數(shù)學建模思想融入《數(shù)學分析》教學

陳濤，李金龍，楊凱凡，劉延軍

數(shù)學建模思想融入《數(shù)學分析》教學

陳濤，李金龍，楊凱凡，劉延軍

數(shù)學素質和創(chuàng)新能力是現(xiàn)代數(shù)學教育的目標，將數(shù)學建模的思想方法融入《數(shù)學分析》教學，從教學的主要環(huán)節(jié)提出了滲透數(shù)學建模思想方法的一些方法和實踐。

數(shù)學分析；數(shù)學建模；教學改革

當今數(shù)學教育，不僅要教給學生數(shù)學知識，還要培養(yǎng)學生的數(shù)學素質以及應用數(shù)學的意識和能力，讓學生學會用數(shù)學的思維方式觀察周圍的事物，用數(shù)學的思維方法分析、解決現(xiàn)實世界中的實際問題。《數(shù)學分析》是高校應用數(shù)學和信息與計算科學專業(yè)最重要的基礎課程之一，是以微積分為基礎內容，深度和廣度比高等數(shù)學和一般的微積分教程更深更廣的一門課程。通過這門課程的學習，可以使學生很好地掌握《數(shù)學分析》的基本理論、思想和方法，特別是學生對數(shù)學的認識和運用方面的悟性與智慧潛能都得到開發(fā)，激發(fā)他們的學習興趣，培養(yǎng)他們的數(shù)學素質和創(chuàng)新實踐能力。

數(shù)學建模是運用數(shù)學方法和手段分析解決實際問題的過程，實際問題因其鮮明的生動性激發(fā)我們的形象思維。數(shù)學建模問題來源于現(xiàn)實生活，所提出的問題容易引起學生的興趣，但問題往往沒有清晰的條件和結論，可用的信息和最終的結論要靠學生自己去挖掘，更沒有一套典型的解法，用已知的知識方法和傳統(tǒng)的方式去處理往往會失敗，需要學生重新組合所學的知識，提出一套新的程序甚至新的理論才能解決。建模過程充分體現(xiàn)了知識可以通過“體會”、“構建”、“再創(chuàng)造”等創(chuàng)造性過程及認識過程而獲得。

在數(shù)學分析教學中，雖然不能直接開展建模競賽，但是，可以通過引入建模競賽的思維和方法，來發(fā)揮學生的積極性和自主性，以案例分析為重點，以“用”為標準，取舍教學內容。在不損害知識體系的前提下，以“題”為中心組織基礎知識講授，以“練”為手段選擇靈活多樣的教學方法，突出重點、講解難點、精講多練。讓學生在“練”中發(fā)現(xiàn)自己的知識缺陷，激發(fā)求知欲。在《數(shù)學分析》教學中滲入數(shù)學建模思想方法，結合適當?shù)臄?shù)學模型，展現(xiàn)數(shù)學思想的來龍去脈，把枯燥的知識和豐富的現(xiàn)實架起橋梁，既有利于展現(xiàn)知識發(fā)生的過程，又能增強數(shù)學知識的目的性，體現(xiàn)數(shù)學知識的應用價值，對培養(yǎng)學生的興趣、提高數(shù)學素質有重要意義。

一、數(shù)學建模思想在概念和定義講授中的滲透

《數(shù)學分析》中的函數(shù)、極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分、重積分、級數(shù)等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關系或空間關系抽象出來的數(shù)學模型。在教學中可從其“原型”和學生熟知的日常生活中自然而然地引出來。因而，從概念上人手，滲透數(shù)學建模思想可以取得良好效果。

（1）所引用實際問題要有原始背景資料，應講清來龍去脈?！稊?shù)學分析》理論體系的完善蘊藏著豐富的數(shù)學建模思想的軌跡，充滿著創(chuàng)造性，了解和學習前人所付出的努力，能給人以啟發(fā)和激勵。在介紹數(shù)學建模時，能介紹其思想軌跡、來龍去脈，教學效果會更好。例如，我們常用瞬時速度及切線斜率模型來引入導數(shù)概念，便取得了較好的效果。但由于此處我們是用已嚴格化的分析語言，集速度、斜率之共性給出導數(shù)定義的，而在反映先驅者在嚴密化的創(chuàng)造性工作方面做得不夠。如果我們能補充介紹費馬在1629年設計透鏡求曲線在一點處的切線這一典故，那么，生動的史實就能讓學生了解前人在創(chuàng)立新理論時的建模過程，更能激發(fā)學生學習的興趣。

