MCTS試件的三維有限元計(jì)算斷裂分析

李慶芬，齊桂營，朱莉，何水清

(哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

工程構(gòu)件和機(jī)器零部件中往往含有三維復(fù)雜裂紋和其他缺陷，這些裂紋和缺陷造成受力構(gòu)件的應(yīng)力集中、強(qiáng)度下降、并會(huì)導(dǎo)致災(zāi)難性的斷裂事故.斷裂力學(xué)作為研究含裂紋結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的一門學(xué)科，可以正確評(píng)價(jià)帶裂紋構(gòu)件的力學(xué)特性，其中應(yīng)力強(qiáng)度因子作為表征外力作用下彈性體裂紋尖端附近應(yīng)力場強(qiáng)度的一個(gè)重要參量，是評(píng)價(jià)斷裂破壞和裂紋擴(kuò)展規(guī)律的重要指標(biāo).因此，求解裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子是線彈性斷裂力學(xué)中很重要的一項(xiàng)工作，對評(píng)估含裂紋構(gòu)件剩余強(qiáng)度和疲勞裂紋擴(kuò)展壽命等都具有重要的意義.

在斷裂力學(xué)發(fā)展的初期，為了數(shù)學(xué)處理上的簡便，往往將實(shí)際裂紋簡化為平面二維模型.目前，二維斷裂問題的研究已十分成熟，已建立了一系列應(yīng)力強(qiáng)度因子的理論計(jì)算公式［1］，并基于不同理論確定了不同的斷裂判據(jù)［2-6］.然而工程實(shí)際構(gòu)件中的裂紋，由于構(gòu)件幾何形狀及承載方式的多樣化，通常呈現(xiàn)的是三維復(fù)合型斷裂模式，理想的二維裂紋幾乎是不存在的.為了更好地解決工程實(shí)際中的斷裂問題，研究三維復(fù)合型裂紋的斷裂特性就變得尤為重要.而三維斷裂問題雖已受到廣大研究者的關(guān)注，但有關(guān)三維復(fù)合型斷裂問題的研究還很不成熟.由于結(jié)構(gòu)和裂紋的復(fù)雜性，目前只有少數(shù)典型裂紋體的應(yīng)力強(qiáng)度因子存在理論解析解［7］，大多數(shù)三維復(fù)合型斷裂問題在求解裂紋前沿應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)存在較大困難，尤其是在裂紋平面與三維構(gòu)件自由表面的交匯處，迄今尚無精確的解析解.現(xiàn)有的三維斷裂判據(jù)，如 S 判據(jù)［3］、POOK 判據(jù)［8］和最大主應(yīng)力判據(jù)［9］等，也只給出了平面純拉伸(Ⅰ型)、平面純剪切(Ⅱ型)和反平面剪切(Ⅲ型)加載條件下的裂紋起始角和斷裂極限值，而對于三維復(fù)合型裂紋，尤其是Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ型復(fù)合裂紋的斷裂行為，則迄今還少有研究［10-11］.

本文將采用由Richard設(shè)計(jì)的特殊加載設(shè)備［12］和帶傾斜裂紋面(傾角γ為45°)的修正緊湊拉剪試件，通過改變裂紋的幾何形狀方位構(gòu)建三維復(fù)合型裂紋，應(yīng)用修正的虛擬裂紋閉合積分方法，對三維裂紋體復(fù)合型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行分析計(jì)算，探討其裂紋尖端的斷裂行為.該研究將為深入探討三維復(fù)合型斷裂問題做出有益的貢獻(xiàn)，并為解決實(shí)際工程中存在類似裂紋構(gòu)件的安全可靠性評(píng)估提供參考依據(jù).

