擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上的寡頭競(jìng)爭(zhēng)

胡一竑, 干宏程, 張建同

(1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海 200092;2.上海理工大學(xué)超網(wǎng)絡(luò)研究中心,上海 200093)

擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上的寡頭競(jìng)爭(zhēng)

胡一竑1, 干宏程2, 張建同1

(1.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,上海 200092;2.上海理工大學(xué)超網(wǎng)絡(luò)研究中心,上海 200093)

研究擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中寡頭快遞服務(wù)商關(guān)于價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的均衡問題.描述了擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)并構(gòu)建了寡頭服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)的二層均衡EPEC模型.證明了寡頭服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)的Nash均衡的性質(zhì)以及存在性.給出簡(jiǎn)單算例.研究結(jié)果對(duì)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的寡頭服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)有借鑒意義.

擁塞服務(wù);變分不等式;Wardrop均衡;Nash均衡

考慮擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上寡頭服務(wù)商的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)均衡問題.很多現(xiàn)代服務(wù)業(yè)具有擁塞效應(yīng),如交通網(wǎng)絡(luò)、物流運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)、電力網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等等,在這些服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上由于擁塞效應(yīng)的存在,使用者的選擇

具有負(fù)的網(wǎng)絡(luò)外部性,即使用者選擇某條服務(wù)路徑或服務(wù)產(chǎn)品將給其他使用者帶來成本增加.在服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上的寡頭服務(wù)提供商具有服務(wù)路徑的控制權(quán),對(duì)使用者收取服務(wù)費(fèi)用,服務(wù)商之間互相以價(jià)格進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng),以求實(shí)現(xiàn)各自的利潤(rùn)最大化.服務(wù)商的價(jià)格決策影響使用者的選擇,因此他們做決策時(shí)預(yù)先將使用者反應(yīng)考慮在內(nèi).典型的例子如交通網(wǎng)絡(luò)中的收費(fèi)道路[1]、無線接人網(wǎng)絡(luò)服務(wù)商[2]、電力網(wǎng)絡(luò)中的電力提供商[3]及物流網(wǎng)絡(luò)中的物流運(yùn)輸公司[4]等等.地面交通是典型的擁塞性網(wǎng)絡(luò),私家車出行會(huì)根據(jù)出行成本最小選擇相應(yīng)的道路,收費(fèi)道路在制定過路費(fèi)的時(shí)候?qū)⒖紤]行人的選擇,以及和它平行競(jìng)爭(zhēng)的其它收費(fèi)道路的決策.又如無線網(wǎng)絡(luò)發(fā)展迅速,網(wǎng)絡(luò)商的競(jìng)爭(zhēng)也日益激烈,接人網(wǎng)絡(luò)中某接人點(diǎn)的使用人數(shù)增加將降低接人速度,從而影響顧客選擇.所以無線網(wǎng)絡(luò)服務(wù)商的價(jià)格制定也將考慮顧客選擇和競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的價(jià)格決策.本文將研究在這種具有擁塞特性的服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)服務(wù)路徑擁有控制權(quán)的寡頭服務(wù)商之間的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)和均衡問題.

國(guó)外近年來有不少文獻(xiàn)研究擁塞服務(wù)業(yè)競(jìng)爭(zhēng). Acemoglu等[5]研究平行邊上以價(jià)格進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)的寡頭企業(yè)的均衡問題,顧客根據(jù)效用最大化進(jìn)行路徑選擇,當(dāng)效用為零時(shí)顧客選擇退出.而后他們[6]將其推廣到平行路徑上包含有序貫邊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).Xiao等[1]針對(duì)私營(yíng)收費(fèi)道路這一典型的擁塞服務(wù)業(yè),研究以過路費(fèi)和道路容量投資進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)的寡頭企業(yè)的Nash均衡.他們以行人的Wardrop均衡為下層約束,以私人寡頭企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)為上層問題,研究得到隨著競(jìng)爭(zhēng)者數(shù)量增多、寡頭競(jìng)爭(zhēng)趨向完美競(jìng)爭(zhēng)時(shí),過路費(fèi)和道路容量都趨向于社會(huì)最優(yōu)的結(jié)論.Xiao并沒有給出寡頭競(jìng)爭(zhēng)Nash均衡的存在性證明,這一問題在Johari等[7]中得到了解決.Johari等研究不同的投資回報(bào)率情況下服務(wù)商的服務(wù)能力投資決策和市場(chǎng)均衡結(jié)構(gòu),給出Nash均衡的存在性和唯一性證明,并擴(kuò)展研究了服務(wù)商的市場(chǎng)進(jìn)人決策.Cominetti等[4]以物流運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)為背景,研究以價(jià)格和服務(wù)水平(即運(yùn)送時(shí)間)競(jìng)爭(zhēng)的寡頭物流公司之間的Nash均衡.這些現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于擁擠服務(wù)競(jìng)爭(zhēng)都采用二層均衡的結(jié)構(gòu),即在考慮消費(fèi)者均衡的前提下考慮服務(wù)商的競(jìng)爭(zhēng)和均衡.國(guó)內(nèi)據(jù)作者所知還未看到相關(guān)文獻(xiàn).

