LDPC 碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能分析?

戴精科，郭道省，張邦寧，陳雪冰

（1.解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，南京210007；2.解放軍61068部隊(duì)；陜西長(zhǎng)安710100）

LDPC 碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能分析?

戴精科1，郭道省1，張邦寧1，陳雪冰2

（1.解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院，南京210007；2.解放軍61068部隊(duì)；陜西長(zhǎng)安710100）

通過(guò)理論分析和計(jì)算機(jī)仿真研究了LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能。首先證明單輸入雙輸出的非相干BFSK系統(tǒng)滿足信道對(duì)稱條件，然后分別利用離散密度進(jìn)化（DDE）和高斯近似（GA）算法給出了LDPC碼的性能下界，后者與前者相比性能非常接近而且計(jì)算量要小很多。通過(guò)仿真得到幾種常用LDPC碼的性能并與譯碼門限以及香農(nóng)極限進(jìn)行了比較，在相同碼長(zhǎng)條件下，度參數(shù)為（3，6）的碼字具有最優(yōu)的性能，并且其譯碼門限距離香農(nóng)極限只有約0.67 dB。

LDPC碼；非相干檢測(cè)；BFSK；對(duì)稱條件；離散密度進(jìn)化

1 引言

為了實(shí)現(xiàn)可靠傳輸，通信系統(tǒng)通常利用信道編碼來(lái)糾正信息傳遞過(guò)程中的隨機(jī)錯(cuò)誤。自從Turbo碼［1］被提出后，人們發(fā)現(xiàn)了很多性能接近香農(nóng)極限的信道碼［2-4］。其中低密度奇偶校驗(yàn)（Low Density Parity Check，LDPC）碼具有以下特點(diǎn)［5］：能夠并行譯碼，具有較快的譯碼速度；存在多種復(fù)雜度低的簡(jiǎn)化譯碼算法；具有自交織性且能確定譯碼結(jié)果正確與否；誤碼平層較低，性能接近甚至超過(guò)Turbo碼。目前，LDPC碼在衛(wèi)星通信特別是深空通信中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。

為了分析信道編碼的性能，人們提出了許多方法，其中密度進(jìn)化（Density Evolution，DE）算法［6-8］是當(dāng)前分析LDPC編碼系統(tǒng)性能的有效工具。只要滿足對(duì)稱性條件［6］，該算法能通過(guò)跟蹤分析譯碼器中變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間所傳遞消息的概率密度來(lái)判斷LDPC碼的譯碼門限，而且還可以設(shè)計(jì)性能更好的不規(guī)則LDPC碼［5，9］。對(duì)于實(shí)際信道DE算法的實(shí)現(xiàn)十分復(fù)雜，人們提出了多種簡(jiǎn)化算法，例如離散密度進(jìn)化（Discrete Density Evolution，DDE）法［10］和高斯近似（Gaussian Approximation，GA）法［11，12］，其中GA算法把迭代中計(jì)算消息密度的無(wú)限維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求高斯分布密度函數(shù)均值的一維問(wèn)題，在犧牲很小估計(jì)性能的前提下大大減少了運(yùn)算量。利用DE（簡(jiǎn)化）算法，文獻(xiàn)［5］、［6］研究了加性高斯白噪聲（AdditiveWhite Gaussian Noise，AWGN）信道中LDPC碼的性能，而文獻(xiàn)［13］、［14］則分別分析了其在瑞利和萊斯衰落信道中的性能。

以上文獻(xiàn)的研究基本都集中在相干檢測(cè)的BPSK系統(tǒng)，當(dāng)載波相位較難估計(jì)（例如采用跳頻通信體制）時(shí)，通信系統(tǒng)往往會(huì)采用非相干檢測(cè)方法［4，15-17］，其中最常見的是差分檢測(cè)（針對(duì)Differential M-ary Phase Shift Keying，DMPSK）和平方律檢測(cè)（針對(duì)Frequency Shift Keying，F(xiàn)SK）。對(duì)于差分相位調(diào)制系統(tǒng)，文獻(xiàn)［15，16］分別研究了LDPC碼在AWGN和瑞利衰落信道中的性能。對(duì)于FSK系統(tǒng)，文獻(xiàn)［4，17］利用外信息轉(zhuǎn)移（Extrinsic Information Transfer，EXIT）圖分析了重復(fù)累計(jì)碼、Turbo碼的性能；文獻(xiàn)［18，19］分別仿真了LDPC碼在非相干檢測(cè)的MFSK和快跳頻BFSK系統(tǒng)中的性能，但都未從理論上給出系統(tǒng)的性能界。