1 數(shù)學(xué)模型與計(jì)算方法簡介

1.1 裂紋尖端應(yīng)力場及應(yīng)力場強(qiáng)度因子

裂紋尖端應(yīng)力場是建立斷裂判據(jù)的理論依據(jù).直角坐標(biāo)系下裂紋尖端應(yīng)力場如下:

式中:σx、σy、σz、τxy、τxz、τyz為直角坐標(biāo)系下各方向的應(yīng)力分量，r、θ為裂紋尖端附近點(diǎn)的極坐標(biāo).其中，應(yīng)力強(qiáng)度因子Ki(i=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)唯一地描述了裂紋尖端應(yīng)力場的強(qiáng)度，是評(píng)價(jià)斷裂行為的重要參數(shù).因此，分析計(jì)算裂紋前沿的應(yīng)力強(qiáng)度因子的分布情況是研究裂紋體斷裂特性的基礎(chǔ).

1.2 修正的虛擬裂紋閉合積分方法

Rybicki和Kanninen在虛擬裂紋閉合積分方法(virtual crack closure integral method，VCCIM)［13］的基礎(chǔ)上提出了修正的虛擬裂紋閉合積分方法(modified virtualcrack closure integralmethod，MVCCI)［14］.該方法用裂紋長度為a的原始裂紋尖端節(jié)點(diǎn)位移ΔUy，i-1(a)代替虛擬裂紋閉合積分方法所要求擴(kuò)展裂紋的節(jié)點(diǎn)位移ΔUy，j-1(a+Δa)，避免了當(dāng)裂紋擴(kuò)展為a+Δa時(shí)，二次有限元分析的附加影響(見圖1).具體表達(dá)式如下:

式(2)適用于承受平面純拉伸載荷即二維張開型(Ⅰ型)裂紋模式，圖1(a)為二維模型裂紋尖端的有限元網(wǎng)格.式中:t為試件厚度，F(xiàn)為節(jié)點(diǎn)力，ΔUy為節(jié)點(diǎn)的相對位移，Wy為節(jié)點(diǎn)力作用產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)位移所做的功，G1c(a)為二維裂紋尖端的能量釋放率.

圖1 MVCCI計(jì)算方法的低階單元有限元網(wǎng)格Fig.1 FE low order standard elements for MVCCI-method

MVCCI這種高精度的解析方法還可以直接結(jié)合低階的實(shí)體單元來計(jì)算復(fù)雜的三維斷裂問題.圖1(b)為三維裂紋前沿的有限元網(wǎng)格.具體的三維MVCCI解析計(jì)算公式如下:

MVCCI方法是一種近似的方法，其值收斂于精確解.該方法已被用于計(jì)算典型的二維和三維斷裂問題［15］，并取得了較好的計(jì)算精度.

2 帶傾斜裂紋面的MCTS試件模型及有限元分析

2.1 MCTS試件及加載設(shè)備

本文選用帶傾斜裂紋面(傾角γ為45°)的修正緊湊拉剪試件(modified compact tension shear，MCTS).試件及其特定的加載設(shè)備如圖2所示.

裂紋平面的傾斜導(dǎo)致裂紋方位關(guān)于加載方向的不對稱分布，形成復(fù)合型裂紋，裂紋在不同加載條件下將會(huì)產(chǎn)生不同的復(fù)合型斷裂模式.隨加載角度α的改變，試件將從承受純拉伸(α=0°)加載，拉伸/剪切(0°＜α＜90°)復(fù)合型加載，變化到純剪切(α=90°)加載.

圖2 帶傾斜裂紋面的MCTS試件及其特定加載設(shè)備Fig.2 MCTS-specimen with inclined crack plane and the special loading device

試件的主要幾何參數(shù)如下:寬度W=90 mm，高度h=145 mm，厚度t=10 mm，裂紋長度a=50 mm，裂紋面傾角γ為45°.所選材料參數(shù)為:彈性模量E=80 kN/mm2，泊松比 ν =0.3，材料為鋁合金，試件所承受的靜態(tài)載荷F=40 kN.

