電路提供了新的思路.

最大項；最小項；反演定理；對偶定理

1 引言

數(shù)字電路的設(shè)計需要設(shè)計者具有良好的邏輯代數(shù)基礎(chǔ).只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值邏輯.當(dāng)兩個二進(jìn)制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時，它們之間可以按照指定的某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運算.1849年英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾首先提出了進(jìn)行邏輯運算的數(shù)學(xué)方法—布爾代數(shù)，被廣泛應(yīng)用于解決開關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計中[1].

在邏輯代數(shù)基礎(chǔ)中，最大項和最小項是兩個基本又重要的概念.最大項之和與最小項之積是邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式.反演定理和對偶定理作為邏輯代數(shù)的基本定理，在邏輯函數(shù)式的化簡中發(fā)揮著重要的作用.本文用一種獨特的角度，將反演定理與對偶定理兩個邏輯代數(shù)的基本定理和最大項與最小項兩個邏輯代數(shù)基礎(chǔ)中的重要概念聯(lián)系起來，運用兩個基本定理來分析和研究兩個重要概念.分析過程表明，運用反演定理和對偶定理，能夠從一種新的角度，更加深刻地理解最大項與最小項的性質(zhì)，為更好地理解邏輯代數(shù)基礎(chǔ)，更好地設(shè)計數(shù)字電路提供了理論基礎(chǔ).

2 反演定理和對偶定理

對于任意一個邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成 1,1換成 0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是Y'.這個規(guī)律稱為反演定理.

在使用反演定理時，需要注意以下兩個規(guī)則：

①仍需遵守“先括號、然后乘、最后加”的運算優(yōu)先次序.

②不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變.

反演定理的一個重要應(yīng)用就是對一個相對復(fù)雜的邏輯式求反.舉例如下：

若Y=（（AB'+C）'+D）'+C，根據(jù)反演定理，可直接得出Y'=（（（A'+B）C'）'D'）'C'.

若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等，這個規(guī)律稱為對偶定理.

對偶式按照如下規(guī)則定義：對于任何一個邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成 1,1換成0，則得到一個新的邏輯式Y(jié)D，這個YD就稱為Y的對偶式.

對偶定理的一個重要應(yīng)用就是通過證明兩個邏輯式的對偶式相等來證明兩個邏輯式相等.舉例如下：

若證明A+BC=（A+B）（A+C），因為A+BC的對偶式是A（B+C），（A+B）（A+C）的對偶式是 AB+AC，因為 A（B+C）=AB+AC，所以 A+BC=（A+B）（A+C）.

3 最小項及其性質(zhì)[2]

在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項.A、B、C三個變量的最小項有 A'B'C'、A'B'C、A'BC'、A'BC、AB'C'、AB'C、ABC'、ABC共 8個.n變量的最小項應(yīng)有2n個.輸入變量的每一組取值都使一個對應(yīng)的最小項的值等于1.

最小項的性質(zhì)如下：

（1）在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1.

（2）全體最小項之和為1.

（3）任意兩個最小項的乘積為0.

（4）只有一個因子不同的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子.

4 最大項及其性質(zhì)

在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項.A、B、C三個變量的最大項有（A'+B'+C'）、（A'+B'+C）、（A'+B+C'）、（A'+B+C）、（A+B'+C'）、（A+B'+C）、（A+B+C'）、（A+B+C）共 8個.n變量的最大項應(yīng)有 2n個.輸入變量的每一組取值都使一個對應(yīng)的最大項的值等于0.

最大項的性質(zhì)如下：

（1）在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且僅有一個最大項的值為0.

（2）全體最大項之積為0.

（3）任意兩個最大項之和為1.

（4）只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和.

華譯《史記》可讀性強，為了讓讀者以更簡單的方式閱讀文本，因此譯者沒有加入很多的腳注以及文后注釋，而是直接以簡單易懂的隨文注釋來幫助讀者閱讀。

5 反演定理與對偶定理在最大項和最小項的性質(zhì)中的分析[3,4]

在三變量 A、B、C的最小項中，當(dāng)A=1、B=0、C=1時，AB'C=1.在三變量 A、B、C的最大項中，當(dāng) A=1、B=0、C=1時，（A'+B+C'）=0.根據(jù)反演定理，令Y=AB'C=1，可以直接得出Y'=（A'+B+C'）=0，由此得出結(jié)論：對于三變量A、B、C的同一組取值，其最大項和最小項是互為相反的變量.

