基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的永磁同步電動(dòng)機(jī)低速研究

丁宇漢，焦振宏，孫百軍，鄭 勇

(西北工業(yè)大學(xué)，陜西西安710072)

0 引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)由于本身的許多優(yōu)點(diǎn)比如結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、轉(zhuǎn)矩/慣性大、功率密度大、效率高、維護(hù)容易等，被廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、航空航天、機(jī)器人等高精度控制系統(tǒng)［1］。在永磁同步電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)中，矢量控制的使用，使得能夠模擬直流電動(dòng)機(jī)一樣對(duì)永磁同步電機(jī)進(jìn)行控制，從而獲得較高的調(diào)速性能［2］。高性能控制系統(tǒng)一般都需要高精度的位置傳感器，這些傳感器的價(jià)格較貴。通常使用光電編碼器在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期發(fā)出固定的脈沖數(shù)，通過(guò)計(jì)算光電編碼器在測(cè)量時(shí)間發(fā)出的脈沖數(shù)目得到轉(zhuǎn)子位置，轉(zhuǎn)子位置微分就是轉(zhuǎn)子速度。由于編碼器是量化脈沖，當(dāng)電動(dòng)機(jī)運(yùn)行在低速狀態(tài)時(shí)，每個(gè)采樣時(shí)間內(nèi)獲得的脈沖數(shù)極少，從而使得轉(zhuǎn)子的位置和速度計(jì)算精度變差，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生大的誤差和微分噪聲［3］。在控制系統(tǒng)中，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化會(huì)使得轉(zhuǎn)速產(chǎn)生振蕩，為了使得速度在負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時(shí)仍然穩(wěn)定，就需要負(fù)載轉(zhuǎn)矩信息用以補(bǔ)償參考轉(zhuǎn)矩、減小負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化對(duì)速度穩(wěn)態(tài)的影響［4］。

為了有效解決上述問(wèn)題，就需要一種可以同時(shí)觀測(cè)轉(zhuǎn)子位置、速度和負(fù)載的狀態(tài)觀測(cè)器。因此，本文提出了一種新型的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器的觀測(cè)器?？柭鼮V波器可以直接解決非線性方程，并且考慮參數(shù)誤差的影響，以及測(cè)量擾動(dòng)等，因此有很強(qiáng)魯棒性，并且能消除測(cè)量噪聲和誤差［5－6］。考慮到觀測(cè)器設(shè)計(jì)需要表達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行了在線辨識(shí)，目前常用的辨識(shí)方法有最小二乘法、卡爾曼濾波法、模型參考自適應(yīng)法(MRAS)、遺傳算法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊控制法［7－8］。本文使用易于實(shí)現(xiàn)的最小二乘法對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行辨識(shí)，以提高觀測(cè)器性能。

1 基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的觀測(cè)器

永磁同步電動(dòng)機(jī)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程:

式中:ωr、θr、J、F、Te、TL分別表示轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度、機(jī)械位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、摩擦系數(shù)、電磁轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。相對(duì)于轉(zhuǎn)子的速度和位置的變化來(lái)說(shuō)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化非常慢，可以近似認(rèn)為沒(méi)有變化，即有:

選取轉(zhuǎn)子速度、位置和負(fù)載轉(zhuǎn)矩作為狀態(tài)變量，轉(zhuǎn)子位置作為輸出，建立基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的觀測(cè)器。

Q陣和R陣均為非負(fù)定陣，實(shí)際應(yīng)用中根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整。

在采樣時(shí)間Ts足夠小的情況下，轉(zhuǎn)移矩陣:

通過(guò)重復(fù)下面計(jì)算步驟，可以獲得離散非線性卡爾曼濾波器方程:

(1)一步預(yù)估

(2)一步預(yù)測(cè)均方差

(3)濾波增益陣

(4)狀態(tài)估計(jì)