2.2 有限元模型的建立

采用HyperMesh軟件提供的模型變形技術(shù)對已有的緊湊拉剪試件(compact tension shear specimen，CTS)［16］的計(jì)算模型進(jìn)行改進(jìn)，通過傾斜其裂紋平面構(gòu)建具有復(fù)合型裂紋的MCTS計(jì)算分析模型，揭示裂紋面方位對斷裂行為的影響.為了形成傾斜裂紋平面并保持各個(gè)網(wǎng)格之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，建模過程中將對CTS試樣上下1/2有限元模型分別建立修改域，修改域中的操縱點(diǎn)沿總體坐標(biāo)系y軸上下移動(dòng)，使裂紋平面所在的整個(gè)橫截面發(fā)生傾斜，然后通過節(jié)點(diǎn)耦合模擬傾斜裂紋平面的直裂紋前沿，并合并非裂紋面區(qū)域的雙重節(jié)點(diǎn)，最終形成傾斜裂紋平面MCTS試樣的有限元模型.由于上述數(shù)值計(jì)算方法無需用奇異單元來模擬裂紋尖端的奇異性，所以整個(gè)三維有限元模型均采用八節(jié)點(diǎn)的solid45單元，并對裂紋前沿附近進(jìn)行了網(wǎng)格細(xì)化，以保證計(jì)算精度，最精細(xì)(Δa=0.25 mm)的三維有限元模型共4 104個(gè)單元，4 886個(gè)節(jié)點(diǎn).

圖3給出了帶傾斜裂紋面MCTS試件的整體有限元模型及裂紋前沿區(qū)域網(wǎng)格.

圖3 帶傾斜裂紋面MCTS試件的有限元模型及網(wǎng)格Fig.3 FE-model and mesh of the CTS-specimen with inclined crack plane

2.3 有限元計(jì)算方法

本文采用商用ANSYS軟件分別對Ⅰ型、Ⅱ型、及Ⅰ+Ⅲ復(fù)合型(α=45°)加載條件下的MCTS試樣進(jìn)行了有限元計(jì)算.

首先根據(jù)MVCCI方法，計(jì)算得出三維裂紋體沿裂紋前沿各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的能量釋放率(strain energy release rate，SERR)Gi(a，z/t)，i=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ.然后應(yīng)用Irwin關(guān)系式［13］將能量釋放率轉(zhuǎn)換為應(yīng)力強(qiáng)度因子如下:

將結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)化如下:

式中:σ0=F/wt，σ0為裂紋面正應(yīng)力.

最后，繪制出具有傾斜裂紋平面的MCTS試樣直裂紋前沿的應(yīng)力強(qiáng)度因子分布曲線.進(jìn)而探討傾斜裂紋平面MCTS試樣在不同加載條件下的斷裂行為.

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 Ⅰ型載荷作用下的計(jì)算結(jié)果與分析

Ⅰ型載荷作為脆性斷裂最危險(xiǎn)的加載方式一直是研究重點(diǎn).圖4給出了I型載荷(α=0°)作用下帶傾斜裂紋面(γ=45°)和直裂紋面(γ=0°)試樣裂紋前沿的應(yīng)力強(qiáng)度因子的分布曲線.由圖可知:直裂紋面CTS的裂紋前沿上只有Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的存在;而MCTS試樣的裂紋前沿上卻同時(shí)存在著Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子.說明在純張開型載荷作用下，直裂紋面試樣只能發(fā)生張開型斷裂，而傾斜裂紋面試樣不僅發(fā)生了張開型斷裂，同時(shí)還產(chǎn)生了滑開型和撕開型斷裂，即產(chǎn)生了Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ復(fù)合型斷裂模式.說明I型載荷下，傾斜裂紋面試樣的斷裂模式不再滿足單一載荷與斷裂模式唯一對應(yīng)的關(guān)系.

圖4 Ⅰ型載荷作用下MCTS試樣裂紋前沿的標(biāo)準(zhǔn)化SIFFig.4 Normalized SIF along crack front of MCTS-specimen under mode-Ⅰloading

MCTS試樣在I型加載下的變形情況如圖5(a)所示.由圖可看出，試件整體變形以張開型斷裂為主，但可以清楚地看到傾斜裂紋平面同時(shí)發(fā)生了滑開型和撕開型位移.CTS試樣的外形尺寸及加載條件與MCTS試樣完全相同，而MCTS試樣裂紋平面的傾斜，導(dǎo)致裂紋方位關(guān)于加載方向的不對稱分布，形成了復(fù)合型裂紋，即傾斜裂紋平面所形成的復(fù)雜裂紋幾何形狀是產(chǎn)生三維復(fù)合型斷裂模式的主要原因.