本文旨在分析由平行邊組成的擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)上服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)均衡模型.考慮擁塞服務(wù)業(yè)中由多家寡頭服務(wù)商為消費(fèi)者提供具有擁塞特性的服務(wù),面對(duì)的是固定需求的服務(wù)需求市場(chǎng).整個(gè)過程是領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者兩階段博弈,領(lǐng)導(dǎo)者服務(wù)商之間互相以服務(wù)價(jià)格相互競(jìng)爭(zhēng),從利潤(rùn)最大化出發(fā)做戰(zhàn)略性的定價(jià)決策.服務(wù)價(jià)格決定后,需求市場(chǎng)上的消費(fèi)者根據(jù)自己成本最小化選擇服務(wù)產(chǎn)品,由于擁塞性的存在,消費(fèi)者的決策相互影響,存在市場(chǎng)均衡.因此問題可以在數(shù)學(xué)上描述為二層均衡EPEC模型(equilibrium problems with equilibrium constraints),上層是服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)的Nash均衡,下層是消費(fèi)者的Wardrop均衡,如圖1所示.下層均衡用變分不等式來進(jìn)行描述.關(guān)于EPEC模型的均衡求解和計(jì)算,目前學(xué)術(shù)界還處在起步階段,Su[8]和Andrew[9]提出了NCP算法、演化多目標(biāo)優(yōu)化算法等求解方法.本文只給出服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)均衡的存在性證明,具體均衡的計(jì)算方法可參見這些文獻(xiàn).

圖1 擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的寡頭服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)示意圖Fig.1 Oligopolistic competition in service network with congestion

1 擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)均衡模型

首先描述擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)模型,在此基礎(chǔ)上建立服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)的模型.假設(shè)服務(wù)市場(chǎng)由n個(gè)服務(wù)提供商構(gòu)成,提供可替代的服務(wù)給顧客.顧客在不同的服務(wù)之間進(jìn)行選擇以最小化其成本,由于擁塞性的存在,個(gè)人選擇彼此影響選擇結(jié)果聚集后構(gòu)成市場(chǎng)均衡.

數(shù)學(xué)符號(hào)和決策變量：d為總市場(chǎng)需求;Xi為選擇服務(wù)i的顧客人數(shù);pi為服務(wù)商i的服務(wù)價(jià)格;Fi(Xi)為服務(wù)i的延遲時(shí)間成本函數(shù),是Xi的函數(shù).

假設(shè)顧客是完全理性的,每一位顧客依循自己成本最小化原則選擇服務(wù),而所有的選擇某服務(wù)的顧客人數(shù)就是該服務(wù)的市場(chǎng)份額.將消費(fèi)者對(duì)服務(wù)的選擇問題轉(zhuǎn)化為出行者的道路選擇問題,見圖2 (見下頁).其中第i條道路的出行成本等于消費(fèi)者選擇第i種產(chǎn)品的負(fù)效用.消費(fèi)者選擇道路i,等同選擇服務(wù)i.假設(shè)有一群出行者要從O地到D地去,在選擇道路的時(shí)候,消費(fèi)者會(huì)首先選擇成本最低的道路,隨著選擇人數(shù)逐漸增多,超過該道路正常服務(wù)能力而變得擁擠,提高了消費(fèi)者感知到的服務(wù)成本.消費(fèi)者將轉(zhuǎn)而選擇效用較高的道路,直至該道路又開始變得擁擠.消費(fèi)者的成本最小化選擇受道路流量影響,消費(fèi)者的選擇又影響了流量.如此經(jīng)過一段時(shí)間,交通網(wǎng)絡(luò)達(dá)到一種均衡狀態(tài),每條有行人走的道路上出行成本都相同,而無人走的道路出行成本必定高于有人走的道路,單個(gè)出行者不能通過單方面改變自己的選擇而降低出行成本,即達(dá)到了Wardrop均衡.均衡時(shí),道路上的交通流量等同服務(wù)的市場(chǎng)份額.

圖2 由平行邊組成的擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Service network composed of parallel links with congestion

首先給出關(guān)于服務(wù)的延遲時(shí)間函數(shù)的假設(shè),再給出Wardrop均衡定義.

條件1延遲時(shí)間函數(shù)Fi(xi)是連續(xù)可微、嚴(yán)格遞增的凸函數(shù).