(5)估計(jì)均方誤差陣

式中:α是很大的正數(shù)，I是單位矩陣。在式(11)的條件下并不能保證系統(tǒng)是無(wú)偏差的。事實(shí)上，如果系統(tǒng)是一致完全隨機(jī)可控和可觀，則卡爾曼濾波一定是漸近穩(wěn)定的，隨著濾波步數(shù)的增加，盲目選取的初始狀態(tài)x0和P0對(duì)濾波和Pk值的影響將逐漸減弱直至消失，估計(jì)逐漸趨向無(wú)偏差［9］。

2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的參數(shù)辨識(shí)

2.1 最小二乘法原理及實(shí)現(xiàn)

最小二乘法是工程中常用的辨識(shí)方法，是一種比較成熟的方法［10］，圖1為最小二乘法的表達(dá)形式。圖中h(k)、y(k)、z(k)、e(k)、θ 分別表示輸入量、輸出量、均值為零的隨機(jī)噪聲以及未知模型參數(shù)，記:

圖1 最小二乘法的表達(dá)形式

模型的輸出可表示:

則使得Y(θ)最小θ的估計(jì)值 稱為參數(shù)θ的最小二乘估算值。由此，可以推導(dǎo)出遞推最小二乘法的表達(dá)式:

若記:

得到遞推公式:

式中:α是很大的正實(shí)數(shù)(104～106);ε為零向量。

2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)的實(shí)現(xiàn)

在忽略系統(tǒng)摩擦阻力的情況下永磁同步電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程:

定理4 內(nèi)冪零群G=PQ,其中P為正規(guī)Sylow p-子群,Q為循環(huán)Sylow q-子群(見引理7),則其冪圖P(G)可平面化當(dāng)且僅當(dāng)G為以下情形之一:

將上式進(jìn)行離散化處理:

由于采樣頻率很高，負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化很慢可以忽略，將式(24)減去式(25)得:

令:

得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)辨識(shí)的最小二乘法形式:

3 控制系統(tǒng)的總體實(shí)現(xiàn)

本文采用的永磁同步電動(dòng)機(jī)控制策略為目前應(yīng)用較廣的空間矢量調(diào)制的轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向id=0控制策略。主要包括永磁同步電動(dòng)機(jī)、空間電壓矢量調(diào)制(SVPWM)模塊、逆變器模塊、編碼器、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)模塊和擴(kuò)展卡爾曼濾波觀測(cè)器模塊。系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)控制框圖

4 仿真分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的觀測(cè)器的性能，在Matlab/Simulink下建立起如圖3所示的各個(gè)功能模塊，并將它們結(jié)合起來(lái)，得到整體的仿真模型。

圖3 系統(tǒng)整體仿真圖

仿真所用的永磁同步電動(dòng)機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電動(dòng)機(jī)參數(shù)

仿真用編碼器精度為2 500線，卡爾曼濾波器的Q陣和 R陣經(jīng)過(guò)仿真，最后設(shè)置:Q=diag(［1 0.1 10］)，R=diag(［1000］)。

初始值的設(shè)定:x^= ［0 0 1］T，P0=diag(［1 000 000 1 000 000 1 000 000］)。

速度給定為3 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩開始給定為1 N·m，在0.15 s時(shí)突變?yōu)?.5 N·m。未引入轉(zhuǎn)矩反饋和引入轉(zhuǎn)矩反饋的曲線如圖4～圖6所示。

負(fù)載轉(zhuǎn)矩給定恒定為1 N·m，速度給定開始時(shí)為3 r/min，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量開始為 0.000 7 kg·m2，在0.13 s時(shí)突變?yōu)?0.001 kg·m2，在 0.16 s時(shí)速度給定變化為5 r/min，未引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)和引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)的曲線如圖7～圖9所示。

