伺服系統(tǒng)中滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設計

謝遠黨，李維嘉，王春濤

（1.浙江海洋學院機電工程學院，浙江舟山 316004；2.華中科技大學輪機工程系，湖北武漢 430074）

線性系統(tǒng)在現(xiàn)代控制理論與應用中占有非常重要的位置，其基本理論已發(fā)展得相當完善，但是大多數(shù)實際系統(tǒng)是非線性的，建模時往往忽略了各種非線性因素影響才簡化為理想的線性模型[1]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制具有完全的自適應性，這是變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)最突出的優(yōu)點。它不需要知道系統(tǒng)的精確數(shù)學模型，只需了解系統(tǒng)的參數(shù)及外來擾動變化的大致范圍，并且具有降階、解耦的功能，能較好地解決系統(tǒng)的動態(tài)、靜態(tài)特性之間的矛盾，控制規(guī)律簡單，它可以解決復雜系統(tǒng)，包括線性和非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和品質(zhì)等問題[2]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制的設計在高精確度伺服系統(tǒng)的應用中受到日益廣泛的重視。圖1給出了本文所要討論的滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)，它主要由受到控制器、PWM裝置、直流無刷電機、機械試行機構(gòu)、位置反饋單元組成。

圖1 無刷電機位置控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 No brush position chart of electrical control

1 滑模變結(jié)構(gòu)控制概念

變結(jié)構(gòu)控制（variable structure control,VSC）本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，其非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性。這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”并不固定，而是可以在動態(tài)過程中，根據(jù)系統(tǒng)當前的狀態(tài)有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)按照預定“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動，所以有常稱變結(jié)構(gòu)控制為滑動模態(tài)控制（sliding mode control,SMC），即滑模變結(jié)構(gòu)控制。由于滑動模態(tài)可以進行設計且與對象參數(shù)及擾動無關(guān)，這就使得變結(jié)構(gòu)控制具有快速響應、對參數(shù)變化及擾動不靈敏、無需系統(tǒng)在線辨識、物理實現(xiàn)簡單等優(yōu)點。

變結(jié)構(gòu)控制出現(xiàn)于20世紀50年代，經(jīng)歷了50余年的發(fā)展，已形成了一個相對獨立的研究分支，成為控制系統(tǒng)的一種設計方法，適用于線性與非線性、連續(xù)與離散系統(tǒng)、確定性與不確定性系統(tǒng)、集中參數(shù)與分布參數(shù)系統(tǒng)、集中控制與分散控制等[3]。并且在實際工程中逐漸得到推廣應用，如電機與電力系統(tǒng)控制、機器人控制、飛機控制、衛(wèi)星姿態(tài)控制等。這種控制方法通過控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面滑動，使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動和外干擾時具有不變性，正是這種特性使得變結(jié)構(gòu)控制方法受到各國學者的重視[4]。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制基本原理

滑模變結(jié)構(gòu)控制是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的一種控制策略。這種控制策略與常規(guī)控制的根本區(qū)別在于控制的不連續(xù)性，即一種使系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”隨時間變化的開關(guān)特性。該控制特性可以迫使系統(tǒng)在一定特性下沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運動，即所謂的“滑動模態(tài)”或“滑?！边\動。這種滑動模態(tài)是可以設計的，且與系統(tǒng)的參數(shù)及擾動無關(guān)。這樣，處于滑模運動的系統(tǒng)就具有很好的魯棒性[5]。

滑動模態(tài)控制的概念和特性如下：

（1）滑動模態(tài)定義及數(shù)學表達考慮一般的情況，在系統(tǒng)

它將狀態(tài)空間分成上下2個部分s＞0或s＜0。在切換面上的運動點有三種情況，如

通常點——系統(tǒng)運動點運動到切換面S=0附近時，穿越此點而過（點A）;

起始點——系統(tǒng)運動點運動到切換面S=0附近時，從切換面的兩邊離開該點（點B）；

終止點——系統(tǒng)運動點到達切換面S=0附近，從切換面的兩邊趨向于該點（點C）；

在滑模變結(jié)構(gòu)中，通常點與起始點無多大意義，而終止點卻有特殊的含義，因為如果在切換面上某一區(qū)域內(nèi)所有的運動點都是終止點，則一旦運動點趨近于該區(qū)域，就會被“吸引”到該區(qū)域內(nèi)運動。此時，稱在切換面S=0上的所有運動點都是終止點的區(qū)域為“滑模模態(tài)”區(qū)，或簡稱為“滑?！眳^(qū)。系統(tǒng)在滑模區(qū)中的運動就叫做“滑模運動”。

按照滑動模態(tài)區(qū)上的運動點都必須是終止點這一要求，當運動點到達切換面s(x)=0附近時，必有：

此不等式對系統(tǒng)提出了一個形如

圖2 切換面上3種點的特性Fig.2 Switch on the nature of the three

的李雅普諾夫（Lyapunon）函數(shù)的必要條件。由于在切換面領(lǐng)域內(nèi)上面函數(shù)式是正式的，若按照的導數(shù)是負半定，也就是說在s=0附近v是一個非增函數(shù)。因此，如果滿足條件式是系統(tǒng)的一個條件李雅普諾夫函數(shù)。系統(tǒng)本身也就是穩(wěn)定于條件 s=0。

（2）滑模變結(jié)構(gòu)控制的定義滑模變結(jié)構(gòu)控制的基本問題如下：

設有一控制系統(tǒng)