目前還沒有見到有關(guān)分析LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中理論性能的報(bào)道，因此本文將對(duì)該系統(tǒng)在AWGN信道中的性能進(jìn)行研究，給出理論下界并仿真實(shí)際碼性能。在BPSK或MDPSK系統(tǒng)中，一個(gè)輸入符號(hào)只對(duì)應(yīng)一個(gè)信道輸出，信道的對(duì)稱條件能夠較好地滿足［6，15］，但是對(duì)于非相干檢測(cè)BFSK系統(tǒng)，一個(gè)輸入對(duì)應(yīng)兩個(gè)輸出，信道的對(duì)稱性不能夠直接得到。因此，我們考察LDPC和積譯碼器的初始信息——符號(hào)的對(duì)數(shù)似然比（Log Likelihood Ratios，LLRs），證明它滿足信道對(duì)稱條件，可以利用DE（簡(jiǎn)化）算法來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的理論下界。采用DDE和GA算法發(fā)現(xiàn)，LDPC碼在非相干檢測(cè)BFSK系統(tǒng)中具有接近香農(nóng)極限的性能（例如，相距0.67 dB），而且這兩種算法估計(jì)的性能非常接近（例如，相距0.05 dB）。最后，通過(guò)仿真展示了幾種實(shí)際LDPC碼的性能并得到了一些有意義的結(jié)論。

2 系統(tǒng)模型

圖1給出了LDPC編碼非相干檢測(cè)BFSK系統(tǒng)模型。

圖1 LDPC編碼非相干BFSK系統(tǒng)模型Fig.1 Themodel of LDPC coded non-coherent BFSK system

在發(fā)送端，LDPC編碼后的信息比特被送入BFSK調(diào)制器，經(jīng)歷AWGN信道后，在接收端的信號(hào)為

式中，0≤t≤T，m=0，1；Es和T分別為符號(hào)能量和持續(xù)時(shí)間，f0和f1分別是編碼后比特為0或1時(shí)對(duì)應(yīng)的載波頻率，而且滿足正交性條件［20］；φm是［0，2π）上均勻分布的隨機(jī)相位；n（t）為加性白高斯噪聲，其雙邊功率譜密度為N0／2。接收信號(hào)經(jīng)過(guò)平方律檢測(cè)器（解調(diào)）后的輸出為Ym=Y2m，c+Y2m，s，其中Ym，c和Ym，s分別是檢測(cè)器的同相和正交分量，且滿足均值為、方差為N0／2的高斯分布。不妨設(shè)發(fā)送端發(fā)送的比特為1且對(duì)應(yīng)載波頻率f1，隨機(jī)變量Ym的概率密度函數(shù)（PDF）為［19，20］

式中，I0（*）為修改的零階貝賽爾函數(shù)。顯然，如果發(fā)送比特為0，Y1和Y0的PDF正好相反。譯碼使用和積算法，其輸入信息對(duì)數(shù)似然比為［19］

3 密度進(jìn)化算法和系統(tǒng)性能分析

利用密度進(jìn)化分析系統(tǒng)性能時(shí)必須滿足對(duì)稱條件，其中校驗(yàn)和變量節(jié)點(diǎn)的對(duì)稱性是由譯碼算法決定，而信道對(duì)稱性由實(shí)際信道決定。從文獻(xiàn)［6］可知，和積譯碼算法可以保證校驗(yàn)和變量節(jié)點(diǎn)的對(duì)稱性，因此，我們重點(diǎn)討論信道對(duì)稱性，證明系統(tǒng)的對(duì)稱條件后假設(shè)發(fā)送信息為全1碼字并利用密度進(jìn)化分析性能。由式（2）～（4）可知，很難解出和積譯碼器初始信息L的PDF閉合表達(dá)式，不過(guò)通過(guò)量化隨機(jī)變量可以求得其概率質(zhì)量函數(shù)（Probability Mass Function，PMF）［10］，并利用離散密度進(jìn)化獲取系統(tǒng)性能。觀察L的PMF發(fā)現(xiàn)它與高斯分布非常類似，因此也將利用高斯近似來(lái)獲取系統(tǒng)性能。采用密度進(jìn)化時(shí)存在無(wú)環(huán)且碼長(zhǎng)無(wú)限的假設(shè)，實(shí)際系統(tǒng)中LDPC碼（本文僅討論規(guī)則LDPC碼）都是有環(huán)而且長(zhǎng)度有限，因此DE（簡(jiǎn)化）算法得到的門限是實(shí)際系統(tǒng)的性能下界［6］。