由圖4～圖6可見，如果沒(méi)有引入負(fù)載反饋補(bǔ)償，當(dāng)負(fù)載發(fā)生突變時(shí)，速度降落比較明顯;而引入負(fù)載轉(zhuǎn)矩反饋補(bǔ)償后，負(fù)載突變引起的電流落差由反饋進(jìn)行了補(bǔ)償，減小了轉(zhuǎn)速降落，改善了轉(zhuǎn)速。

由圖7～圖9可知，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化對(duì)系統(tǒng)的性能幾乎沒(méi)有影響，說(shuō)明了在穩(wěn)態(tài)時(shí)卡爾曼濾波器對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)的魯棒性;但是，當(dāng)速度給定發(fā)生改變后，如果沒(méi)有反饋辨識(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)態(tài)的過(guò)程中速度的響應(yīng)會(huì)比較慢，并且有較大的超調(diào)，而引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量反饋后，響應(yīng)較快，超調(diào)明顯減小，改善了系統(tǒng)性能。

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)永磁同步電動(dòng)機(jī)低速控制系統(tǒng)，在使用的編碼器精度較低時(shí)，獲得的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和位置都不是很準(zhǔn)確，本文提出了一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器的觀測(cè)器。該觀測(cè)器對(duì)參數(shù)依賴小。為了減小負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變引起的轉(zhuǎn)速降，以及觀測(cè)器對(duì)轉(zhuǎn)矩變化不敏感，同時(shí)設(shè)計(jì)了觀測(cè)器對(duì)負(fù)載轉(zhuǎn)矩進(jìn)行觀測(cè)并用于補(bǔ)償，有效減小了負(fù)載突變引起的轉(zhuǎn)速降。同時(shí)，為提高系統(tǒng)的魯棒性，對(duì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)中需要用到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行在線辨識(shí)。仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)基于的新型觀測(cè)器的控制策略，應(yīng)用于矢量調(diào)制的永磁同步電動(dòng)機(jī)低速控制系統(tǒng)中是有效可行的，改善了系統(tǒng)的控制性能。

［1］ Nakai H，Ohtani H，Satoh E，et al.Development and testing of the torque control for the permanent－ magnet synchronous motor［J］.IEEE Trans.Ind.Electron，2005，52(4):800 －806.

［2］ 許峻峰，馮江華，許建平.永磁同步電動(dòng)機(jī)控制策略綜述［J］.機(jī)車電傳動(dòng)，2005(5):7－11.

［3］ Zheng Zedong，F(xiàn)adel M，Li Yongdong.A High － Performance Control System of PMSM Based on Torque Observor［C］//Power Electronics Specialists Conference(PESC).2007:587 －592.

［4］ Shi Tingna，Wei Linrui，Dan Xiao.Sliding mode control of PMSM based on load observer［C］//International Conference on Electrical and Control Engineering(ICECE).2010:4216 －4219.

［5］ Gu Shanmao，He Fengyou，Zhang Hui.Study on Extend Kalman Filter at Low Speed in Sensorless PMSM Drive［C］//International Conference on Electrical Computer Technology(ICECE).2009:311 －316.

［6］ Benchabane F，Titaouine A，Bennis O，et al.Systematic fuzzy sliding mode approach combined with extended Kalman filter for permanent magnet synchronous motor control［C］//International Conference on Syetems Man and Cybernetics(ICSMCE).2010:2169－2174.

［7］ Senjyu T，Kinjo K，Urasaki N，et al.Parameter measurement for PMSM using adaptive identification［J］.IEEE Trans.Ind.Electron，2002，3:711 －716.

［8］ 龐中華，崔紅.系統(tǒng)辨識(shí)與自適應(yīng)控制MATLAB仿真［M］.北京航空航天大學(xué)出版社，2009:25－35.

［9］ 吳永前.永磁同步電機(jī)無(wú)位置傳感器調(diào)速系統(tǒng)的研究［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2001.

［10］ 王鴻山，張興，楊椒英，等.基于最小二乘法在線參數(shù)辨識(shí)的異步電動(dòng)機(jī)矢量控制仿真［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32(4):496－499.