需要確定切換函數(shù)

s(x)， s∈Rm

求解控制函數(shù)其中，u+(x)≠u-(x)，使得

①滑動模態(tài)存在，則上式的控制函數(shù)存在。

②滿足可達性條件，在切換面s=0以外的運動點都將于有限的時間內(nèi)到達切換面；

③保證滑模運動的穩(wěn)定性；

④達到控制系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)要求。

上述的前3點是滑模變結(jié)構(gòu)控制的3個基本問題，只有滿足了這3個條件的控制才可稱為滑模變結(jié)構(gòu)控制。

3 基于趨近率的滑模控制設計

滑模運動包括趨近運動和滑模運動兩個過程。系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)趨向切換面，直到到達切換面的運動稱為趨近運動，即趨近運動為s→0的過程。根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)原理，滑?？蛇_性條件僅保證由狀態(tài)空間任意位置運動點在有限時間內(nèi)到達切換面的要求，而對于趨近運動的具體軌跡未作任何限制，采用趨近律[5]的方法可以改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)。

3.1 幾種典型的趨近律

（1）等速趨近律

其中，常數(shù)ε表示系統(tǒng)的運動點趨近切換面s=0的速率。ε小，趨近速度慢；ε大，則運動點到達切換面時將具有較大的速度，引起的抖振也比較大。

（2）指數(shù)趨近律

指數(shù)趨近中，趨近速度從一較大值逐步減小到零，不僅縮短了趨近時間，而且使運動點到達切換面時的速度很小。對單純的指數(shù)趨近，運動點逼近切換面時一個漸近的過程，不能保證有限時間到達，切換面上也就不存在滑動模態(tài)了，所以要增加一個等速趨近項，使當s接近0時，趨近速度是ε而不是0，可以保證有限時間到達。

在指數(shù)趨近律中，為了保證快速的同時削弱抖振，應在增大k的同時減少ε。

（3）冪次趨近律

（4）一般趨近律

其中 f(0)=0，當 s≠0，sf(s)＞0

顯然，上述4種趨近律都滿足滑模到達條件ss˙＜0。

3.2 基于指數(shù)趨近律的滑模位置控制器設計

變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)設計問題，主要是兩個：第一個問題是如何正確地選擇切換函數(shù)；第二個問題是如何求取變結(jié)構(gòu)控制[6]。

我們所要設計的變結(jié)構(gòu)控制是一個標量（單輸入）控制，其切換函數(shù)具有如下形式：

切換面的選擇直接決定滑動模態(tài)穩(wěn)定性與品質(zhì)。選擇切換函數(shù)就是如何求C矩陣的問題。一般來說，選擇切換函數(shù)的常用方法有3種：

①極點配置法；

②二次型最優(yōu)法；

③特征向量任置法；

3.3 系統(tǒng)滑模控制器切換函數(shù)（極點配置法）的設計步驟

本文選擇極點配置法作為切換函數(shù)，其步驟如下：

其中x∈Rn，x∈Rm分別是系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量[7]：

第一步：對上述線性系統(tǒng)作非奇異線性變換x=Mz，則可將其化為下列簡約型：

第二步：在此變換下，相應的切換面變?yōu)?/p>

其中，為可逆方陣。因此，在切換面上有

從而滑動模運動滿足上式和下列降階方程：

于是線性系統(tǒng)的滑動?？梢暈槭怯墒剑?1）描述且具有反饋（10）的n-m維子系統(tǒng)，從而可以根據(jù)通常的線性反饋設計方法（如極點配置方法等）確定反饋系數(shù)矩陣F。

第三步：在原坐標系中按 s（x）=（F，Im）確定切換函數(shù) s（x）。

由于系統(tǒng)在滑動時z2可以由z1線性表出，因此只要z1以適當?shù)闹笖?shù)衰減趨近于零，則也以同樣的指數(shù)衰減律趨向于零。取z2=Im，C1=F進而由式（9）和（10）可得到使原線性系統(tǒng)的滑動模一定具有良好動態(tài)特性的切換系數(shù)矩陣

C=（F，Im）M-1，從而得出切換函數(shù) s（x）。

4 結(jié)論

在現(xiàn)代控制理論與應用中存在著非線性和不確定因素，而滑模變結(jié)構(gòu)控制恰恰是解決這些問題的一種可行途徑。本文主要介紹了滑模變結(jié)構(gòu)控制器的原理，詳細介紹了幾種趨近率的計算方法，為了便于計算機控制，建立了基于趨近率的滑模位置伺服控制器的設計方案，它算法簡單、易于實現(xiàn)，同時也能夠滿足系統(tǒng)跟蹤精度的要求。

[1]姜 靜,伍清河.滑模變結(jié)構(gòu)控制在跟蹤伺服系統(tǒng)中的應用[J].電機與控制學報,2005,9(6):1-4.

[2]易繼鍇,江祥賢,候媛彬,等.電氣傳動自動控制原理與設計[M].北京:北京工業(yè)大學出版社,1997.

[3]SABANOVIC A,IZOSOMOV D.Applicatioon of sliding modes to inductioon motor control[J].IEEE Transactions on Industry Applications,1981(IA-17):41-49.

[4]YOUNG K K D.Controller Design for manipulator Using Theory of Variable Structrue Systems[Z].IEEE Transaction on Systems,Man,and Cybernetics,SMC-8,1978:101-109.

[5]高為炳.變結(jié)構(gòu)控制理論與設計方法[M].北京:科學出版社,1996.

[6]姚瓊薈,黃繼起,吳漢松.變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)[M].重慶:重慶大學出版社,1997.

[7]胡躍明.變結(jié)構(gòu)控制理論與應用[M].北京:科學出版社,2003.