3.1 信道對(duì)稱性

對(duì)編碼比特進(jìn)行如下映射：1→1，0→-1。對(duì)于單輸入、單輸出的相干解調(diào)BPSK系統(tǒng)，信道的對(duì)稱性由下式保證［6］：

式中，xt為第t個(gè)編碼比特，而Yt為相應(yīng)的解調(diào)器輸出。對(duì)于非相干解調(diào)的BFSK系統(tǒng)，平方律檢測(cè)器的輸出為Y1和Y0兩項(xiàng)，因此其對(duì)稱性不能用式（5）來(lái)保證。和積譯碼器的初始消息為L(zhǎng)，它由PDF分別滿足式（2）、（3）的兩個(gè)隨機(jī)變量組成（其中第二個(gè)分布是參數(shù)為N0的指數(shù)分布），且發(fā)送數(shù)據(jù)xt（±1）將決定這兩個(gè)隨機(jī)變量的相對(duì)位置。下面證明L滿足對(duì)稱性條件。

假設(shè)L的PDF為P（Lt=l｜xt=1）=q，q的取值由式（2）～（4）決定。發(fā)送數(shù)據(jù)xt=1時(shí)，式（4）右邊分子中的隨機(jī)變量Y1的PDF為式（2），分母中的隨機(jī)變量Y0的PDF為式（3）。發(fā)送數(shù)據(jù)xt=-1時(shí)，Y1和Y0的PDF正好相反，所以有P（Lt= -l｜xt=-1）=q。從上述分析可知，非相干檢測(cè)器傳遞給譯碼器的消息可以寫為L(zhǎng)t=xtzt，即消息是發(fā)送數(shù)據(jù)與信道轉(zhuǎn)移概率的乘積——此處zt為信道轉(zhuǎn)移概率，定義為Pr（zt=l）=q，與信息比特的取值無(wú)關(guān)。由文獻(xiàn)［6］可知，如果消息Lt的符號(hào)隨著信息比特符號(hào)跳變而發(fā)生翻轉(zhuǎn)，系統(tǒng)性能與碼字無(wú)關(guān)，因此單輸入雙輸出的非相干BFSK系統(tǒng)滿足對(duì)稱性條件，可以用全1（或全0）碼字來(lái)研究LDPC碼的性能。

3.2 離散密度進(jìn)化

3.2.1 初始信息

假設(shè)發(fā)送信息為全1碼字的（dv，dc）規(guī)則LDPC碼，把式（2）、（3）所示PDF進(jìn)行量化，可以獲得相應(yīng)的PMF為（Δ為量化間隔，Z為全體整數(shù)集合）

因此初始消息L的PMF為

式中，ˉL為式（4）的量化函數(shù)。根據(jù)式（6）、（7）計(jì)算出不同比特信噪比（Eb／N0）下的pu0，并把它與均值為m0、方差為2m0高斯分布隨機(jī)變量的PDF進(jìn)行比較（如圖2所示），其中m0為u0的均值。由圖可知，L的PMF與高斯分布的PDF曲線非常接近。

圖2 初始消息L的PMF與高斯分布的PDF曲線Fig.2 The PMF and PDF curves of initialmessage L and Gaussian distribution

3.2.2 離散密度進(jìn)化算法

假設(shè)第l次迭代時(shí)校驗(yàn)和變量節(jié)點(diǎn)的PMF分別為p（l）u、plv（由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入和輸出信息都是獨(dú)立同分布的，所以略去了表示節(jié)點(diǎn)度數(shù)的角標(biāo)），則在和積譯碼算法的迭代中變量和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的輸入信息分別為［10］

ˉa和ˉb為量化消息，其PMF為pˉa和pˉb。令ˉc=ˉR（ˉa，ˉb），定義R為消息ˉc的PMF，則：

按照和積譯碼算法，消息在校驗(yàn)和變量節(jié)點(diǎn)之間根據(jù)式（8）、（9）進(jìn)行迭代，如果信噪比超過(guò)譯碼門限，隨著l的增加，即誤碼率趨向于0，否則誤碼率會(huì)大于某個(gè)非0數(shù)值。

