淺議離散數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)

趙 萍

哈爾濱鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理化教研部，黑龍江 哈爾濱 150081

離散數(shù)學(xué)是以研究離散結(jié)構(gòu)為對(duì)象的一門數(shù)學(xué)課程，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、概括抽象能力、歸納能力以及創(chuàng)新能力。同時(shí)離散數(shù)學(xué)又是計(jì)算機(jī)科學(xué)理論的基礎(chǔ)課程之一，與計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)有著密切聯(lián)系，如離散數(shù)學(xué)中的綜合、分析、歸納、演繹、遞推等方法在計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。本文從幾年的教學(xué)實(shí)踐中，得出一些心得體會(huì)。

1）離散數(shù)學(xué)，顧名思義，它的一大特點(diǎn)就是“散”。離散數(shù)學(xué)中包含大量的定義，定理，幾乎每節(jié)課都要出現(xiàn)幾個(gè)甚至十幾個(gè)定義和定理，而且都是極其抽象，難以理解的，為此，在課堂教學(xué)中，我們必須攻克這一難題。

首先，可以將散文的一大特點(diǎn)“形散而神不散”借用到教學(xué)中，也就是要抓住主線。在離散數(shù)學(xué)的四個(gè)分支中，集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論和數(shù)理邏輯每部分都包含大量的定義和定理，所以在教學(xué)中教師應(yīng)該抓住主線，讓學(xué)生感到每一個(gè)定義和定理都被主線緊密的聯(lián)系在一起。同樣大量的定義和定理要學(xué)生單獨(dú)記憶也十分困難，所以在學(xué)習(xí)完每一部分之后，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生沿著主線，將零散的知識(shí)融會(huì)貫通，并要注意一個(gè)分支的學(xué)習(xí)對(duì)其它分支學(xué)習(xí)的幫助。如數(shù)理邏輯由命題邏輯和一階邏輯兩部分構(gòu)成，每部分都有很多概念，如果一一記憶十分困難，但是將命題邏輯和一階邏輯對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)一階邏輯命題的符號(hào)化只是在命題邏輯的基礎(chǔ)上新引入了謂詞和量詞的概念，一階邏輯等值式相比命題邏輯等值式也是新增加了關(guān)于量詞的消去，量詞轄域的收縮與擴(kuò)張以及量詞分配律等，至于一階邏輯的推理相比命題邏輯的推理同樣增加了關(guān)于量詞的部分，包括存在量詞和任意量詞的引入和消去。所以,在數(shù)理邏輯部分，只要掌握了命題邏輯部分，再進(jìn)行擴(kuò)展就可以很好的掌握一階邏輯部分。而集合恒等式和基本邏輯等值式對(duì)各分支都是很重要的。因?yàn)?，它們雖然不屬于同一分支，但是有著驚人的相似，如命題邏輯中的基本等值式結(jié)合律與集合恒等式中的結(jié)合律，名稱和形式基本相同，可以說(shuō)在抽象層次上沒(méi)有什么差異，只是表層上元素的名稱和運(yùn)算的記號(hào)不同，所以在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)它們的理解、掌握和運(yùn)用應(yīng)該都是一樣的。又因?yàn)閷W(xué)生對(duì)集合論這一部分內(nèi)容在高中階段有過(guò)初步的接觸，而且比較直觀，容易學(xué)習(xí)和掌握。所以就要讓學(xué)生先學(xué)好這部分內(nèi)容，再用同樣的思路去學(xué)習(xí)命題邏輯的相關(guān)內(nèi)容就容易了。

2）離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容還比較“機(jī)械”，所以在教學(xué)過(guò)程中要避免照本宣科。教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，將教材中內(nèi)容進(jìn)行再組織、再創(chuàng)造之后，再搬上課堂。在教學(xué)內(nèi)容的組織上，應(yīng)該重點(diǎn)突出，詳略得當(dāng)，還要讓學(xué)生產(chǎn)生興趣。

首先，加強(qiáng)對(duì)概念的解釋和翻譯很重要。從概念的引入開(kāi)始，要多舉實(shí)例展示概念的直觀背景，用學(xué)生易于理解的言語(yǔ)牽引出書本的概念，在進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行解釋與翻譯，即結(jié)合一些符號(hào)、式子和圖形對(duì)概念行分解講解，突出概念的內(nèi)涵與外延，分清與其它概念的區(qū)別與聯(lián)系。如在關(guān)系的性質(zhì)講解過(guò)程中，可以先通過(guò)鄰居關(guān)系、祖先關(guān)系、父子關(guān)系、兄弟關(guān)系等不同的引例對(duì)各種關(guān)系性質(zhì)進(jìn)行歸納，進(jìn)而引出自反關(guān)系、對(duì)稱關(guān)系、傳遞關(guān)系與反傳遞關(guān)系，然后對(duì)文字描述進(jìn)行精簡(jiǎn)提煉，給出課本中的精確定義，再通過(guò)關(guān)系矩陣反映關(guān)系的特征，讓學(xué)生對(duì)概念有個(gè)進(jìn)一步的理解。