由計(jì)算結(jié)果還可看出，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子在z/t=0.5處具有最大值，由此可知試件將在兩側(cè)自由表面附近首先發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展.

圖5 MCTS試樣在不同加載下的變形情況Fig.5 Deformed FE-model of the MCTS-specimen under different loading conditions

3.2 Ⅱ型載荷作用下的計(jì)算結(jié)果與分析

圖6給出了Ⅱ型載荷(α =90°)作用下帶傾斜裂紋面(γ=45°)MCTS試樣裂紋前沿的應(yīng)力強(qiáng)度因子的分布曲線.

由圖6可知:帶傾斜裂紋面MCTS試樣的裂紋前沿上雖然仍以Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為主，但在試樣兩側(cè)自由表面附近區(qū)域可以看到少量Ⅰ型和Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的存在.說明在純滑開型載荷作用下，傾斜裂紋面試樣不僅發(fā)生了滑開型斷裂，同時(shí)還產(chǎn)生了張開型和撕開型斷裂，即產(chǎn)生了Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ復(fù)合型斷裂模式.這與直裂紋面試樣在純Ⅱ型載荷下往往只發(fā)生滑開型斷裂模式是不同的.由計(jì)算結(jié)果還可看出，應(yīng)力強(qiáng)度因子在兩側(cè)自由表面附近具有最大值，由此可知試件將在兩側(cè)自由表面附近首先發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展.

圖6 Ⅱ型載荷作用下MCTS試樣裂紋前沿的標(biāo)準(zhǔn)化SIFFig.6 Normalized SIF along crack front of MCTS-specimen under mode-Ⅱloading

MCTS試樣在 II型加載下的變形情況，如圖5(b)所示.由圖可看出，試件整體變形以滑開型斷裂為主，但也可以清楚的看到傾斜裂紋平面同時(shí)發(fā)生了張開型和撕開型位移.

3.3 復(fù)合型載荷作用下作用下的計(jì)算結(jié)果與分析

圖7給出了復(fù)合型載荷(α=45°)作用下帶傾斜裂紋面(γ=45°)MCTS試樣裂紋前沿的應(yīng)力強(qiáng)度因子的分布曲線.由圖可知:在Ⅰ+Ⅱ復(fù)合型載荷作用下，裂紋前沿產(chǎn)生了Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ復(fù)合型斷裂.裂紋前沿強(qiáng)度因子的分布曲線關(guān)于中心平面不對稱，在z/t=0.5處應(yīng)力強(qiáng)度因子具有最大值，由此可知自由表面附近最易發(fā)生裂紋的失穩(wěn)擴(kuò)展.

圖7 復(fù)合型載荷作用下MCTS試樣裂紋前沿的標(biāo)準(zhǔn)化SIFFig.7 Normalized SIF along crack front of MCTS-specimen under mixed-mode loading

MCTS試樣在Ⅰ+Ⅱ復(fù)合型加載下的變形情況如圖5(c)所示.從圖7中也可看出，試件上下傾斜裂紋平面在Ⅰ+Ⅱ復(fù)合型載荷作用下同時(shí)產(chǎn)生了張開型、滑開型和撕開型位移.

上述數(shù)值分析結(jié)果表明:帶傾斜裂紋平面的MCTS試樣在不同加載條件下，其裂紋前沿均產(chǎn)生了Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ復(fù)合型變形模式，即裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件將受到3種主要斷裂模式共同作用的影響，其不再沿原裂紋平面擴(kuò)展.