圖3展示了Eb／N0分別為7.32 dB、7.33 dB和7.40 dB時(shí)變量節(jié)點(diǎn)消息的PMF進(jìn)化曲線，且隨著l的增加曲線從左向右“移動(dòng)”。計(jì)算中設(shè)dv=3，dc或l到達(dá)100。由圖可知，當(dāng)信噪比為7.32 dB時(shí)，隨迭代次數(shù)的增加下降很慢且趨向于一個(gè)非0定值；當(dāng)信噪比大于7.33 dB時(shí)隨迭代次數(shù)的增加而趨向于0，而且信噪比的增加會(huì)減少所需迭代次數(shù)。通過(guò)離散密度進(jìn)化我們得到系統(tǒng)的門限約為7.33 dB，與香農(nóng)極限僅有0.62 dB的差距。

圖3 使用離散密度進(jìn)化時(shí)變量節(jié)點(diǎn)消息的PMF進(jìn)化Fig.3 The PMF evolution of variable nodes′messagewhen using DDE

3.3 高斯近似

雖然離散密度進(jìn)化可以獲取系統(tǒng)的門限，但計(jì)算量比較大［10］。由圖2可知，譯碼器的初始信息與高斯分布非常類似，因此我們可以利用高斯近似［11］來(lái)求取系統(tǒng)的譯碼門限，這樣在譯碼迭代中只需要計(jì)算變量和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)消息的均值mv、mu即可。獲得初始信息均值mu0有兩種方法：一種是利用初始消息L的PMF（式（7）），得到mu0=∫pu0u0d u0；另一種方法是通過(guò)仿真實(shí)際信道中L的數(shù)值并取平均來(lái)得到mu0。本文選用第二種方法。

在得到mu0后，高斯近似算法中變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)輸入消息的進(jìn)化式如下所示：

迭代進(jìn)行到一定次數(shù)后，節(jié)點(diǎn)消息的均值不再發(fā)生變化，此時(shí)停止迭代，系統(tǒng)誤碼率且概率密度函

圖4 使用高斯近似時(shí)變量節(jié)點(diǎn)消息的PDF進(jìn)化Fig.4 The PDF evolution of variable nodes′messagewhen using GA

圖4展示了信噪比分別為7.37 dB、7.38 dB和7.40 dB時(shí)變量節(jié)點(diǎn)消息的PDF進(jìn)化曲線，對(duì)它的分析與圖3類似，此處不再贅述。值得注意的是，此時(shí)系統(tǒng)的門限為7.38 dB，與離散密度進(jìn)化獲得的門限只相差0.05 dB，因此GA相對(duì)于DDE犧牲的性能很小。

4 仿真結(jié)果

基于圖1所示模型，我們對(duì)LDPC碼在系統(tǒng)中的性能進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，碼字的校驗(yàn)矩陣由漸進(jìn)邊長(zhǎng)增長(zhǎng)（Progressive Edge-Growth，PEG）算法產(chǎn)生，碼率為0.5。CL表示LDPC碼的環(huán)長(zhǎng)，一般來(lái)說(shuō)在相同碼長(zhǎng)條件下，校驗(yàn)矩陣中的度參數(shù)（dv，dc）越小，環(huán)長(zhǎng)越大。Shannon limit表示非相干檢測(cè)BFSK系統(tǒng)的香農(nóng)極限，Threshold是采用高斯近似得到的系統(tǒng)譯碼門限，N為碼長(zhǎng)，Ber／Per表示系統(tǒng)的誤碼率與誤包率之比，和積譯碼算法的最大迭代次數(shù)為100。

圖5給出了具有不同碼長(zhǎng)的（2，4）LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能。由圖可知，系統(tǒng)性能隨著碼長(zhǎng)的增加越來(lái)越接近譯碼門限，這說(shuō)明高斯近似算法能夠很好的預(yù)測(cè)性能。但是Threshold距離香農(nóng)極限還有大約2.5 dB的差距，這是因?yàn)榇a字的校驗(yàn)矩陣中行、列的重量（1的個(gè)數(shù)）較小，校驗(yàn)譯碼能力不強(qiáng)。

