MWEDM表面三維粗糙度的小波評定基準(zhǔn)面

張志航，崔海，丁海娟，2，郭黎濱

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.佳木斯大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

隨著精密機(jī)械、微機(jī)電系統(tǒng)的深入發(fā)展和廣泛應(yīng)用，微細(xì)電火花線切割加工(micro wire wlectrical discharge machining，MWEDM)越來越受到人們的重視［1-2］.微細(xì)電火花線切割以其較高的加工精度、加工效率和性價比加工微小復(fù)雜的三維零件，已經(jīng)成為微細(xì)加工領(lǐng)域重要的加工方法［3］.

由于微機(jī)械構(gòu)件特征尺寸很小，在工作過程中表面粗糙度對其使用性能和工作精度的影響不容忽視［4］.表面微觀形貌的精確測量和合理表征就顯得尤為重要，傳統(tǒng)的二維表征在不同表面形貌特征的識別和表面性能的描述上有很大的不足，三維表征包含表面更為豐富的信息，能夠全面描述表面微觀形貌特征及性能.三維表面粗糙度提取的核心在于確定評定基準(zhǔn)［5］.到目前為止，提取基準(zhǔn)面的常用方法有多項(xiàng)式擬合法和濾波法.

多項(xiàng)式擬合法對二維曲線較為實(shí)用，但不便推廣到三維表面.濾波法理論上可以較準(zhǔn)確的提取基準(zhǔn)面，工程人員先后提出了數(shù)十種不同的濾波方法來分離和提取基準(zhǔn)面與粗糙度特征，但都存在不足之處［6］.小波濾波克服了傳統(tǒng)濾波方法的缺陷，可以實(shí)現(xiàn)表面的多尺度分析，但最優(yōu)小波基的選取和小波分解次數(shù)的確定一直是表面分析中的難點(diǎn)而沒有得到很好的解決.在實(shí)際應(yīng)用中，這2個問題都由使用者的經(jīng)驗(yàn)決定.

本文將小波變換應(yīng)用于微細(xì)電火花線切割加工表面三維粗糙度分析，提出了最優(yōu)小波基的選擇原則和小波基準(zhǔn)面分解次數(shù)的確定方法.

1 微細(xì)電火花線切割表面三維特征

微細(xì)電火花線切割加工時由于運(yùn)絲機(jī)構(gòu)的振動、電極絲的往復(fù)運(yùn)動、火花放電時的爆炸蝕除與沖擊等，其加工表面微觀形貌是由近似橢球形的凹坑和凸峰組成.如圖1所示.

圖1 微細(xì)電火花線切割加工表面微觀三維形貌Fig.1 The 3D surface micro-topography of MWEDM

因此，表面包括粗糙度、表面波紋度、幾何形狀誤差，同時其紋理沒有切削加工的方向性，是近似符合高斯分布的各向同性表面.其中表面波紋度和幾何形狀誤差二者的疊加即為表面三維粗糙度的評定基準(zhǔn)面.評定三維粗糙度時，要將其分離.

小波變換能將原始信號分解為不同尺度空間的基本成分組，在不同尺度上分離和提取各種表面元素，基于小波變換將尺度空間上的不同成分分離再極好地重構(gòu)，具有良好的時頻局域化性能.正交小波具有極好的去相關(guān)性，這對微細(xì)電火花線切割表面三維粗糙度與基準(zhǔn)面的分離相對其他濾波方法有無可比擬的優(yōu)點(diǎn).

2 基準(zhǔn)面的數(shù)學(xué)模型及其小波實(shí)現(xiàn)

2.1 數(shù)學(xué)模型

微細(xì)電火花線切割表面微觀形貌是表面粗糙度、表面波紋度、幾何形狀誤差和表面紋理等多種成分的總合.作為信號，以上各種成分的頻率特征是不同的，粗糙度屬于高頻信號，相對而言，波紋度、幾何形狀誤差和紋理屬于低頻信號.

記SPM顯微鏡掃描的微細(xì)電火花線切割加工表面微觀三維形貌為 f(x，y)，s(x，y)是表面粗糙度，g(x，y)是表面波紋度、幾何形狀誤差的總和，也就是粗糙度評定的基準(zhǔn)面.則微細(xì)電火花線切割表面三維形貌粗糙度評定的數(shù)學(xué)模型為

設(shè)二維正交小波基 ψ(x，y)，φ(x，y)= φ(x)·φ(y)是相應(yīng)的二維尺度函數(shù).對于微細(xì)電火花線切割加工表面微觀三維形貌 f(x，y)，其逼近圖像Ajf(x，y)的二維 Mallat分解算法［7-8］為

其中:

式(2)、(3)中:

令Cr、Gc分別表示對 αj(l，k)的行與列作低通濾波運(yùn)算，而 Cr、Gc分別表示對 αj(l，k)的行與列作高通濾波運(yùn)算，圖像f(x，y)二維Mallat算法分解的矩陣表示可以描述為

則相應(yīng)的微細(xì)電火花線切割表面三維粗糙度s(x，y)為

相應(yīng)地，其二維Mallat重構(gòu)算法的矩陣表示滿足:

式中:C*、G*分別為C、G的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

2.2 小波基的選取

小波濾波克服了傳統(tǒng)濾波方法的缺陷，可以實(shí)現(xiàn)表面的多尺度分析，但小波分析的基函數(shù)具有不唯一性，同一工程表面用不同的小波基進(jìn)行分析有時結(jié)果相差甚遠(yuǎn)［9］.如何選擇小波基波，到目前為止還沒有一個統(tǒng)一的理論標(biāo)準(zhǔn).在實(shí)際應(yīng)用中，一般是根據(jù)信號處理目的不同，經(jīng)驗(yàn)性的選取一些小波.對于數(shù)字信號常用的正交小波有 Daubechies、coiflets和 symlets小波基［10］.