根據(jù)此結(jié)論，由最小項的性質(zhì)（1）可以直接得出最大項的性質(zhì)（1）

因為在n個變量求和時，只要有一個變量為1，則和一定為1，在n個變量求積時，只要有一個變量為0，則積一定為0，因此由最小項的性質(zhì)（1）可以推出最小項的性質(zhì)（2），即

A'B'C'+A'B'C+A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC=1

由最大項的性質(zhì)（1）可以推出最大項的性質(zhì)（2），即

（A'+B'+C'）（A'+B'+C）（A'+B+C'）（A'+B+C）（A+B'+C'）（A+B'+C）（A+B+C'）（A+B+C）=0

下面的分析說明，用反演定理和對偶定理都可以由最小項的性質(zhì)（2）得到最大項的性質(zhì)（2）.

根據(jù)反演定理，Y=A'B'C'+A'B'C+A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC，Y'=（A+B+C）（A+B+C'）（A+B'+C）（A+B'+C'）（A'+B+C）（A'+B+C'）（A'+B'+C）（A'+B'+C'），又因為 Y=1，得 Y'=0.

根據(jù)對偶定理，Y=A'B'C'+A'B'C+A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC，YD=（A'+B'+C'）（A'+B'+C）（A'+B+C'）（A'+B+C）（A+B'+C'）（A+B'+C）（A+B+C'）（A+B+C），又因為 Y=1，得YD=1D=0.

由上述推導(dǎo)過程可以看出，YD、Y'都可以表示三個變量A、B、C的最大項之積的形式，且YD=Y'=0.

下面的分析說明，用反演定理和對偶定理都可以由最小項的性質(zhì)（3）得到最大項的性質(zhì)（3）.

任取三變量 A、B、C的兩個最小項 A'B'C'、A'B'C，令Y1=A'B'C'、Y2=A'B'C顯然 Y1Y2=（A'B'C'）（A'B'C）=0.

根據(jù)反演定理，（Y1Y2）'=（A+B+C）+（A+B+C'）=0'=1，由此得出結(jié)論，對于任取的三變量A、B、C的兩個最小項A'B'C'、A'B'C，由它們的積為0，可以得出三變量A、B、C的兩個最大項（A+B+C）、（A+B+C'）之和為 1.

根據(jù)對偶定理，（Y1Y2）D=（A'+B'+C'）+（A'+B'+C）=0D=1，由此得出結(jié)論，對于任取的三變量A、B、C的兩個最小項A'B'C'、A'B'C，由它們的積為0，可以得出三變量A、B、C的兩個最大項（A'+B'+C'）、（A'+B'+C）之和為 1.

下面的分析說明，用反演定理和對偶定理都可以由最小項的性質(zhì)（4）得到最大項的性質(zhì)（4）.

取三變量A、B、C的兩個最小項A'B'C'、A'B'C，顯然，A'B'C'和A'B'C只有一個因子不同，A'B'C'+A'B'C=A'B'（C+C'）=A'B'.

根據(jù)反演定理，（A'B'C'+A'B'C）'=（A+B+C）（A+B+C'）=（A'B'）'=A+B，

即（A+B+C）（A+B+C'）=A+B，最大項的性質(zhì)（4）得證.

根據(jù)對偶定理，（A'B'C'+A'B'C）D=（A'+B'+C'）（A'+B'+C）=（A'B'）D=A'+B'

即（A'+B'+C'）（A'+B'+C）=A'+B'，最大項的性質(zhì)（4）得證.

6 結(jié)論

本文在介紹了反演定理、對偶定理、最大項和最小項的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，運用反演定理和對偶定理對最大項和最小項的性質(zhì)進(jìn)行了推導(dǎo).推導(dǎo)過程說明，運用反演定理和對偶定理，都能夠從最小項的性質(zhì)出發(fā)得到最大項的性質(zhì)，其性質(zhì)中用到的最大項不同，但不改變性質(zhì)的正確性.反演定理和對偶定理的應(yīng)用為深入理解最大項和最小項的性質(zhì)提供了新的視角和新的思路.

〔1〕閻石.數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2005.27-28,35-37.

〔2〕康華光.電子技術(shù)基礎(chǔ)（數(shù)字部分）[M].北京:高等教育出版社,1988.11-26.

〔3〕毛法堯 1.數(shù)字邏輯（第 2版）[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1992.21-32.

〔4〕方天申.邏輯函數(shù)及最小項與最大項運算規(guī)則研究[J].信陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001，（2）：170-171.

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