有結(jié)構(gòu)不確定的時延多智能體系統(tǒng)一致性

張 順，楊洪勇

（魯東大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 煙臺 264025）

所謂多智能體系統(tǒng)的一致性，是指隨著時間的演化，一個多主體系統(tǒng)中所有主體的狀態(tài)趨于一致[1]。對于多智能體系統(tǒng)的建模，Reynolds提出了Boid模型[2]，但該模型的一些基本規(guī)則要求限制較多。Vicsek等人從統(tǒng)計力學(xué)角度提出了一個經(jīng)典模型模擬粒子涌現(xiàn)的一致性現(xiàn)象。Jadbabaie等人最早對Vicsek提出的模型用矩陣方法進(jìn)行了理論分析[3]。Olfati-Saber等人比較詳細(xì)地提出了一致性問題的理論框架，并給出了基本的一致性協(xié)議，得到了多智能體系統(tǒng)取得平均一致的條件，而且分析了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q和系統(tǒng)存在時延的情況，給出了時延相關(guān)的一致性收斂條件[4]。Ren和Beard等人[5-7]同樣考慮了一致性的基本問題，對一致性協(xié)議從連續(xù)時間和離散時間方面進(jìn)行了描述，并且給出了時變拓?fù)淦胶鉅顟B(tài)分析。

本文主要是采用LMI方法對具有時變結(jié)構(gòu)不確定性的二階時延多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行分析，為獲得相對較低的保守性，引入自由權(quán)矩陣的思想，得到了系統(tǒng)取得一致的判據(jù)。

1 問題描述

1.1 圖論基礎(chǔ)

假設(shè)對于兩個節(jié)點 i≠j，若存在下標(biāo)集合{k1，k2，…，kl}，且 aik1＞0，ak1k2＞0， …，ak1j＞0 則稱節(jié)點 i和節(jié)點 j之間存在一條有向連通路徑。若對于圖G中任意兩個節(jié)點之間都存在至少一條有向連通路徑，則稱圖G為強(qiáng)連通圖。

1.2 一致性協(xié)議

用 xi（t）表示智能體的位置，vi（t）表示智能體 i的速度，假定任意智能體的狀態(tài)方程為：

其中 k1＞0 為速度的控制增益，Δaij（t）為多智能體系統(tǒng)時變結(jié)構(gòu)不確定性，τ（t）為兩個智能體之間的有界時變時延且滿足：

其中時延上界h＞0。當(dāng)且僅當(dāng)任意智能體i，j狀態(tài)方程滿足條件（4）時，稱控制協(xié)議（2）漸近可解二階智能體系統(tǒng)（1）的一致性問題：

則有結(jié)構(gòu)不確定性的二階時延多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示成如下矩陣形式：

引理1[9]給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q=QT，H，E則有：

對所有滿足 FT（t）F（t）≤I的 F（t）都成立的充要條件是存在一正數(shù)ε＞0使得下式成立

2 主要結(jié)論

對于時延滿足式（3）有強(qiáng)連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時變結(jié)構(gòu)二階時延多智能體系統(tǒng)：

則采用一致性協(xié)議（2）的多智能體系統(tǒng)（7）能夠漸近實現(xiàn)平均一致，其中

證明：分成兩步來證明，首先考慮無結(jié)構(gòu)不確定性的二階時延多智能體系統(tǒng)，即狀態(tài)方程和控制協(xié)議滿足

故如果 Ψ ＞0 且 [I]＜0，對于充分小 ε 的有V˙（t，ξ）≤-ε‖ξ（t）‖2。滿足時延約束（2）時，系統(tǒng)（16）是漸近穩(wěn)定的。而利用shur補(bǔ)定理，得到 [I]＜0 與

等價。

然后，在此基礎(chǔ)上考慮系統(tǒng)（7），用 B′=-（L+Lc（t））?U=-（B+DF（t）Eb），替代（22）式中的 B，其中 D，Eb為常數(shù)矩陣，F(xiàn)（t）為未知的時變矩陣，且滿足?t＞，F(xiàn)T（t）F（t）＜I對應(yīng)的式（22）變?yōu)?/p>

應(yīng)用引理1，式（24）成立的一個充要條件是存在一個正數(shù)使得下邊式（25）成立

應(yīng)用 shur補(bǔ)，式（25）等價于式（11）。

3 實例仿真

考慮如圖1所標(biāo)4個智能體組成的系統(tǒng)的強(qiáng)連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，假定無結(jié)構(gòu)不確定性的鄰接矩陣取值為0，1。

圖1 四智能體不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式Fig.1 Topology map of 4 agents

對圖1中Ga所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，采用控制協(xié)議（2）的二階系統(tǒng)（1）仿真，令k1=2，取智能體間通信時延均為τ=0.3，初始狀態(tài)位置 x（0）=[50-40-20 30]T，速度 V（0）=[3 2 4 8]。 根據(jù)定理1，可以知道，該具有結(jié)構(gòu)不確定性的二階時延多智能體系統(tǒng)最終會趨于穩(wěn)定在圖1所示拓?fù)浠A(chǔ)上人為加入時變不確定性，拓?fù)錇镚a的四智能體系統(tǒng)的各個智能體的位置變量和速度變量的演化仿真過程如下：

圖2 多智能體系統(tǒng)一致性位置與速度與時間關(guān)系圖Fig.2 Simulation of states of 4 agents

可以看到，各個智能體隨著時間的變化位置（圖2（a））趨向于某一固定值，速度（圖2（b））收斂于 0。對于圖1中拓?fù)銰b和其他未描述的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，經(jīng)過實驗驗證，得到類似結(jié)果；另外，對于在時延上界范圍內(nèi)的不同時延，也得到了類似的結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文采用了時域分析方法研究了具有時變結(jié)構(gòu)不確定性的時延二階多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性，主要用LMI方法進(jìn)行了分析，并在推導(dǎo)證明結(jié)論過程中引入了具有較低保守性的自由權(quán)矩陣思想，而且考慮了系統(tǒng)實際應(yīng)用過程中可能存在的結(jié)構(gòu)不確定性的因素，得到了相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)。

[1]楊文，汪小帆，李翔.一致性問題綜述[C]//第25屆中國控制會議，2006：1482-1486.

[2]Reynolds C W.Flocks，herds，and schools：a distributed behavioral model[J].Computer Graphics，1987，21（4）：25-34.

[3]Jadbabaie A，JIE L，MORSE A S.Coordination of groups of mobile autonomous agents using nearest neighbor rules[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48（6）：988-1001.

[4]Olfati-Saber R，Murray R M.Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49（9）：1520-1533.

[5]WEI Ren，Beard R W.Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2005，50 （5）：655-661.

[6]REN Wei.Multi-vehicle consensus with a time-varying reference state[J].Systems and Control Letters，2007，56 （7-8）：474-483.

[7]WU Min，HE Yong，SHE Jin-hua，et al.Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J].Automatica，2004，40（8）：1435-1439.

[8]PENG Lin，JIA Ying-min.Consensus of a class of secondorder multi-agentsystems With time-delay and jointly-connected topologies[J].Automatic Control，IEEE Transactions on，2010，55（3）：778-784.

[9]Petersen I R，Hollot C V.A riccati dquation approach to the stabilization of uncertain linear systems[J].Automatica，1986，22（4）：341-397.