定義1(Wardrop均衡)對(duì)于給定的價(jià)格p,如果xOE滿足下述的變分不等式(1),就稱xOE是Wardrop均衡解.記給定價(jià)格p下的Wardrop均衡解為W(p).

該變分不等式的經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)服務(wù)需求市場(chǎng)中顧客的選擇達(dá)到均衡時(shí),在其他顧客不改變選擇的請(qǐng)求下,單個(gè)顧客不能通過單獨(dú)改變選擇而使其成本降低.此時(shí)顧客的選擇是使其成本達(dá)到最大的選擇.

對(duì)于下層服務(wù)需求市場(chǎng)上顧客選擇的均衡存在性和唯一性,許多文獻(xiàn)已經(jīng)做過深人討論,這里簡(jiǎn)述如下,不做證明.

定理1 (WE均衡存在性和唯一性)當(dāng)延遲時(shí)間成本函數(shù)Fi(xi)滿足條件1時(shí),存在唯一的Wardrop均衡.

下層問題達(dá)到Wardrop均衡時(shí),弧上的流量應(yīng)該滿足條件

式中,λ為最低的服務(wù)成本.該式在后面的分析中較為方便,因此將用此均衡條件表示W(wǎng)ardrop均衡.

2 服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)均衡

假設(shè)服務(wù)商對(duì)市場(chǎng)需求、消費(fèi)者反應(yīng)完全了解,具有完全信息,在消費(fèi)者選擇之前決定他的服務(wù)能力,然后消費(fèi)者再進(jìn)行對(duì)服務(wù)的選擇,這樣構(gòu)成一個(gè)有前后次序的博弈過程,本質(zhì)上是兩階段Stackelberg博弈.服務(wù)商在決策過程中擁有較高的決策權(quán),是主導(dǎo)者,消費(fèi)者處于從屬地位,是博弈的從屬者.討論服務(wù)商價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的Nash均衡的性質(zhì)和存在性.首先給出關(guān)于寡頭Nash均衡的定義.

命題1純策略寡頭均衡時(shí),記A為均衡流量大于零的弧的下標(biāo)集合,則均衡價(jià)格和均衡流量之間滿足關(guān)系

證明不失一般性,假設(shè)1屬于A.則可以寫出其他服務(wù)商價(jià)格給定下服務(wù)商1的優(yōu)化問題

容易驗(yàn)證,此約束條件滿足約束規(guī)格,因此KKT條件是最優(yōu)解的必要條件[10].若記μj和λ為相應(yīng)約束條件的拉格朗日乘子,那么目標(biāo)函數(shù)可以寫成定理2寡頭服務(wù)商的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)存在純策略寡頭均衡(pOE,xOE).

證明 利用角谷靜夫不動(dòng)點(diǎn)定理來證明.令BS()為給定其他所有服務(wù)商的價(jià)格情況下服務(wù)商s的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)映射.也就是說,對(duì)于某個(gè)服務(wù)商s來說,BS()是優(yōu)化問題的解

3 算 例

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的類似Pigou網(wǎng)絡(luò)的算例.假設(shè)市場(chǎng)上有2家寡頭服務(wù)商,總需求是1.如圖3,路徑的成本函數(shù)分別為1和k X,總流量為1.不考慮服務(wù)商收費(fèi)的時(shí)候,可以通過Wardrop均衡得到路徑上的流量分配為((k-1)/k,1/k),社會(huì)總成本為1.此時(shí)所有的消費(fèi)者都選擇下面的邊,兩條邊上的邊際成本相等,達(dá)到均衡狀態(tài),任何消費(fèi)者都不愿再改變自己的選擇.

圖3 算例圖示Fig.3 A simple example

系統(tǒng)最優(yōu)(社會(huì)總成本最低)時(shí),假設(shè)有個(gè)中央控制者以最小化社會(huì)成本為出發(fā)點(diǎn)做路徑選擇決策,可以得到最優(yōu)流量為((2k-1)/2k,1/2k),社會(huì)總成本為(4k-1)/4k.現(xiàn)在考慮網(wǎng)絡(luò)上的邊由不同寡頭服務(wù)商控制并分別向消費(fèi)者收取費(fèi)用,以最大化各自利潤(rùn)為出發(fā)點(diǎn)做價(jià)格決策.通過簡(jiǎn)單的計(jì)算可以得到,服務(wù)商1的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)p1應(yīng)為(p2+k-1)/2,服務(wù)商2的最優(yōu)價(jià)格反應(yīng)函數(shù)p2應(yīng)為(p1+1)/2,則兩個(gè)服務(wù)商的Nash均衡價(jià)格應(yīng)為((2k-1)/3,(k+1)/3),相應(yīng)流量分配為((2k-1)/3k,(k+1)/3k).此時(shí)若不考慮服務(wù)商和消費(fèi)者之間的支付轉(zhuǎn)移,則社會(huì)總成本為(k2+8k-2)/9k.將系統(tǒng)最優(yōu)和寡頭競(jìng)爭(zhēng)情況做對(duì)比,可以看到由于寡頭服務(wù)商追求自身利益最大化,不考慮自身設(shè)定價(jià)格的決策對(duì)其他服務(wù)商和消費(fèi)者的影響,所以通過收費(fèi)將流量從道路1推向道路2,提高了社會(huì)總成本,造成了效率損失.

