基于延時(shí)反饋的超聲波電動(dòng)機(jī)混沌控制

李文娟，史敬灼

(河南科技大學(xué)，河南洛陽(yáng)471003)

0 引 言

超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行非線性明顯，它和驅(qū)動(dòng)控制器構(gòu)成的超聲波電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)則是更為復(fù)雜的多變量強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)［1］研究工作已經(jīng)表明了超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中存在的混沌行為。本文研究使超聲波電動(dòng)機(jī)脫離混沌運(yùn)行狀態(tài)的混沌控制方法。

目前，還沒(méi)有關(guān)于超聲波電動(dòng)機(jī)混沌控制的文獻(xiàn)發(fā)表。已提出的電磁電機(jī)混沌控制方法有比例反饋、非線性控制、延時(shí)反饋、自適應(yīng)控制、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)和模糊控制［2］等，但大部分的混沌控制方法都需要準(zhǔn)確的電機(jī)數(shù)學(xué)模型，這就為超聲波電動(dòng)機(jī)的混沌控制增加了難度。Pyragas提出了一種延時(shí)反饋法［3］對(duì)混沌現(xiàn)象進(jìn)行抑制，該方法將系統(tǒng)的某個(gè)輸出引出，經(jīng)過(guò)一個(gè)延時(shí)時(shí)間后再反饋回原系統(tǒng)作為混沌控制信號(hào)。這種方法根據(jù)實(shí)時(shí)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行控制，不需要知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;只要輸出量可觀測(cè)，就可以實(shí)現(xiàn)有效的混沌控制。

超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行機(jī)理不同于電磁電機(jī)，壓電材料及摩擦能量傳遞過(guò)程使得超聲波電動(dòng)機(jī)表現(xiàn)出較電磁電機(jī)更為復(fù)雜的混沌行為，其混沌控制方法亦有其特點(diǎn)。本文給出了適用于超聲波電動(dòng)機(jī)的參數(shù)自適應(yīng)延時(shí)反饋控制方法，取輸出波形兩個(gè)峰峰值之間的時(shí)間間隔為延遲時(shí)間，采用參數(shù)自適應(yīng)方法確定控制剛度K。計(jì)算結(jié)果表明，所提方法可以很好地將超聲波電動(dòng)機(jī)的混沌行為穩(wěn)定為固定點(diǎn)和周期行為。

1 超聲波電動(dòng)機(jī)混沌系統(tǒng)延時(shí)反饋控制

本文設(shè)計(jì)的超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如圖1所示，圖中虛線框內(nèi)為混沌控制器。該系統(tǒng)包含兩個(gè)轉(zhuǎn)速控制器，分別采用電壓幅值和頻率作為控制變量。頻率－轉(zhuǎn)速控制器用來(lái)快速完成轉(zhuǎn)速的大范圍調(diào)節(jié)，提高響應(yīng)速度。電壓－轉(zhuǎn)速控制器調(diào)節(jié)電壓幅值，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)控制，消除穩(wěn)態(tài)誤差。圖1的系統(tǒng)中，頻率－轉(zhuǎn)速控制器和電壓－轉(zhuǎn)速控制器均采用PI控制，混沌控制器采用本文所述延時(shí)反饋控制方法。

圖1 混沌控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

1.1 超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的混沌行為

將圖1中混沌控制器去除，進(jìn)行轉(zhuǎn)速控制的混沌運(yùn)動(dòng)研究。保持頻率控制器參數(shù)和電壓控制器的比列系數(shù)不變，調(diào)節(jié)電壓控制器積分系數(shù)kiv，使kiv從1.02到20變化，獲得不同kiv時(shí)輸出電壓、轉(zhuǎn)速波形，通過(guò)計(jì)算獲得轉(zhuǎn)速的最大Lyapunov指數(shù)和轉(zhuǎn)速相對(duì)kiv的分岔圖，如圖2所示。可以看出，隨著kiv的逐漸增大，系統(tǒng)運(yùn)行狀況由穩(wěn)定的固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)逐漸趨于混沌。例如，當(dāng)kiv=15.02時(shí)，系統(tǒng)已表現(xiàn)出明顯的混沌行為。圖3給出了kiv=15.02時(shí)的超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速、驅(qū)動(dòng)電壓幅值仿真波形。電壓相對(duì)于轉(zhuǎn)速的軌跡如圖4所示，可見(jiàn)轉(zhuǎn)速和電壓均出現(xiàn)了貌似隨機(jī)而有界的不規(guī)則行為。