用小波變換分析微細(xì)電火花線切割加工表面時，首先對表面微觀三維形貌在不同尺度上進(jìn)行多分辨率分解，然后再重構(gòu)所需要的特征信息.用不同的小波分解同一表面信息時會得到不同的結(jié)果，相應(yīng)的重構(gòu)出來的表面特征信息也不同.所以用小波重構(gòu)的特征信號無法作為比較不同小波基對所分析表面信號的優(yōu)劣依據(jù)，微細(xì)電火花線切割加工原始表面信號是確定的，如果用不同的小波基在相同的分解次數(shù)下重構(gòu)原始表面信號，其重構(gòu)效果就能在一定程度上反映出相應(yīng)的小波基對所分析表面的精確性.

微細(xì)電火花線切割加工表面信號是以離散信號形式存在的，在實(shí)際應(yīng)用中，信號的可分辨率是有限的.不可能計(jì)算在所有尺度2j(-∞ ＜j＜∞)上的小波變換，分辨率2J應(yīng)取有限值.把變換限定在一個有限的最大尺度j=J和最小尺度j=0之間，20表示最高分辨率，2J表示最低分辨率.

試驗(yàn)中，掃描圖像時輪廓上的采樣點(diǎn)數(shù)為N=512個.在進(jìn)行小波變換時，最大理論尺度:

即表面信號最多能分解9次.而當(dāng)分解到第9次時，只剩下1個數(shù)據(jù)點(diǎn)，用1個點(diǎn)代替1個表面對處理表面信號已經(jīng)沒有意義了.故在選擇最優(yōu)小波基時只進(jìn)行8次分解再重構(gòu)表面信號.

采用3種小波對微細(xì)電火花線切割表面三維形貌進(jìn)行8分解再重構(gòu)原始信號，取重構(gòu)形貌與原始形貌二范數(shù)來判定所選小波基的優(yōu)劣.表1為對圖1微細(xì)電火花線切割表面三維形貌的小波重構(gòu)誤差.

表1 不同小波基的重構(gòu)誤差Table 1 Reconstruction error of different wavelet bases

從表1中可以看出用sym5小波基對微細(xì)電火花線切割表面三維形貌分解再重構(gòu)后得到的圖像與原始圖像相比，誤差最小.故選擇sym5小波基作為微細(xì)電火花線切割表面的濾波工具.

2.3 確定小波分解次數(shù)

微細(xì)電火花線切割加工表面主要是由表面粗糙度、表面波紋度和幾何形狀誤差3個頻率成分組成的表面.由于正交小波變化有很好的去相關(guān)性，可以通過多次分解把三者很好地區(qū)分開來.小波變換具有尺度間呈指數(shù)退化的性質(zhì)，同時小波變換同傅里葉變換一樣是能量守恒的.當(dāng)分解表面信號的某單一成分(如粗糙度信號)時，隨著分解層數(shù)的增加，其幅值逐次變大，反映在能量上就是呈指數(shù)增長.

用小波對微細(xì)電火花線切割加工表面進(jìn)行分解，所得N階分量的能量是指該分量系數(shù)的平方和.首先用sym5小波對微細(xì)電火花線切割加工表面進(jìn)行8層分解，計(jì)算各層分解的高頻部分能量的百分比.通過檢驗(yàn)各層分解信號的能量變化，來區(qū)分不同的頻率成分，如圖2所示.

圖2中對所獲得的微細(xì)電火花線切割加工表面進(jìn)行了8次分解.在無法確定分解次數(shù)的情況下，根據(jù)上述分析對前4層或前5層分解能量的百分比做指數(shù)函數(shù)擬合.從圖中可以看出，前6次小波分解的高頻部分能量都較好的符合指數(shù)函數(shù)分布，當(dāng)分解到第7層時能量分布出現(xiàn)突變.對前6層分解的能量進(jìn)行指數(shù)函數(shù)擬合，擬合函數(shù)如下:

這完全符合小波分解的能量守恒規(guī)律，說明分解到前6層為止，都屬于單一頻率成分.小波分解時由高頻到低頻依次進(jìn)行的，在微細(xì)電火花線切割表面的頻率成分中，表面粗糙度屬于高頻信號，包括波紋度和幾何形狀誤差的基準(zhǔn)面屬于低頻信號.由此可見，對微細(xì)電火花線切割表面當(dāng)分解到第7層時才能得到其小波基準(zhǔn)面.

圖2 小波分解階次與分解能量的關(guān)系Fig.2 Relationship between wavelet decomposition level and decomposition energy

3 試驗(yàn)結(jié)果

圖3 微細(xì)電火花線切割加工實(shí)測三維表面Fig.3 The measured 3D surface of MWEDM

圖4微細(xì)電火花線切割表面三維粗糙度的小波評定基準(zhǔn)面Fig.4 The reference plane by wavelet for 3D roughness evaluation of MWEDM

圖5 微細(xì)電火花線切割表面三維粗糙度Fig.5 The 3D surface roughness of MWEDM

根據(jù)確定的最優(yōu)小波基和小波基準(zhǔn)面的分解次數(shù)對圖3的微細(xì)電火花線切割表面進(jìn)行小波處理，分離出小波基準(zhǔn)面和表面三維粗糙度，結(jié)果見圖4、5.

按照同樣的方法，對外磨加工表面(圖6)進(jìn)行小波處理，分離基準(zhǔn)面和三維粗糙度，結(jié)果見圖7、圖8所示.

由圖4可知，微細(xì)電火花線切割加工表面的波紋度主要是由于加工時電板絲往復(fù)運(yùn)動引起的振動和火花放電產(chǎn)生的熱影響而產(chