切基線條件下雙交點(diǎn)曲線參數(shù)的計(jì)算方法

張 玥

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

在線路定線和平面設(shè)計(jì)中，當(dāng)平曲線交點(diǎn)過遠(yuǎn)、交點(diǎn)附近有障礙物(河流、建筑物或陡坡)，或?yàn)榱烁纳仆驍啾城€而設(shè)置單曲線或復(fù)曲線時(shí)，采用雙交點(diǎn)曲線是常用的處理方式。對(duì)于雙交點(diǎn)單曲線而言，如果基線對(duì)曲線線位的控制不是特別嚴(yán)格，則曲線半徑和緩和曲線長度等基本參數(shù)的設(shè)置較為靈活，可根據(jù)雙交點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和基線長度推算出虛交點(diǎn)的位置和轉(zhuǎn)角，按常規(guī)基本型單曲線處理即可，計(jì)算較為方便、簡單。本文主要討論以基線控制曲線線位的情況，此時(shí)需要按切基線法反算平曲線的半徑或緩和曲線長度等設(shè)計(jì)參數(shù)，常規(guī)的方法基于對(duì)稱型曲線進(jìn)行計(jì)算，本文將非對(duì)稱型曲線的計(jì)算方法引入雙交點(diǎn)曲線的計(jì)算中，為雙交點(diǎn)曲線設(shè)計(jì)參數(shù)的擬定提供更多的選擇方式。

1 非對(duì)稱基本型曲線的曲線要素計(jì)算

非對(duì)稱基本型曲線是單曲線的通用形式，對(duì)稱型是其特例，計(jì)算方法在文獻(xiàn)[1-2]中已有詳細(xì)介紹，為便于應(yīng)用，本文仍將其列出，曲線要素以函數(shù)形式表達(dá)，計(jì)算圖式見圖1。

緩和曲線終點(diǎn)坐標(biāo)

緩和曲線終點(diǎn)處的回旋線角

內(nèi)移值

圖1 非對(duì)稱基本型曲線計(jì)算圖式

切線增值

夾角

圓曲線內(nèi)移后對(duì)應(yīng)的切線長

切線長

曲線長

2 對(duì)稱型雙交點(diǎn)曲線計(jì)算方法

雙交點(diǎn)曲線的計(jì)算方法是基于對(duì)稱型曲線的，文獻(xiàn)[3-4]已有介紹，本文在此基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步整理。

2.1 雙交點(diǎn)單曲線

雙交點(diǎn)單曲線以對(duì)稱型曲線為基本模型，按切基線控制曲線參數(shù)時(shí)，其約束條件是

其中，AB為基線長度，交點(diǎn)位置確定后，其值是固定的、已知的。

基于對(duì)稱型曲線計(jì)算時(shí)，其兩端緩和曲線長度是一致的。實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常先擬定緩和曲線長度LS，通過上述約束條件反算半徑R，計(jì)算圖式見圖2。

圖2 基于對(duì)稱型曲線的雙交點(diǎn)單曲線計(jì)算圖式

不計(jì)切線增值時(shí)，對(duì)稱曲線的切線長計(jì)算公式為

其中內(nèi)移值函數(shù) p(LS，R)為高次方程，可先通過計(jì)算內(nèi)移值p的近似公式(13)簡化約束方程(11)，得到半徑R的近似公式，則

2.2 雙交點(diǎn)復(fù)曲線

雙交點(diǎn)復(fù)曲線以對(duì)稱型曲線為基本模型，按切基線控制曲線參數(shù)時(shí)，其約束條件除與式(11)相同外，還增加了

實(shí)質(zhì)上，約束條件與單曲線的情況是完全相同的。計(jì)算圖式見圖3。

實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常先擬定受地形、地物等條件限制較嚴(yán)格一側(cè)曲線的半徑和緩和曲線長度，反算另一側(cè)的半徑和緩和曲線長度。以先擬定R1，LS1為例

按式(17)計(jì)算的 TYA值精度較高，則 TYB值可知:TYB=AB －TYA，由式(16)有

圖3 基于對(duì)稱型曲線的雙交點(diǎn)復(fù)曲線計(jì)算圖式

由式(19)計(jì)算得到的R2是精確的。再由內(nèi)移值的近似公式可得到LS2的近似值

3 非對(duì)稱型雙交點(diǎn)曲線計(jì)算方法

由上節(jié)內(nèi)容可見，基于對(duì)稱型的計(jì)算方法使得曲線與基線之間仍有內(nèi)移值，因此曲線并不是嚴(yán)格切基線的，為此，可采用非對(duì)稱曲線為基本模型。