4 結(jié) 論

研究擁塞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中的寡頭服務(wù)商之間的競(jìng)爭(zhēng)均衡問題.將問題構(gòu)建成數(shù)學(xué)上的二層均衡問題(EPEC問題).下層顧客根據(jù)自己成本最小原則進(jìn)行服務(wù)選擇,由于擁塞特性的存在,顧客選擇彼此影響形成均衡.上層寡頭服務(wù)商基于價(jià)格進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng),利用角谷靜夫不動(dòng)點(diǎn)定理證明了Nash均衡存在性,并給出均衡時(shí)的均衡價(jià)格的性質(zhì).最后給出簡(jiǎn)單算例,并進(jìn)行了討論.在本文建立了服務(wù)商競(jìng)爭(zhēng)均衡的基礎(chǔ)上,可以進(jìn)行更一步的深人分析,如寡頭競(jìng)爭(zhēng)相對(duì)社會(huì)福利的效率損失、寡頭服務(wù)商的競(jìng)爭(zhēng)策略設(shè)計(jì)等.

[1] XIAO F,YANG H,HAN D.Competition and efficiency of private toll roads[J].Transportation Research Part B,2007,41：292-308.

[2] DUSIT N,EKRAM H.A game theoretic analysis of service competition and pricing in heterogeneous wireless access networks[J].IEEE Transactions on Wireless Communications,2008,7(12)：5150-5155.

[3] COMINETTI R,CORREA J R,STIER-MOSES N E. The impact of oligopolistic competition in networks [J].Operations Research,2009,57(6)：1421-1437.

[4] ACEMOGLU D,OZDAGLAR A.Competition and efficiency in congested markets[J].Mathematics of Operations Research,2007,32(1)：1-31.

[5] ACEMOGLU D,BIMPIKIS K,OZDAGLAR A.Price and capacity competition[J].Games and Economic Behavior,2009,66(1)：1-26.

[6] ACEMOGLU D,OZDAGLAR A.Competition in parallel-serial networks[J].IEEEJournal on Selected Areas in Communications,Special Issue on Non-Cooperative Behavior in Networking,2007,25(6)：1180-1192.

[7] JOHARI R,WEINTRAUB G Y,VAN R B.Investment and market structure in industries with congestion [J].Operations Research,2010,58(5)：1303-1317.

[8] SU Che-lin.Equilibrium problems with equilibrium constraints：stationeries,algorithm,and applications [D].Stanford：Stanford University,2005.

[9] ANDREW K,SHEPHERD S.Tolling,collusion and equilibrium problems with equilibrium constraints[J]. European Transport,2010,44：3-22.

[10] BERTSEKAS D P,NEDI'C A,OZDAGLAR A E.Convex Analysis and Optimization[M].Belmont：Athena Scientic,2003.

[11] BERGE C.Topological Space[M].New York：Reprint Dover Publication,1963.

Oligopoly competition in service networ ks with congestion

HUYi-hong1, GANHong-cheng2, ZHANGJian-tong1
(1.School of Economics and Management,Tongji University,Shanghai 200092,China; 2.Center for Supernetworks Research,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The price equilibrium between oligopoly service providers in service networks with congestions was studied.The bi-level MPEC model of service competition in service networks was described.The lower level is Wardrop equilibrium between customers,while the upper level is the Nash equilibrium between service providers.The existence of the price oligopoly equilibrium was proved and its properties were analysed.The practice in the express service industry in China was discussed.A numerical example was given to show that service providers should take the customer preference into consideration when making decisions.

service with congestion;variational inequality;Wardrop equilibrium;Nash equilibrium

N 94

A

1007-6735(2011)03-0292-05

2011-05-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70832005,71090404/71090400);高校博士點(diǎn)新教師基金資助項(xiàng)目(20100072120045)

胡一竑(1978ˉ),女,講師,研究方向：物流供應(yīng)鏈和服務(wù)科學(xué).E-mail：yhhu@#edu.cn.張建同(聯(lián)系人),女,教授.研究方向：服務(wù)科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué).E-mail：jtzhang@163.com