圖6 （3，6）LDPC碼的性能（CL=8）Fig.6 The performance of（3，6）LDPC code（CL=8）

圖5 （2，4）LDPC碼的性能（CL=10）Fig.5 The performance of（2，4）LDPC code（CL=10）

圖7（4，8）LDPC碼的性能（CL=6）Fig.7 The performance of（4，8）LDPC code（CL=6）

圖6 和圖7分別展示了具有不同碼長(zhǎng)的（3，6）和（4，8）LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能。隨著碼長(zhǎng)增加，系統(tǒng)性能趨近于高斯近似算法所給出的門限，而且在相同碼長(zhǎng)情況下，環(huán)長(zhǎng)CL=8的碼字性能要優(yōu)于CL=6的碼字。值得注意的是，比較圖5和圖6可知，盡管（2，4）LDPC碼的環(huán)長(zhǎng)CL= 10，大于（3，6）LDPC碼的環(huán)長(zhǎng)，但在相同碼長(zhǎng)條件下的性能較差，這說(shuō)明碼字性能與環(huán)長(zhǎng)和度參數(shù)都有關(guān)系。比較圖5～7，（3，6）LDPC碼的性能在碼長(zhǎng)相等的條件下比其它兩種碼字的要好，由高斯近似獲得的理論譯碼門限距離香農(nóng)極限只有大約0.67 dB。另外，如果CL為定值，N越大，系統(tǒng)性能與門限之間的距離越小；如果N為定值，則CL越大，距離越小，這主要是因?yàn)槊芏冗M(jìn)化理論中無(wú)限碼長(zhǎng)以及無(wú)環(huán)（CL→+∞）的假設(shè)。

5 結(jié)論

本文較全面地研究了AWGN信道下具有不同度參數(shù)和碼長(zhǎng)的LDPC碼在非相干BFSK系統(tǒng)中的性能，證明了單輸入雙輸出的非相干BFSK系統(tǒng)仍然滿足信道對(duì)稱條件，并利用離散密度進(jìn)化和高斯近似算法求得（3，6）LDPC碼的譯碼門限，它與香農(nóng)極限非常接近；仿真了幾種LDPC碼性能并與其譯碼門限進(jìn)行比較驗(yàn)證，同時(shí)討論了度參數(shù)、碼長(zhǎng)、環(huán)長(zhǎng)等因素對(duì)系統(tǒng)性能的影響。在未來(lái)的工作中，可以根據(jù)密度進(jìn)化的思想探尋衰落信道下LDPC編碼BFSK系統(tǒng)的性能，并設(shè)計(jì)出具有更好性能的不規(guī)則LDPC碼。

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DAI Jing-ke was born in Changde，Hunan Province，in 1984.He received the B.S.degree from PLA University of Science and Technology in 2006.He is currently working toward the Ph.D. degree.His research interests include satellite communications and channel coding.

Email：daijingke1984＠163.com

郭道?。?973—），男，河南南陽(yáng)人，2002年于解放軍理工大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為副教授，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信與通信抗干擾技術(shù)；

GUO Dao-xing was born in Nanyang，Henan Province，in 1973.He received the Ph.D.degree from PLA University of Science and Technology in 2002.He isnow an associate professor.His research interests include satellite communications and anti-jamming communications.

張邦寧（1963—），男，江蘇南京人，教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信、信號(hào)處理、調(diào)制、信道編碼和通信抗干擾；

ZHANG Bang-ning was born in Nanjing，Jiangsu Province，in 1963.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research interests include satellite communications，signal processing，modulation，channel coding and anti-jamming communications.

陳雪冰（1982—），男，江西人，助理工程師，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理。

CHEN Xue-bing was born in Jiangxi Province，in 1982.He is now an assistant engineer.His research direction is signal processing.

Performance Analysis of LDPC Code in Non-coherent BFSK Systems

DAI Jing-ke1，GUO Dao-xing1，ZHANGBang-ning1，CHEN Xue-bing2
（1.Institute of Communications Engineering，PLA University of Science＆Technology，Nanjing 210007，China；2.Unit61068 of PLA，Chang′an 710100，China）

The performance of low density parity check（LDPC）code in non-coherent binary frequency shift keying（BFSK）system is investigated by theoretical analysis and computer simulation.It is shown that the symmetry conditions are fulfilled in the system with one input and two outputs，and then the lower bound of LDPC code is given by discrete density evolution（DDE）and Gaussian approximation（GA），respectively.The performances of the two algorithms are very close to each other，though the later costsmuch less computation.The performances of certain LDPC codes in common use are obtained by simulations，which are also compared with the decoding threshold and Shannon limit.As long as the code lengths are equal to each other，the（3，6）code has the best performance，and the decoding threshold is approximate 0.67 dB within the Shannon limit.

low density parity check（LDPC）code；non-coherent detection；binary frequency shift keying（BFSK）；symmetry conditions；discrete density evolution

TN911.22

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.07.014

戴精科（1984—），男，湖南常德人，2006年于解放軍理工大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信與信道編碼；

1001-893X（2011）07-0067-06

2011-03-01；

2011-04-08