1.2 延時(shí)反饋控制方法

圖1中的混沌控制器為延時(shí)反饋控制結(jié)構(gòu)，其表達(dá)式:

式中:y(t)為t時(shí)刻反饋量值;τ為延遲時(shí)間;K為控制剛度。延時(shí)反饋控制器可以在任意時(shí)刻加入到控制系統(tǒng)中，但是如果微擾較大，可能會(huì)引起多重穩(wěn)定解，因此引入以下條件對(duì)外力進(jìn)行限制:

式中:F0為外加微擾閾值。F0的選取與被控混沌吸引子的特性有關(guān)，需要根據(jù)具體情況仿真確定。采用該方法來(lái)控制系統(tǒng)中的混沌行為的優(yōu)點(diǎn)是:不需要知道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的解析方程式;不需要將系統(tǒng)內(nèi)含的不穩(wěn)定周期軌道作為參考信號(hào);不需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行快速采樣及計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)量。為了消除系統(tǒng)中的混沌行為，使超聲波電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)速為固定點(diǎn)或周期運(yùn)動(dòng)，需正確調(diào)節(jié)延遲時(shí)間τ和控制剛度K。

(1)延遲時(shí)間τ的確定

延遲時(shí)間的確定有兩種基本方法。一是使τ等于第i個(gè)不穩(wěn)定周期軌道(UPO)的周期，即τ=Ti，那么系統(tǒng)的輸出周期與該不穩(wěn)定周期軌道的周期相同時(shí)，擾動(dòng)輸出變?yōu)榱悖@意味著擾動(dòng)不會(huì)改變系統(tǒng)的第i個(gè)不穩(wěn)定周期軌道的解，但該方法的難點(diǎn)在于很難獲得第i個(gè)不穩(wěn)定周期軌道的周期。第二種方法是使τ等于輸出信號(hào)兩個(gè)極大值之間的時(shí)間間隔，并在每個(gè)極大值處對(duì)其進(jìn)行修正，即:

(2)控制剛度K的確定

通常，控制剛度K是通過(guò)計(jì)算Lyapunov指數(shù)來(lái)確定的，通過(guò)使系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)小于零來(lái)計(jì)算K的取值范圍。但Lyapunov指數(shù)的計(jì)算需要事先知道系統(tǒng)的混沌模型。本文給出參數(shù)自適應(yīng)方法來(lái)調(diào)整控制剛度K，該方法無(wú)需知道系統(tǒng)的混沌模型，而且易于實(shí)現(xiàn)。K的調(diào)節(jié)算法如下:

式中:K0為權(quán)重系數(shù);Δt為時(shí)間步長(zhǎng)。

首先給定一個(gè)合適的權(quán)重系數(shù)K0，觀測(cè)混沌控制信號(hào)即微擾。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)與目標(biāo)軌道非常接近，控制剛度K的變化很小。當(dāng)y(t－τ)－y(t)的值小于某個(gè)給定的允許誤差時(shí)，則保持K不變。這也就相當(dāng)于搜索到將混沌控制為周期行為的控制剛度K。

