常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

朱美玲

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024；太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030027）

常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

朱美玲

（太原理工大學(xué)，山西 太原 030024；太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030027）

本文簡要介紹了常微分方程的發(fā)展和數(shù)學(xué)建模的過程以及常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的一些應(yīng)用，并對數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用作了一些展望。

常微分方程；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)應(yīng)用

一、引言

常微分方程起源于生產(chǎn)實踐，在解決科學(xué)技術(shù)的許多問題中發(fā)展并逐步完善。而用微分方程解決問題一般分為以下幾步：第一，實際問題的提出；第二，根據(jù)問題的規(guī)律列出微分方程（稱為建立數(shù)學(xué)模型）；第三，解此微分方程或?qū)Ψ匠踢M行定性分析；第四，最后再用方程的解（或性質(zhì)）解釋或預(yù)測問題的發(fā)展，即用數(shù)學(xué)語言描述實際現(xiàn)象。這個過程其實就是數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模是微分方程解決實際問題的最主要的途徑。

二、常微分方程的發(fā)展

常微分方程的發(fā)展有著悠久的歷史。為了解決諸如某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離與時間的函數(shù)關(guān)系，火箭在發(fā)動機推動下在空間的飛行軌跡函數(shù)等等。為了解決此類問題產(chǎn)生了微分方程。含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程稱之為微分方程?？v觀微分方程的發(fā)展史，我們發(fā)現(xiàn)微分方程與物理、天文學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)等有著密切聯(lián)系，尤其是隨著科技的進步，電子計算機的廣泛應(yīng)用使得微分方程的應(yīng)用日益廣泛。

三、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用

用微分方程求解實際問題的關(guān)鍵是建立實際問題的數(shù)學(xué)模型——微分方程。這首先要根據(jù)實際問題所提供的條件，選擇和確定模型的變量。再根據(jù)有關(guān)學(xué)科的理論，如物理、化學(xué)、生物、幾何、經(jīng)濟等，找到這些變量所遵循的定律，用微分方程將其表示出來。為此，必須了解相關(guān)學(xué)科的一些基本概念、原理和定律；要會用導(dǎo)數(shù)和微分表示幾何量和物理量。如在幾何中曲線切線的斜率對橫坐標的導(dǎo)數(shù)），物理中變速直線運動的速度速度用數(shù)學(xué)語言將實際問題簡化，用數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法分析和解決實際問題，最后再回到實際對象中應(yīng)用。這些需要扎實深厚的數(shù)學(xué)功底，還需要有能抓住實際問題變化規(guī)律的能力。下面就幾個簡單的例子談?wù)勎⒎址匠淘跀?shù)學(xué)建模中的應(yīng)用。

1.常微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用

一個包裹從一個上升的氣球上掉落，當時氣球位于離地面80m高空，正以12m/s的速度上升，問多長時間該包裹落到地面？設(shè)在時刻t，包裹的速度為v(t)，離地面的高度為s(t)，地球表面附近的加速度為9.8 m/s2。假設(shè)沒有另外的力作用在下落的包裹上負號是因為重力作用于減小的方向）。這就是包裹運動的數(shù)學(xué)模型。對微分方程積分，得把初值條件代入v(0)=12得C=12。于是v=-9.8t+12。因為速度是高度的導(dǎo)數(shù)，即，當t=0時包裹掉落，當時位于離地面80m高空，從而有對微分方程積分，代入初值 s(0)=80得C=80。所以，在時刻t包裹離地面的高度為s=-4.9t2+12t+80。為了求該包裹落到地面的時間，我們設(shè)s=0，即 0=-4.9t2+12t+80 解得 t1≈5.45,t2≈-3。所以包裹從氣球上掉落后大約5.45s落到地面。

2.水污染模型中的應(yīng)用

隨著我國經(jīng)濟的高速增長，環(huán)境污染問題已成為大家共km同關(guān)注的問題。設(shè)某水庫的現(xiàn)有庫存量為V（單位：Q

3），水庫已被嚴重污染。經(jīng)計算，目前污染物總量已達（0單位：t），且污染物均勻地分散在水中。如果現(xiàn)在不再向水庫排污，清水以不變的速度（r單位：km3/年），流入水庫，并立即和水庫的水相混合，水庫的水也以同樣的速度r流出。如果記當前的時刻為t=0。那么求在時刻T，水庫中殘留污染物的數(shù)量Q(t)。在時刻t，Q(t)的變化率=-（污染物的流出速度）。其中負號表示禁止排污后，Q將隨時間逐漸減少，這時污染物的質(zhì)量濃度為Q(t)/V。因為水庫的水以速度r流出，所以污染物的流出速度=污水流出速度×。由此可得微分方程，這是一個可分離變量的微分方程。分離變量得，兩邊積分，得由題可知C=Q0故可得

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