基于DWT的水文序列復(fù)雜性分析

李永芳，陳麗俠，程 瑤

(1.黃河水利委員會(huì)工程建設(shè)管理中心，河南鄭州 450003;2.福建省水文水資源勘測(cè)局，福建福州 350001)

基于DWT的水文序列復(fù)雜性分析

李永芳1，陳麗俠2，程 瑤2

(1.黃河水利委員會(huì)工程建設(shè)管理中心，河南鄭州 450003;2.福建省水文水資源勘測(cè)局，福建福州 350001)

在對(duì)流域出口斷面實(shí)測(cè)年徑流序列和年降雨序列進(jìn)行離散小波變換(DWT)的基礎(chǔ)上，利用信息量系數(shù)(ICF)和赫斯特(Hurst)系數(shù)2種不同的指標(biāo)，分別定量描述了2種指標(biāo)下水文序列的復(fù)雜性.結(jié)果表明，年降雨序列的復(fù)雜性均大于實(shí)測(cè)年徑流序列的復(fù)雜性.

水文序列;離散小波變換;復(fù)雜性

流域的降雨、徑流等水文因子由于受氣候變化、流域自然地理以及人類活動(dòng)的綜合影響，其過(guò)程呈現(xiàn)出一系列的復(fù)雜性，特別是近年來(lái)氣候異常以及人工取用水的加劇使得其變化特性的復(fù)雜程度有明顯改變.如何進(jìn)一步認(rèn)識(shí)跨越不同背景下的水文因子序列的復(fù)雜特性將成為水文學(xué)的研究?jī)?nèi)容［1］.引起事物復(fù)雜性的根源是多種多樣的，真正的復(fù)雜性并不能由任何單一因素產(chǎn)生，而是非線性(非平衡性)、多樣性、多層性、多變性、整體性、統(tǒng)計(jì)性、自相似性、非對(duì)稱性(對(duì)稱破缺)、不可逆性和自組織臨界性等多種根源相互影響、交叉、纏繞、滲透以及融合的結(jié)果［2］.就水文過(guò)程而言，其復(fù)雜性又表現(xiàn)為隨機(jī)性、非線性、分形和混沌等具體形式［3］.小波分析的多分辨分析(Multi-resolution Analysis，MRA)能夠充分挖掘信號(hào)(水文序列)的細(xì)節(jié)信息，筆者利用這一非線性方法并與計(jì)算復(fù)雜性方法結(jié)合，為實(shí)現(xiàn)流域水文變化之復(fù)雜特性的定量表征研究做了一定的探討.

1 小波與小波變換

1.1 小 波

小波函數(shù)是具有振蕩特性，能夠迅速衰減到零的一類函數(shù)［3－4］.設(shè)任一小波 ψ(t) ∈ L2(R) 滿足相容性條件，定義子波函數(shù)為

1.2 小波變換與離散小波變換

對(duì)于任一函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換(Continue Wavelet Transform，CWT) 公式［5－6］為

式中Wf(a，b)為小波變換系數(shù).

由式(1)、式(2)可知，小波分析實(shí)際上是一族小波函數(shù)表示的時(shí)間函數(shù)f(t)，通過(guò)小波變換就可得到小波變換系數(shù)，而對(duì)這些系數(shù)的分析可以顯示出時(shí)間函數(shù)的時(shí)頻特性及其重要的局部變化特性.而這種隨著尺度a由大到小的變化，對(duì)信號(hào)或者圖像可以由粗到精地觀察，既可以看到信號(hào)或圖像的概貌部分，又可以看到其細(xì)節(jié)部分的特征就被稱之為多分辨分析(MRA).

在水文學(xué)的應(yīng)用中，時(shí)間函數(shù)f(t)多為離散的時(shí)間序列，實(shí)際工作需要對(duì)式(2)進(jìn)行離散化，得到離散小波變換(Discrete Wavelet Transform，DWT)公式

式中:k=1，2，…，N;Δt為取樣時(shí)間間隔.

2 基于DWT的水文序列復(fù)雜性計(jì)算

2.1 基于DWT的水文序列信息量系數(shù)計(jì)算

信息量系數(shù)(Information Cost Function，ICF)計(jì)算出了與序列能量分布相應(yīng)的信息，并從一定程度上表現(xiàn)了序列的信息維數(shù)，從而表征了被研究序列的復(fù)雜程度.以下是基于DWT的水文序列信息量系數(shù)的具體計(jì)算過(guò)程［5］.

首先將水文時(shí)間序列f(t)的時(shí)間參數(shù)和平移參數(shù)分別進(jìn)行處理:

對(duì)參數(shù)處理后的f(t)進(jìn)行離散小波變換，并定義dj，k為aj(j=1，2，…，M;M為最大分解次數(shù)) 尺度下的離散小波變換系數(shù).

其次可求得水文序列f(t)在各種尺度水平j(luò)下的能量

繼而求出水文序列f(t)在各個(gè)尺度上的能量概率分布Pj，

將能量概率分布的香農(nóng)(Shanon)熵定義為信息量系數(shù)，即有

2.2 基于DWT的水文序列Hurst系數(shù)計(jì)算

由于降雨、徑流等水文現(xiàn)象的發(fā)展在時(shí)間上存在相依性，則表征其發(fā)展過(guò)程的時(shí)間序列也相應(yīng)地表現(xiàn)出持續(xù)性或長(zhǎng)程相依性［7］.Hurst系數(shù)是能夠反映水文序列的長(zhǎng)滯時(shí)相關(guān)結(jié)構(gòu)的一種定量指標(biāo)，從而表征了水文序列的復(fù)雜性.研究表明，一維自相似過(guò)程f(t)的分維數(shù)D與Hurst指數(shù)H的關(guān)系為［8］

因此，要想獲取序列的分維值，只需求取Hurst指數(shù)即可.文獻(xiàn)［9］證明了Hurst系數(shù)的小波估計(jì)量具有無(wú)偏性和有效性.基于DWT的Hurst系數(shù)的計(jì)算過(guò)程如下［1，9］.

通過(guò)上述2變量計(jì)算Hurst系數(shù)的小波估計(jì)

3 實(shí)例研究

以福建閩江支流建溪七里街站上游流域?yàn)檠芯繀^(qū)域，就流域出口斷面1951—2001年的實(shí)測(cè)年徑流序列和年降雨序列，采用上述2種方法分別進(jìn)行了序列的復(fù)雜性定量計(jì)算.由于Db6小波具有緊支集、正相交以及良好的消失矩等重要特性，為便于研究比較，2種方法均選取Db6小波進(jìn)行小波變換，快速算法統(tǒng)一采用 Mallat算法，對(duì)序列進(jìn)行 5層MRA分解.

3.1 基于 DWT的水文序列信息量系數(shù)的應(yīng)用分析

將上述基于DWT的信息量系數(shù)用于試驗(yàn)區(qū)域水文序列51 a(1951—2001年)的變化特征刻劃，得到不同水文序列的信息量系數(shù)，見表1.為描述方便，做出各序列能量概率分布圖，如圖1所示.

表1 七里街水文序列信息量系數(shù)計(jì)算

圖1 七里街水文序列能量概率分布

圖1表明了水文序列在各頻帶上的能量分布情況.兩序列在頻域上特別是1—4層的能量分布比較均勻，說(shuō)明兩序列在時(shí)域上分布規(guī)則性差，故兩序列的ICF值都比較高，都表現(xiàn)出較強(qiáng)的復(fù)雜性，由圖1容易看出，年實(shí)測(cè)徑流序列的相對(duì)起伏大些，說(shuō)明該序列在時(shí)域上的周期性成分相對(duì)較強(qiáng)，亦即該序列在時(shí)域上相對(duì)同期年降雨序列而言有較強(qiáng)的有序性，因此在信息量系數(shù)的表征上相對(duì)較小，其復(fù)雜性較小.

3.2 基于 DWT的水文序列 Hurst系數(shù)的應(yīng)用分析

將試驗(yàn)區(qū)域水文序列的Hurst系數(shù)的小波估計(jì)(選取j1=1，j2=5)及其相應(yīng)的分維值列入表2.

表2 七里街水文序列Hurst系數(shù)小波估計(jì)

由表2可知，試驗(yàn)區(qū)域年降雨和實(shí)測(cè)年徑流序列的Hurst系數(shù)值較高，均大于0.5.由相關(guān)理論可知［1］，這些時(shí)序過(guò)去的增量與未來(lái)的增量呈正相關(guān)關(guān)系，序列的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有良好的長(zhǎng)持續(xù)性.并且從H值的大小可知，實(shí)測(cè)年徑流序列的H值較大，表明該序列長(zhǎng)滯時(shí)相關(guān)結(jié)構(gòu)的有序性較好，體現(xiàn)在分維上，其值最小，因而復(fù)雜性相對(duì)較小;而年降雨序列的H值較小，表明了該序列的長(zhǎng)滯時(shí)相關(guān)結(jié)構(gòu)的有序性較差，體現(xiàn)在分維上，其值較大，因而復(fù)雜性相對(duì)較大.

4 結(jié)語(yǔ)

1)在基于離散小波變換的基礎(chǔ)上，分別計(jì)算了1951—2001年閩江建溪七里街流域的年降雨序列與實(shí)測(cè)年徑流序列的信息量系數(shù)和Hurst指數(shù).無(wú)論選取那種指標(biāo)，試驗(yàn)流域的年降雨序列相對(duì)實(shí)測(cè)年徑流序列都表現(xiàn)出更強(qiáng)的復(fù)雜性.

2)計(jì)算結(jié)果表明，人類活動(dòng)特別是人工取用水的控制和干預(yù)使得實(shí)測(cè)年徑流序列的年代際變化更趨于平緩化和有序化.

［1］王文圣，丁晶，李躍清.水文小波分析［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2005.

［2］方錦清.令人關(guān)注的復(fù)雜性科學(xué)和復(fù)雜性研究［J］.自然雜質(zhì)，2002，24(1):7 －15.

［3］［美］崔錦泰.小波分析導(dǎo)論［M］.程正興，譯.西安:西安交通大學(xué)出版社，1995.

［4］程正興.小波分析算法與應(yīng)用［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1998.

［5］李賢彬，丁晶，李后強(qiáng).水文時(shí)間序列的子波分析法［J］.水科學(xué)進(jìn)展，1999，10(2):144 －149.

［6］張少文.黃河流域天然年徑流變化特性分析及其預(yù)測(cè)［D］.成都:四川大學(xué)，2005.

［7］P Abray，D Veiteh.Wavelet analysis of long-range-dependence traffic.IEEE Trans［J］.Information Theory，1998，4(1):2－5.

［8］肯尼思法爾科內(nèi).分形幾何——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用［M］.曾文曲，劉世耀，譯.沈陽(yáng):東北大學(xué)出版社，1991.

［9］李賢彬，丁晶，李后強(qiáng).水文序列Hurst系數(shù)的子波估計(jì)法［J］.水利學(xué)報(bào)，1999，10(8):21 －25.

Complexity Analysis of Hydrologic Series Based on DWT

LI Yong-fang1，CHEN Li-xia2，CHENG Yao2
(1.Engineering Construction and Management Center，YRCC，Zhengzhou 450003，China;2.Fujian Hydrologic and Water Resources Bureau，F(xiàn)uzhou 350001，China)

The Discrete Wavelet Transform(DWT)was carried through with measured annual runoff series and annual precipitation series of the section in the outlet of the watershed.On the basis of this，tow different indicators，namely the Information Cost Function(ICF)and Hurst coefficient were used to describe the complexity of these two hydrologic series respectively.The results illustrated that the annual precipitation series was more complex than the measured annual runoff series.

hydrologic series;DWT;complexity

1002－5634(2011)05－0043－03

2011－07－30

李永芳(1979—)，女，河南項(xiàng)城人，工程師，碩士，主要從事水文水資源方面的研究.

(責(zé)任編輯:陳海濤)