2 超聲波電動(dòng)機(jī)混沌控制仿真結(jié)果

表1 控制策略及相應(yīng)的參數(shù)設(shè)定

如表1所示，本文設(shè)計(jì)了兩種控制策略分別進(jìn)行混沌控制研究，比較控制效果以確定合適的混沌控制策略。設(shè)定在0.15 s時(shí)加入混沌控制器，取Δt=0.000 1。通過(guò)適當(dāng)?shù)卣{(diào)整K0和F0，兩種策略均可將混沌運(yùn)動(dòng)控制為周期行為。兩種控制策略的參數(shù)設(shè)定如表1所示。

F0和K0的確定方法是根據(jù)系統(tǒng)輸出情況進(jìn)行調(diào)節(jié)的。當(dāng)F0較大時(shí)，輸出電壓和轉(zhuǎn)速的波動(dòng)幅值明顯增大，這是由于擾動(dòng)過(guò)大，導(dǎo)致e(t)+F(t)過(guò)大、電壓控制器積分環(huán)節(jié)作用過(guò)強(qiáng)所造成的，這時(shí)應(yīng)適當(dāng)?shù)販p小F0;當(dāng)F0較小時(shí)，擾動(dòng)過(guò)小，控制作用不明顯，故需要適當(dāng)?shù)卦龃驠0。當(dāng)K0取值較大，造成ΔK初值較大，從而K的變化步長(zhǎng)增大，不能使K穩(wěn)定下來(lái)，這時(shí)要適當(dāng)減小K0;當(dāng)K0過(guò)小時(shí)，K的變化步長(zhǎng)過(guò)小，從混沌到周期運(yùn)行狀態(tài)的過(guò)渡時(shí)間較長(zhǎng)，這時(shí)要適當(dāng)增大K0。

采用轉(zhuǎn)速延時(shí)反饋和電壓延時(shí)反饋控制混沌為周期1行為的仿真結(jié)果如圖5、圖6所示，電壓相對(duì)于轉(zhuǎn)速的周期1軌跡如圖7、圖8所示?？煽闯鰞煞N控制方法均可將超聲波電動(dòng)機(jī)的混沌行為控制為周期運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速作為混沌控制器輸入時(shí)，從混沌狀態(tài)進(jìn)入周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的過(guò)渡時(shí)間短，但電壓和轉(zhuǎn)速的振蕩幅值較大;電壓作為混沌控制器輸入時(shí)，電壓和轉(zhuǎn)速的振蕩幅值明顯減小，但過(guò)渡時(shí)間較長(zhǎng)。另外，當(dāng)采用電壓延時(shí)反饋方法時(shí)可以將混沌行為穩(wěn)定到固定點(diǎn)上，將混沌行為穩(wěn)定到固定點(diǎn)的仿真結(jié)果如圖9所示。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文給出的兩種延時(shí)反饋控制策略均可以有效控制超聲波電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的混沌行為，使系統(tǒng)從混沌狀態(tài)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。轉(zhuǎn)速延時(shí)反饋方法控制超聲波電動(dòng)機(jī)的混沌行為時(shí)，系統(tǒng)從混沌進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)渡時(shí)間相對(duì)較短，但轉(zhuǎn)速周期振蕩幅值較大。電壓作為混沌控制器輸入時(shí)，可以明顯減小轉(zhuǎn)速的振蕩幅值，但過(guò)渡時(shí)間較長(zhǎng)。

［1］ 史敬灼，李文娟.基于相空間重構(gòu)的兩相行波超聲波電機(jī)混沌運(yùn)行分析［J］.微特電機(jī)，2011，39(3):14－16.

［2］ 鄒國(guó)棠，王政，程明.混沌電機(jī)驅(qū)動(dòng)及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［3］ Pyragas.Continuous control of chaos by self－ controlling feed －back［J］.Physics letters A，1992，170(6):421 －428.

［4］ Kittel A，Parisi J，Pyragas K.Delayed feedback control of chaos by self－ adapted delay time［J］.Physics letters A，1995，198:433 －436.

［5］ 鄒恩，李祥飛，陳建國(guó).混沌控制及其優(yōu)化應(yīng)用［M］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社，2002.