3.1 雙交點(diǎn)單曲線

嚴(yán)格切基線的雙交點(diǎn)單曲線可看作前后兩個(gè)非對(duì)稱基本型曲線在GQ點(diǎn)處首尾相接，而兩個(gè)曲線的半徑相同，用RT表示，計(jì)算圖式見圖4。

圖4 基于非對(duì)稱型曲線的雙交點(diǎn)單曲線計(jì)算圖式

計(jì)算時(shí)，通常先擬定兩端的緩和曲線長度LSA1和LSB2，它們可以相等，也可以不相等，視地形、地物約束以及前后接線情況而定。對(duì)于 JDA而言，其第2緩和曲線 LSA2=0，相應(yīng)地，qA2=0，pA2=0;同理，JDB的第 1緩和曲線 LSB1=0，qB1=0，pB1=0。

反算RT的約束條件為

TA2，TB1分別是JDA曲線的第2切線長和JDB曲線的第1切線長，由式(6)至式(9)可得

與式(13)、(14)思路相同，可得

3.2 雙交點(diǎn)復(fù)曲線

計(jì)算圖式見圖5，其約束條件和計(jì)算思路與3.1節(jié)所述完全相同。

圖5 基于非對(duì)稱型曲線的雙交點(diǎn)復(fù)曲線計(jì)算圖式

具體計(jì)算時(shí)，通常先擬定兩端緩和曲線長，然后擬定兩半徑之一，反算另一個(gè)，其實(shí)質(zhì)是由切線長控制半徑。假定已擬定 LSA1、RA、LSB2，則

由式(21)，TB1可知，則

4 關(guān)于計(jì)算精度的討論及算例

式(1)，(2)實(shí)際上是近似公式，但在工程應(yīng)用中已可滿足精度要求。

式(14)，(20)，(23)，(27)均為近似公式，主要原因是內(nèi)移值采用了近似公式，其計(jì)算精度與半徑大小與緩和曲線長度有關(guān)。如需得到較為精確的結(jié)果，內(nèi)移值需按式(4)計(jì)算，并采用數(shù)值方法編程求解。具體應(yīng)用時(shí)，利用Excel軟件中的“單變量求解”功能進(jìn)行計(jì)算也是較好的選擇，無須復(fù)雜的編程，計(jì)算精度滿足工程需要。

圖6為雙交點(diǎn)單曲線的Excel計(jì)算表界面。圖中目標(biāo)值即為約束條件要求的期望值，計(jì)算時(shí)先選中目標(biāo)值對(duì)應(yīng)的單元格，點(diǎn)擊“工具”下拉菜單選擇“單變量求解”選項(xiàng)，在彈出對(duì)話框的“目標(biāo)值”欄中輸入0，在“可變單元格”中選擇計(jì)算對(duì)象所在單元格，即可得到計(jì)算結(jié)果。

圖6 雙交點(diǎn)單曲線參數(shù)計(jì)算表界面

5 結(jié)語

本文主要討論了雙交點(diǎn)單曲線和復(fù)曲線在切基線條件下確定曲線參數(shù)的幾種計(jì)算方法，關(guān)于雙交點(diǎn)卵形曲線的計(jì)算，在有關(guān)文獻(xiàn)已有介紹。

當(dāng)曲線半徑、緩和曲線長度等設(shè)計(jì)參數(shù)確定后，根據(jù)不同的計(jì)算模型，各曲線要素及其幾何關(guān)系已明確，主點(diǎn)樁號(hào)、逐樁坐標(biāo)計(jì)算及曲線細(xì)部測(cè)設(shè)按常規(guī)方法進(jìn)行即可，無需贅述。

對(duì)于雙交點(diǎn)復(fù)曲線，本文推薦采用基于非對(duì)稱曲線的計(jì)算方法，不僅可以嚴(yán)格切基線、便于控制線位，而且可將其按兩個(gè)基本型曲線分別計(jì)算、測(cè)設(shè)，應(yīng)用較簡單、方便。需要特別注意的是，在兩曲線交接處，超高、加寬應(yīng)單向過渡。

[1]王身高.公路卵形曲線設(shè)計(jì)新方法研究[J].公路，1998(8):17-22.

[2]賈全民，馬彥濤，關(guān)學(xué)生.淺議用坐標(biāo)法計(jì)算既有線曲線[J].鐵道建筑，2010(2):102-105.

[3]交通部第一公路勘察設(shè)計(jì)院.公路設(shè)計(jì)手冊(cè)(路線)[M].北京:人民交通出版社，1979.

[4]楊少偉.道路勘測(cè)設(shè)計(jì)(3版)[M].北京:人民交通出版社，2009.