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    NURBS曲線修正插補(bǔ)算法的研究

    2011-07-07 08:48:58鄔再新張萬軍胡赤兵
    制造業(yè)自動化 2011年22期
    關(guān)鍵詞:數(shù)控系統(tǒng)蘭州修正

    鄔再新,張萬軍,胡赤兵,張 峰

    (1. 蘭州理工大學(xué) 數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點(diǎn)實驗室,蘭州 730050;2. 蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730050;3. 蘭州瑞豐工貿(mào)有限公司,蘭州 730050)

    0 引言

    目前只有極少數(shù)FANUC、Siemens、三菱等數(shù)控系統(tǒng)支持NURBS插補(bǔ),而絕大多數(shù)數(shù)控系統(tǒng)支持直線、圓弧或拋物線等插補(bǔ)[1]。于是研究NURBS插補(bǔ)方法在開放的CNC系統(tǒng)中就顯得十分必要,CNC系統(tǒng)中添加NURBS曲線插補(bǔ)[2],通常使用參數(shù)遞推方法插補(bǔ)。對NURBS曲線插補(bǔ)參數(shù)遞推一階、兩階求解(導(dǎo)數(shù))比較麻煩,加工誤差較大。本文給出一種NURBS曲線修正的插補(bǔ)算法,該算法可以提高加工精度、實現(xiàn)高效率的加工。

    1 NURBS曲線的數(shù)學(xué)定義[3,7]

    NURBS曲線一分段的矢值有理多項式函數(shù),其表達(dá)式為:

    式中wi為權(quán)因子(i=0, 1, …, n),vi分別控制頂點(diǎn)相聯(lián)系(i=1, …, n),Bi, k(u)為k次樣條基函數(shù)。一條NURBS曲線由它的幾何三要素定義控制頂點(diǎn)、權(quán)因子和節(jié)點(diǎn)矢量等構(gòu)成。

    2 NURBS曲線插補(bǔ)修正

    NURBS曲線用控制點(diǎn)、權(quán)因子和節(jié)點(diǎn)矢量來表達(dá)曲線信息。減少了精度損失,可用CNC原理上的最小步長(由系統(tǒng)插補(bǔ)周期確定的進(jìn)給弦長)來逼近輪廓,獲得最高的逼近NURBS曲線插補(bǔ)的精度。參數(shù)作為NC系統(tǒng)程序的一部分,由CNC系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行實時計算生成NURBS曲線[5],就可以滿足NURBS實時性。

    2.1 NURBS插補(bǔ)預(yù)處理

    為減少NURBS曲線插補(bǔ)中實時計算的工作量,可把不需要在實時插補(bǔ)中進(jìn)行的所有操作(如控制頂點(diǎn)、權(quán)因子、節(jié)點(diǎn)矢量等)放在插補(bǔ)預(yù)處理中完成,降低實時插補(bǔ)的計算復(fù)雜程度,提高插補(bǔ)計算的速度[4]。

    2.2 插補(bǔ)方法

    本算法采用快速遞推的近似算法來預(yù)估新插補(bǔ)點(diǎn)。以對時間的二階差分代替微分[6],即:

    代入二階泰勒級數(shù)展開式

    然后將估計參數(shù)u′i+1代入曲線方程可得預(yù)估插補(bǔ)點(diǎn) p′i+1及預(yù)估插補(bǔ)點(diǎn)對應(yīng)的進(jìn)給步長 Δl′i=p (ui+1)-p (ui) 得到該插補(bǔ)周期增量值,但是由求解比較麻煩,故而采用修正法對其改進(jìn)。

    2.3 插補(bǔ)修正

    2.3.1 滿足插補(bǔ)前修正各軸控制的關(guān)系式[8]

    利用樣條曲線構(gòu)造方法,產(chǎn)生一條空間n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的自由曲線。該空間自由曲線第i段為:

    滿足如下條件:

    2.3.2 參數(shù)插補(bǔ)過程中滿足的算法條件

    利用式(1)求方程pi(u)得一階導(dǎo)數(shù)、兩階導(dǎo)數(shù)建立關(guān)于參數(shù)u 的方程。令V0=p0,Vn+2=pn:

    式中“×、空格”,分別表示有數(shù)值、零。通過曲線參數(shù)化求解(同樣可建立兩階參數(shù)方程可求出解)、改變“×”的值(含參數(shù)u)、反算控制點(diǎn),完成整過插補(bǔ)。

    筆者提出的NURBS曲線修正算法插補(bǔ)流程圖如圖1所示。

    圖1 NURBS曲線修正算法流程圖

    2.4 插補(bǔ)算法實現(xiàn)

    在NURBS曲線插補(bǔ)的過程中,首先設(shè)置插補(bǔ)實時滿足的條件參數(shù)遞推和NURBS曲線求導(dǎo)(一階、兩階),判斷在插補(bǔ)中是否從在常量進(jìn)行預(yù)處理,從而實現(xiàn)插補(bǔ)。同時,在插補(bǔ)的過程中要使誤差(弓高)在一定范圍內(nèi),完成插補(bǔ)。筆者給出的插補(bǔ)算法實現(xiàn)簡圖,如圖2所示。

    圖2 NURBS曲線插補(bǔ)算法實現(xiàn)簡圖

    2.5 誤差(弓高)計算和分析

    在插補(bǔ)中為了保證插補(bǔ)精度,要使插補(bǔ)曲線與NURBS曲線的弓高誤差在規(guī)定的精度范圍之內(nèi),如圖3所示。

    圖3 NURBS曲線誤差分析

    圓弧插補(bǔ)時的逼近誤差e與插補(bǔ)周期T、進(jìn)給速度F以及該曲線在逼近處的的曲率半徑ρ的關(guān)系為:

    因為△l=FT,代入上式有:

    當(dāng) e= eh,Δli= Δl時,由式(3)得:

    可見在整個插補(bǔ)的過程中,若T越長,或F越大,或ρ越小,則插補(bǔ)誤差越大。在實際的數(shù)控系統(tǒng)中,通過對F進(jìn)行限制來保證e在允許的范圍內(nèi)。NURBS曲線模擬(近似)誤差e與實際誤差MN如圖4所示:

    圖4 NURBS曲線近似誤差與實際誤差

    根據(jù)計算由圖4列出eh的關(guān)系式:

    弓高誤差和實際誤差相比較小,只在曲線拐點(diǎn)的地方有較小的影響。因此在一般情況下可忽略,說明曲線實際控制與模擬控制相吻合。

    3 驗證

    上述算法在matlab7.0上進(jìn)行驗證,利用不同控制點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y),節(jié)點(diǎn)、權(quán)因子、次數(shù)等,以X軸的控制位置和Y軸的控制位置作出實際輪廓控制位置和插補(bǔ)控制位置的NURBS曲線插補(bǔ)運(yùn)算仿真圖。驗證曲線實際控制與模擬控制,如圖5所示。

    4 結(jié)論

    圖5 曲線實際控制與模擬曲線插補(bǔ)

    本文建立的NURBS曲線插補(bǔ)修正算法通過在matlab7.0上,模擬曲線實際控制與模擬控制相吻合,從而驗證該算法是正確的,達(dá)到參數(shù)修正的目的。該算法不僅滿足加工精度方面的要求,同時滿足了加工實時性要求。

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