基于離散余弦變換的IMF特征頻率提取

陳彥龍，張培林，吳定海，王懷光

(軍械工程學(xué)院，石家莊 050003)

通過(guò)傳感器提取的軸承振動(dòng)加速度信號(hào)具有非線(xiàn)性、非平穩(wěn)特征。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)具有自適應(yīng)的信號(hào)分解和降噪能力,非常適用于分析和處理非平穩(wěn)、非線(xiàn)性信號(hào)，是軸承故障檢測(cè)的一種有效途徑，并得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。

在EMD分解過(guò)程中，存在著很多影響分解結(jié)果的不確定因素，如插值誤差、邊界效應(yīng)、終止篩選的標(biāo)準(zhǔn)不嚴(yán)格等，使各個(gè)固有模態(tài)函數(shù)(IMF)分量含有其他干擾成分，不能很好地表達(dá)IMF的物理意義，影響故障的準(zhǔn)確判斷[3]。

離散余弦變換(DCT)作為一種歸一正交變換，在一定條件下是K-L變換的近似，且又有快速算法，在語(yǔ)音、圖像的處理中得到廣泛應(yīng)用，研究表明該方法也能有效地應(yīng)用于故障診斷[4]。文獻(xiàn)[5]利用離散余弦變換對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)了齒輪故障診斷；文獻(xiàn)[6]利用離散分?jǐn)?shù)余弦變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪和識(shí)別，取得了良好的效果；文獻(xiàn)[7]對(duì)高頻段的小波系數(shù)采用離散余弦變換進(jìn)行包絡(luò)分析，提取出了列車(chē)的故障頻率。

下文提出一種基于DCT的軸承IMF特征頻率提取方法。首先對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行EMD處理得到IMF，利用DCT理論對(duì)IMF進(jìn)行處理并重構(gòu)信號(hào)，從重構(gòu)信號(hào)中提取故障頻率完成故障診斷。仿真信號(hào)和工程實(shí)際信號(hào)的處理結(jié)果表明，該方法能夠突出受噪聲污染的IMF中關(guān)鍵成分，明確物理意義，從而正確提取出特征頻率，實(shí)現(xiàn)故障的可靠識(shí)別。

1 基于DCT的故障檢測(cè)原理

1.1 IMF的計(jì)算方法

EMD方法中定義了IMF分量，1個(gè)IMF分量

必須滿(mǎn)足下列2個(gè)條件：

(1) 在整個(gè)數(shù)據(jù)段內(nèi)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和過(guò)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)必須相等或相差1個(gè)；

(2) 在任意時(shí)刻，由局部極大值點(diǎn)形成的上包絡(luò)線(xiàn)和由局部極小值點(diǎn)形成的下包絡(luò)線(xiàn)的平均值為零。

對(duì)任一實(shí)信號(hào)x(t)進(jìn)行EMD分解獲得IMF的具體步驟是：

(1) 確定出信號(hào)x(t)上的所有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，然后將所有極大值點(diǎn)和所有極小值點(diǎn)分別用3次樣條曲線(xiàn)連接起來(lái),作為x(t)的上、下包絡(luò)線(xiàn),并計(jì)算出平均值曲線(xiàn)m1(t),再用x(t)減去m1(t)得

h1(t) =x(t)-m1(t) 。

(1)

如果h1(t)不滿(mǎn)足IMF的條件，再將h1(t)作為原信號(hào)重復(fù)上述過(guò)程得到

h11(t) =h1(t)-m11(t) ，

(2)

并反復(fù)篩選k次，直到h1k(t)變?yōu)?個(gè)IMF，即

h1k(t) =h1(k-1)(t) -m1k(t) 。

(3)

這樣,就從原信號(hào)中分解出了第1個(gè)IMF，稱(chēng)為第1階IMF，并記作

c1(t) =h1k(t) 。

(4)

(2)從原信號(hào)中減去c1(t),得到第1階剩余信號(hào)

r1(t)=x(t)-c1(t) ，

(5)