（2）重視每一個概念，但不必都滲透數(shù)學模型，應該做到恰到好處。有觀點認為，每引出一個新概念或一個新內容，都應有一個刺激學生學習欲的實例，說明該內容的應用性。如果將此作為一個教學模式是不可能的，也是沒有必要的。恩格斯說：“自然界對這一切想象的數(shù)量都提供了原型?！边@里并沒有說“這一切想象的數(shù)量都是由原型引進來的”，這也是數(shù)學本身的一個特點。數(shù)學一旦形成基本概念，就可以不借助外界的刺激，只需數(shù)學內在的規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)新的定義定理，推動數(shù)學發(fā)展，先有數(shù)學原理再發(fā)現(xiàn)生活原型的例子比比皆是。因而，在將數(shù)學建模思想滲入《數(shù)學分析》教學的時候，不必形而上學，機械地在每一個概念定理前添上一個模型，把本來一個完整的系統(tǒng)用支離破碎的模型加以解釋說明。我們要抓住重點，只針對本課程中的核心概念和定理進行滲人，有時也可以反其道而行之，即先給概念，再給原題。

二、數(shù)學建模思想在定理證明中的滲透

《數(shù)學分析》中有大量的基本定理，這些定理對學習理解內容有著重要的作用。靈活運用定理與定理的證明方法是處理教學過程的一大難點。事實上教材中的很多定理，在歷史上發(fā)明它們的時候，本來是有很自然的背景的，但經過抽象之后寫在課本上，學生學起來就不知道為什么需要這些定理，發(fā)明者的原始想法也很可能就被隱藏在邏輯推理之中，使得學生初學起來較為困難，不能很好地理解定理。因此，在教學中讓學生能在一定程度上了解所學知識的來龍去脈及歷史淵源是十分必要的，往往可激發(fā)學生的求知欲望，然后把定理的結論看作是一個特定的模型，需要我們去建立它。于是，當把定理的條件看作是模型的假設時，即可根據(jù)預先設置的問題情景引導學生一步一步地發(fā)現(xiàn)定理的結論，這種融入數(shù)學建模思想的教學方法，不但使學生學到知識，而且讓他們體驗到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和能力的好途徑。因此，對于一些定理的證明也可采取談化形式、注重實質的方式進行處理，往往可直觀易懂且收到事半功倍的教學效果。這正是體現(xiàn)出數(shù)學建模并沒有標準模式方法和思路靈活多樣的特點。

三、數(shù)學建模思想在課外習題作業(yè)中的滲透

課外作業(yè)是進一步理解、消化和鞏固課堂教學內容的重要環(huán)節(jié)。針對《數(shù)學分析》理論性較強的特點，有目的讓學生解決一些實際問題。只有把理論應用到實踐中去，解決幾個實際問題，才能達到理解、深化、鞏固所學理論的效果。學生可以自由組隊，通過合作、感知、體驗和實踐的方式完成此類作業(yè)。他們在參與完成作業(yè)的過程中，培養(yǎng)了不斷學習、勇于創(chuàng)新、團結互助的精神。適當布置一些開放型的應用題，給學生以更大的思維空間，以學生為中心，以問題為主線，積極引導學生進行探索是當前教學改革的主流。

四、數(shù)學建模思想在考試命題中的滲透

當前，《數(shù)學分析》課程的考試命題一般以課本中的例題和習題的形式為主，或者把課本中的某些問題和結論設計成填空題、選擇題等，唯獨缺乏開放型的應用題以及考查學生靈活地應用數(shù)學知識解決問題的題目。這樣做也許對教師閱卷方便，但卻導致許多學生高分低能，也產生不良的學習導向，學生平時只注重盲目做題，機械地學習，而不重視對概念的深刻理解，也不注意在知識的學習中體會和提煉數(shù)學思想和方法。在傳統(tǒng)的考試中，適當?shù)卦黾右恍╅_放型的應用題，要求學生按數(shù)學建模的方式方法去解答，這樣既能考查學生的數(shù)學素質和數(shù)學能力水平，又與平時的教改相配套，使學生對所學知識進一步加深理解，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。采取與傳統(tǒng)考試不同的考核方式，通過命題小論文等方式，讓學生加深對所學知識的理解，初步鍛煉了學生的寫作能力，是建模思想的滲透與升華。

總之，把數(shù)學建模的思想方法融人到《數(shù)學分析》教學中，透過抽象的表達形式，更好地理解基本概念和基本理論，深刻領會構建模型過程中的一些數(shù)學思想方法，目的是要促進學生更好地學習和掌握《數(shù)學分析》的基本知識，提高學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學素質，促進數(shù)學教育的改革發(fā)展。

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G642.4

A

1673-1999（2011）01-0188-02

陳濤(1979-)，男，陜西漢中人，碩士，陜西理工學院（陜西漢中723000）數(shù)學系講師，從事數(shù)學分析教學和研究。

2010-10-17

教育部教育研究項目“使用信息技術工具改造課程”；陜西省教育廳科學研究項目(09JK380)；陜西理工學院教改資助項目。