非標(biāo)準(zhǔn)模型下的逐點(diǎn)可測性

陳東立，鄭煥平，史艷維

(1.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，西安 710055;2.西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部，西安 710125)

20世紀(jì)60年代A.Robinson［1］創(chuàng)立了非標(biāo)準(zhǔn)分析。非標(biāo)準(zhǔn)分析是利用數(shù)理邏輯方法來探討和刻畫微積分的理論基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)開辟了新的研究領(lǐng)域。自非標(biāo)準(zhǔn)分析創(chuàng)立以來，國內(nèi)外許多的數(shù)學(xué)家利用非標(biāo)準(zhǔn)分析理論，對拓?fù)淇臻g［2］、泛函分析、微分方程、概率論［3］、代數(shù)數(shù)論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)等多方面領(lǐng)域做出了深入細(xì)致的研究與刻畫。

連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的主要研究對象，而可測函數(shù)要比連續(xù)函數(shù)內(nèi)容更加豐富，應(yīng)用更加廣泛。測度通俗地講就是測量幾何區(qū)域的尺度。本文是在非標(biāo)準(zhǔn)模型下引入逐點(diǎn)可測性的概念，從而得到一些相應(yīng)性質(zhì)定理，并討論了逐點(diǎn)可測性與Loeb可測性及泛Loeb可測性之間的關(guān)系，進(jìn)而使得在飽和原理下，內(nèi)函數(shù)的逐點(diǎn)可測性有意義且等同于一般的可測性。

設(shè)X、Y是無限集，R是實(shí)數(shù)集，V(S)是以S為個體集的超結(jié)構(gòu)，V(*S)是V(S)的非標(biāo)準(zhǔn)模型，*X是X 的擴(kuò)張，X?*X，Y?*Y。

定義1 設(shè)A是一個集合，Ω?P(A)，若對于Ω的任意有限個元素A1，A2，…，An，均有，則稱集族Ω具有有限交性質(zhì)。

定義2［4］設(shè)κ是無限基數(shù)，V(*S)是κ飽和的，即對于V(*S)中的任一具有有限交性質(zhì)的非空內(nèi)集族{At}t∈T，且 card(T)＜ κ，有特別地，如果V(*S)對于κ≥card(V(S))是κ－飽和的，則稱V(*S)是多飽和的。

定義3 設(shè)X是任意集合，A是X的一個子集族，如果A滿足

① X∈A。

② 對任意集A∈A，有Ac∈A。

③ 對任意有限序列A1，…，An∈A，有，則稱A為X上的一個代數(shù)。

定義4 設(shè)Ai?P(Xi)，i=1，2是代數(shù)，則稱函數(shù) f:X1→X2關(guān)于A1和A2可測，當(dāng)且僅當(dāng)對所有C2∈A2，有 f－1(C2)∈A1。

在拓?fù)淇臻g上可以定義逐點(diǎn)連續(xù)的概念:設(shè)X，Y是拓?fù)淇臻g，函數(shù)f:X→Y，x∈X，如果對f(x)的任意鄰域V，存在x的鄰域U，使得f(U)?V，則稱f在點(diǎn)x處連續(xù)，且一個函數(shù)在某一個集合上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)它在此集合上的每一點(diǎn)處連續(xù)。

設(shè)X，Y是非空集合，f:X→Y，A，B是X上的代數(shù)，可類似的定義f在X上一點(diǎn)x處可測:若對任意B∈B，f(x)∈B，存在且x∈A，使得f(A)?B，則稱f在x處可測。但是如此定義的“點(diǎn)可測”沒有與通常可測性相似的性質(zhì)。

定義5 設(shè)A?P(X)，B?P(Y)是代數(shù)，且 g:*X→*Y是內(nèi)函數(shù)，σA={*A:A∈A}，σB={*B:B∈B}，函數(shù)g稱為在點(diǎn)x∈*X處關(guān)于σA和σB可測，當(dāng)且僅當(dāng)對任意B∈B，g(x)∈*B，存在A∈A，x∈*A，使得g(*A)?*B。