其次，在教堂教學(xué)中要注重啟發(fā)式教學(xué)，只有讓學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，才稱得上成功的教學(xué)。

可以先通過(guò)若干實(shí)例提出問(wèn)題，再師生共同探討思路，建立數(shù)學(xué)模型，然后總結(jié)求解的方法和理論，同時(shí)配合典型實(shí)例驗(yàn)證，最后進(jìn)行歸納總結(jié)，進(jìn)行一般化推廣。例如圖論部分的概念和定理很多，而其中“握手定理”簡(jiǎn)單實(shí)用，學(xué)生也很感興趣，所以在教學(xué)過(guò)程中，不但要注意講解握手定理及其變形，還應(yīng)該注重突出握手定理的意義，以及如何利用其建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題。如一次羽毛球單打比賽中，一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)如下：13位同學(xué)參加比賽，其中4位同學(xué)出場(chǎng)5次，3位同學(xué)出場(chǎng)4次，2位同學(xué)出場(chǎng)3次，3位同學(xué)出場(chǎng)2次，1位同學(xué)出場(chǎng)1次。你知道在沒(méi)有觀看比賽的情況下，該如何判斷這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的對(duì)錯(cuò)嗎。其實(shí)很簡(jiǎn)單，只需采用圖論思想進(jìn)行建模，用13個(gè)節(jié)點(diǎn)分別表示13位參加比賽的同學(xué)，每場(chǎng)比賽有兩位同學(xué)出場(chǎng)，在代表出場(chǎng)的兩位同學(xué)的節(jié)點(diǎn)之間連一條線，這樣便得到一個(gè)圖，圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)便是其代表同學(xué)的出場(chǎng)次數(shù)，可得個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)和為45，違背握手定理的各個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)和應(yīng)為邊數(shù)2倍（偶數(shù)）的結(jié)論，所以統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤。

3）隨著課程改革的不斷推進(jìn)，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)還面臨一個(gè)“學(xué)時(shí)少，內(nèi)容多”的尷尬現(xiàn)象，為此，要求教師在教學(xué)中也要做些變革。

首先，在選取教學(xué)內(nèi)容時(shí)，并不是多多益善。因?yàn)椤八疂M則溢”的這個(gè)道理，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)也是一樣的，所以為了避免內(nèi)容太滿，要舍得“砍”去一些。要盡量選講基礎(chǔ)內(nèi)容、重點(diǎn)內(nèi)容、抽象的新概念、容易混淆的概念、方法以及表達(dá)或者推理證明中的常見(jiàn)錯(cuò)誤和難點(diǎn)，并且要做到只要講就要講清楚，講明白，不能蜻蜓點(diǎn)水。而砍掉的內(nèi)容，可以根據(jù)學(xué)生的培養(yǎng)方向不同，靈活處理，并且有些不講的內(nèi)容，可以讓學(xué)生在概念、定理清楚的情況下自學(xué)，這樣往往可得以事半功倍。

其次，課堂教學(xué)要有張有弛。離散數(shù)學(xué)教學(xué)中有大量的邏輯推理過(guò)程，教師由于比較熟悉所授內(nèi)容，思維過(guò)程也自然清晰，可是學(xué)生參差不齊，邏輯思維能力更是各不相同，所以為了“顧全大局”，課堂教學(xué)要做到“有張有弛”。也就是要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候做一些短暫的“停頓”，給學(xué)生一個(gè)緩沖?？刹捎玫姆绞接泻芏?，如將課后的一些簡(jiǎn)單習(xí)題拿來(lái)，讓同學(xué)們利用新學(xué)的概念與定理一起解答。這樣做不但能給學(xué)生一個(gè)緩沖，還讓學(xué)生參與進(jìn)教學(xué)，同時(shí)減輕了課后的習(xí)題負(fù)擔(dān)。還可以在這時(shí)穿插介紹一些與離散數(shù)學(xué)相關(guān)的趣事，例如在講解歐拉圖時(shí)可以引領(lǐng)學(xué)生做“一筆畫”的智力游戲，放松學(xué)生緊張的思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的興趣。

離散數(shù)學(xué)是個(gè)仍需我們探究的學(xué)科，所以在今后的教學(xué)中，老師要和學(xué)生一起學(xué)習(xí)，一起努力。