將r1(t)作為新的原信號(hào)重復(fù)步驟(1)，并對(duì)ri(t)進(jìn)行同樣的篩選，依次得到第2～n階IMF和剩余信號(hào)，

r1(t)-c2(t)=r2(t)

?

rn-1(t)-cn(t)=rn(t)。

(6)

當(dāng)剩余信號(hào)rn(t)變成一個(gè)單調(diào)函數(shù)，不能再?gòu)闹刑崛MF時(shí)篩選結(jié)束。

綜上，可得到

(7)

至此，就將一個(gè)數(shù)據(jù)分解成若干IMF和殘余量之和。嚴(yán)格意義上，IMF是滿(mǎn)足單分量信號(hào)物理解釋的一類(lèi)信號(hào)，在每一時(shí)刻只有單一頻率成分，從而使得瞬時(shí)頻率具有了物理意義。直觀(guān)上，IMF分量具有相同的極值點(diǎn)和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目，其波形與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)通過(guò)調(diào)幅和調(diào)頻得到的新信號(hào)相似。但在EMD實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，采用了近似處理，沒(méi)有嚴(yán)格按照IMF的條件判別，不能完全保證IMF的物理意義，各個(gè)IMF分量中將出現(xiàn)其他干擾頻率，造成故障誤判。

1.2 離散余弦變換

一維離散余弦變換和反變換定義為

(8)

(9)

(10)

離散余弦變換具有良好的能量集中特性，這是其應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)的優(yōu)點(diǎn)。離散余弦變換的1個(gè)變換系數(shù)對(duì)應(yīng)一定的時(shí)長(zhǎng)，通過(guò)檢測(cè)各個(gè)時(shí)窗內(nèi)信號(hào)幅值的變化捕捉信號(hào)的變化情況，而不是去捕捉與噪聲統(tǒng)一數(shù)量級(jí)的信號(hào)突變，因此對(duì)噪聲不敏感。這對(duì)軸承的在線(xiàn)狀態(tài)檢測(cè)與故障診斷非常實(shí)用[5]。同時(shí)，離散余弦變換屬時(shí)頻原子分解，其時(shí)頻局部化特性和能量集中度好，是線(xiàn)性變換，無(wú)能量相干現(xiàn)象。離散余弦變換將信號(hào)的所有信息映像到多網(wǎng)格構(gòu)成的時(shí)頻平面，代表信號(hào)在時(shí)域、頻域處的投影，分析系數(shù)變化就能檢測(cè)到故障信號(hào)[7]。

為了突出IMF中的主要成分，將IMF進(jìn)行DCT處理，對(duì)獲得的DCT系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理，去除包含在正常信息中的噪聲干擾，達(dá)到降噪和平滑的作用，突出故障特征，然后通過(guò)DCT逆變換重構(gòu)信號(hào)，在重構(gòu)信號(hào)中提取特征頻率。

2 仿真信號(hào)分析

采用如下仿真信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)分析, 采樣頻率1 000 Hz，時(shí)間長(zhǎng)度2 s。

s=sin(40πt)+3sin(6πt)，

(11)

加入Gauss白噪聲，時(shí)域波形圖如圖1所示。

圖1 仿真信號(hào)時(shí)域波形

將信號(hào)作EMD分析，選取其中一個(gè)IMF，如圖2所示。該分量前后差異明顯，后半部分幅值穩(wěn)定，表現(xiàn)出周期性，前半部分含有高頻成分，波形起伏較大，多次出現(xiàn)突變，成為不規(guī)則信號(hào)段，受到噪聲污染。IMF具有明確的物理意義，直觀(guān)上，其波形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)通過(guò)調(diào)幅和調(diào)頻得到的新信號(hào)相似，該IMF并未表現(xiàn)出這一特征，給IMF的理解帶來(lái)困難，這是分解過(guò)程中的不確定因素導(dǎo)致。

圖2 IMF時(shí)域波形

圖3為將IMF離散余弦分解，對(duì)分解系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理后，重構(gòu)所得時(shí)域波形。對(duì)比圖2，原始IMF信號(hào)高頻噪聲消失，突出了信號(hào)主要成分；信號(hào)突變消失，波形光滑、連續(xù)，具有明顯的周期性；信號(hào)波形表現(xiàn)調(diào)制特征，表達(dá)了IMF應(yīng)有的物理意義。