裂紋平面傾斜導(dǎo)致的裂紋方位不對稱及斷裂模式之間的耦合作用是產(chǎn)生復(fù)合型斷裂模式的主要原因.根據(jù)Richard判據(jù)，該復(fù)合型裂紋在3種基本斷裂模式的共同影響下，其裂紋前沿在初始擴(kuò)展階段發(fā)生偏折的同時(shí)也產(chǎn)生了扭轉(zhuǎn)變形，斷裂破壞的不穩(wěn)定區(qū)域則隨載荷的變化而變化，MCTS試樣在I型或Ⅱ型載荷作用下將在兩側(cè)自由表面附近首先發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展，而對于平面內(nèi)任意復(fù)合型加載條件，z/t=0.5處自由表面附近區(qū)域是該復(fù)合型裂紋斷裂破壞的危險(xiǎn)區(qū)域.

縱觀不同加載條件下裂紋前沿應(yīng)力強(qiáng)度因子的分布曲線，I型載荷作用時(shí)裂紋前沿各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子值均大于其他載荷情況，由此可知，傾斜裂紋平面MCTS試樣在平面純拉伸載荷作用下最易發(fā)生失穩(wěn)擴(kuò)展，說明I型載荷對于三維復(fù)合型裂紋來說仍是最具破壞的加載模式.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了對數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，采用透明有機(jī)玻璃脆性材料(便于觀察裂紋開裂情況)加工了帶有45°傾斜平面裂紋的MCTS試樣，并分別在Ⅰ型和Ⅱ型加載模式下進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)(見圖8、9).

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在I型加載模式下(圖8)，裂紋在初始擴(kuò)展階段同時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)和偏折變形，形成一個(gè)新的“螺旋”狀的裂紋面，隨著裂紋的不斷擴(kuò)展，扭轉(zhuǎn)的裂紋面逐漸匯合成一個(gè)新的光滑平面，新裂紋面與加載方向垂直，裂紋沿這個(gè)新的裂紋表面方向擴(kuò)展直至斷裂，即傾斜裂紋平面MCTS試樣最終發(fā)生了張開型斷裂.這與傾斜平面裂紋在初始變形階段，試件整體變形以張開型斷裂為主，但同時(shí)發(fā)生了滑開型和撕開型斷裂的計(jì)算結(jié)果是一致的.

圖8 在Ⅰ型加載下的MCTS試樣Fig.8 MCTS-specimen under mode Ⅰ loading

在Ⅱ型加載模式下(圖9)，裂紋面在初始擴(kuò)展階段發(fā)生偏折的同時(shí)也產(chǎn)生了輕微的扭轉(zhuǎn)變形，扭轉(zhuǎn)變形在試樣兩側(cè)自由表面附近變形幅度較大，然而隨著擴(kuò)展的深入，扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象逐漸消失，裂紋最終發(fā)生了滑開型斷裂.這與裂紋在初始變形階段，試件整體變形以滑開型斷裂為主，但也同時(shí)發(fā)生了張開型和撕開型位移的計(jì)算結(jié)果是一致的.

圖9 在Ⅱ型加載下的MCTS試樣Fig.9 MCTS-specimen under mode Ⅱ loading

根據(jù)對比分析，實(shí)驗(yàn)中試樣的裂紋開裂擴(kuò)展特征與本文的計(jì)算結(jié)果是一致的，一定程度上驗(yàn)證了本文采用MVCCI數(shù)值計(jì)算方法所做的計(jì)算分析.

5 結(jié)論

本文對帶有傾斜裂紋面的MCTS試件的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了有限元分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.研究結(jié)果表明:

1)試件在不同加載條件下均產(chǎn)生了Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ復(fù)合型斷裂，裂紋平面傾斜導(dǎo)致的裂紋方位不對稱及斷裂模式之間的耦合作用是產(chǎn)生三維復(fù)合型斷裂模式的主要原因.

2)實(shí)驗(yàn)中試樣的裂紋開裂擴(kuò)展特征與有限元分析的結(jié)果一致，一定程度上驗(yàn)證了本文的計(jì)算分析.

本文的研究拓展了三維斷裂研究的空間，為深入探討三維復(fù)合型斷裂問題做出了有益的貢獻(xiàn)，并為解決實(shí)際工程中存在類似裂紋構(gòu)件的安全可靠性評(píng)估提供了參考依據(jù).

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