下面此定理證明了對所有x∈*X的逐點(diǎn)可測性等同于通常的可測性，并且進(jìn)一步等價(jià)于某給定拓?fù)涞倪B續(xù)性。

定理1 設(shè)A，B分別是X，Y上的代數(shù)，對內(nèi)函數(shù)g:*X→*Y下列條件等價(jià):

(1)g是關(guān)于σA和σB可測。

(2)g是在所有點(diǎn)x∈*X處關(guān)于σA和σB可測。

(3)g是 T(σA)，T(σB)－連續(xù).其中 T(σA)是包含σA 的最小拓?fù)?，T(σB)類似。

證明

(1)?(3)設(shè)對任意B∈σB，只要證g－1(B)∈T(σA)即可.因?yàn)間是關(guān)于σA和σB可測，所以對所有B∈σB，有 g－1(B)∈σA，又由于σA?T(σA)，所以 g－1(B)∈T(σA)。

(3)?(2)設(shè)x∈*X，B∈B且 g(x)∈*B，因?yàn)?g在 x處是 T(σA)，T(σB)－連續(xù)，所以對任意 T∈T(σA)，存在 x∈T，使得 g(T)?*B，又由于σA 是 T(σA)的基，則存在*A∈σA，使得 x∈*A?T，所以g(*A)?*B。

(2)?(1)設(shè) B∈B，x∈*X，g(x)∈*B，存在 Ax∈A，x∈*Ax，且 g(*Ax)?*B，由于g－1(*B)，且 g－1(*B)是內(nèi)的，由多飽和原理，存在有限多 Axi，i=1，…，n，且，因此g－1(*B)=*A，其中，因?yàn)锳是代數(shù)，所以有A∈A。

推論設(shè)A，B分別是X，Y上的代數(shù)，函數(shù)f:X→Y，則f是關(guān)于A和B可測當(dāng)且僅當(dāng)*f在點(diǎn)x∈*X處關(guān)于σA和σB可測。

證明

? 因?yàn)?f是關(guān)于 A 和 B 可測，所以對 B∈B，有 f－1(B)∈A，由轉(zhuǎn)換原理［5］:有*f－1(*B)∈σA，則由定理1知*f在點(diǎn)x處關(guān)于σA和σB可測。

? 設(shè)B∈B，則對每個x∈*X，存在 Ax∈A且 x∈*Ax，使得*f(*Ax)?*B。由于是內(nèi)的，由多飽和原理，存在有限個 Axi，i=1，…，n，且有因此*f－1(*B)=*A，其中，由轉(zhuǎn)換原理得 f－1(B)=A，因?yàn)?A為代數(shù)，所以 A∈A，即f－1(B)∈A。

Loeb測度是Loeb在1975年將一個內(nèi)代數(shù)上定義的內(nèi)測度擴(kuò)張到由這個內(nèi)測度生成的σ－代數(shù)上，成為一個標(biāo)準(zhǔn)測度。

定義6［6］設(shè)(X，A，μ)是一個有限測度空間，則由轉(zhuǎn)換原理(*X，*A，*μ)是一個內(nèi)的，有限可加測度空間。關(guān)于(X，A，μ)的 Loeb空間定義如下:令及是P(*X)到R+∪{0}的映射，使得對任意A∈P(*X)有:

注 設(shè)Aμ是A關(guān)于μ的完備，顯然有Aμ是σ－代數(shù)并且有Aμ={C?X，存在A，N∈A，使得A?C?A∪N，且 μ(N)=0}。

定義7 設(shè)A?*X，如果對所有有限內(nèi)測度*μ，都有A∈L(*A，*μ)，則稱A是泛Loeb可測的。所有泛Loeb可測集的集族記為Lμ(*A)=Lμ。