圖3 DCT處理后IMF時(shí)域波形

對(duì)IMF在DCT處理前、后的信號(hào)進(jìn)行頻率分析，如圖4所示。圖4a中含有多余頻率，說(shuō)明信號(hào)受到其他成分的干擾，可能在工程實(shí)踐中演變?yōu)檩^強(qiáng)烈干擾，影響故障判斷。對(duì)信號(hào)進(jìn)一步處理，圖4b中干擾頻率大量消失，幾乎只保留故障特征頻率。故障特征頻率20 Hz對(duì)應(yīng)仿真信號(hào)中sin(40πt)，具有明確的物理意義，結(jié)果準(zhǔn)確。

圖4 IMF頻域圖對(duì)比

3 軸承故障信號(hào)分析

實(shí)測(cè)齒輪故障信號(hào)來(lái)自于單級(jí)傳動(dòng)的減速箱，軸承型號(hào)為6205-2RS JEM SKF, 故障設(shè)置為內(nèi)圈單點(diǎn)故障，經(jīng)計(jì)算得軸承內(nèi)圈單點(diǎn)故障特征頻率為158 Hz。轉(zhuǎn)速為1 772 r/min, 振動(dòng)加速度信號(hào)由安裝在驅(qū)動(dòng)端的加速度傳感器進(jìn)行采集,采樣頻率12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)1 000。圖5中故障信號(hào)淹沒(méi)在振動(dòng)信號(hào)中，無(wú)法直接識(shí)別。

圖5 故障信號(hào)時(shí)域波形

圖6為對(duì)信號(hào)EMD處理后所得IMF。信號(hào)隨時(shí)間變化差異明顯，前一部分波形變化較快，頻率較高，最后一部分幅值不穩(wěn)定，信號(hào)整體變化不規(guī)律。信號(hào)受到較強(qiáng)干擾，不能直觀(guān)反映信號(hào)特征，有必要對(duì)信號(hào)進(jìn)一步分析處理，凸顯關(guān)鍵成分。

圖6 IMF時(shí)域波形

對(duì)IMF進(jìn)行DCT處理，重構(gòu)得出如圖7所示信號(hào)。直觀(guān)上，其波形與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)通過(guò)調(diào)幅得到的信號(hào)相似，嚴(yán)格符合IMF的數(shù)學(xué)要求，且與工程實(shí)踐中軸承故障常受到調(diào)制這一現(xiàn)象符合。信號(hào)關(guān)鍵成分得到增強(qiáng)，反映出信號(hào)的主要特征；原始IMF中突變消失，波形光滑；信號(hào)具有明顯周期性，利于EMD分解后的進(jìn)一步分析。

圖7 DCT處理后IMF時(shí)域波形

對(duì)信號(hào)DCT處理前、后的IMF進(jìn)行頻率分析比較。圖8a中頻率上升和下降階段均呈階梯形，給信號(hào)的物理解釋帶來(lái)困難，故障診斷受到干擾，引起誤判斷。圖8b為DCT處理后的重構(gòu)信號(hào)頻率圖，圖中僅出現(xiàn)了故障頻率，干擾頻率得到徹底清除，描繪了信號(hào)的主要成分。分析所得故障頻率為156 Hz，與理論故障頻率158 Hz相比，誤差為1.28%，符合工程要求。

圖8 IMF頻域圖對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

將IMF特征頻率提取與離散余弦變換相結(jié)合，對(duì)仿真信號(hào)和實(shí)際信號(hào)進(jìn)行分析， 取得了很好的效果。離散余弦變換具有快速算法，計(jì)算量小，算法簡(jiǎn)單，可以滿(mǎn)足工程實(shí)時(shí)性要求。處理結(jié)果表明，該方法更精確地描述了IMF在時(shí)域和頻域的特征，物理意義清晰，對(duì)于軸承故障診斷，是一種可靠而有效的辦法。