引理［7］設(shè)A是X上的代數(shù)，L?A是子族，則有

下來證明*f在點(diǎn) x處對所有 x?N是關(guān)于σA和σB可測，設(shè) x?N，B∈B，*f(x)∈*B，因?yàn)?x?*NB，*f－1(*B)?*AB∪*NB，取 x∈*AB，由于 AB∈A，則*f(*AB)?*B，所以*f在點(diǎn) x 處是關(guān)于σA 和σB

定理2 設(shè)A?P(X)是σ－代數(shù)，B? P(Y)是代數(shù)，且μ|A是有限測度，函數(shù)f:X→Y，則有f是關(guān)于Aμ和 B 可測，當(dāng)且僅當(dāng)*f在點(diǎn) x處關(guān)于σA 和σB 可測，其中 x∈*X，*μL－a.e..。

證明

? 因?yàn)?f－1(B)∈Aμ，B∈B 則存在 AB，NB∈A，AB，?f－1(B)?AB∪NB，且 μ(NB)=0，設(shè) N=可測。

? 設(shè)B∈B，只要證C=f－1(B)∈Aμ即可。由于

則由引理及條件知*C是*μL－可測的，所以對n∈N，存在D，E∈*A，D?*C?E且*μ(E－D)＜1/n，由轉(zhuǎn)換原理C∈Aμ。

設(shè) μ 是完備測度，即 A=Aμ，則由推論和定理2知:如果*f是逐點(diǎn)關(guān)于σA 和σB 可測*μL－a.e..，則它是處處逐點(diǎn)關(guān)于σA和σB可測。特別地，定理2證明了*f的所有關(guān)于σA和σB可測點(diǎn)的集對關(guān)于Aμ和B可測函數(shù)f是*μL可測。然而下面此定理不需要基于Loeb測度*μL，對任意函數(shù)f和測度μ，可測點(diǎn)的集是μL可測的。

定理3 設(shè) A? P(X)是σ－代數(shù)，B? P(Y)是代數(shù)，且對任意B∈B，都有函數(shù)f:X→Y，令F是所有點(diǎn)x∈*X的集使得*f在點(diǎn)x處關(guān)于σA和σB可測，則F是泛Loeb可測。

證明由題知，其中

由FB的定義有:

設(shè) μ|*A是有限內(nèi)測度，對每個C?Y 選An∈A 且f(An)?C，μL(*An)↑sup{μL(*A):A∈A，f(A)?C}，設(shè)，則 AC∈A，f(AC)?C。又對任意 A∈A，有 f(A)?C，所以

令LB={A∈A:f(A)?B或，由式(1)與(2)可得

由式(3)對任意 B∈B，A∈LB，取，因此由引理有 μL(N)=0。設(shè) D=，則由引理知，D是μL可測。由于F－D?N且μL(N)=0，F(xiàn)－D也是μL可測的，因此F=D∪(F－D)是μL可測的。

［1］Davis M.Applied nonstandard analysis［M］.New York:Wiley，1977.

［2］陳東立，馬春暉，史艷維.拓?fù)涞姆菢?biāo)準(zhǔn)定義［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，36(3):348－350.

［3］Loeb P A.Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory［J］.Trans.Amer.Math.soc.，1975，211:113 －122.

［4］Cutland N J.Nonstandard measure theory and its applications［J］.Bull London Math Soc，1983，15:529 －589.

［5］Anderson R M.Star-finite representations of measure spaces［J］.Trans Amer Math Soc，1982，271:667 －687.

［6］Chen Dongli.The Loeb Space of Denumerable Infinite Dimensional Probability Product Measure Spaces［J］.Northeast Math J，2003，19(3):249 －253.

［7］Landers D，Rogge L.Universal Loeb-measurability of sets and of the standard part map with applications［J］.Trans Amer Math Soc，1987，304:229－243. (責(zé)任編輯劉 舸)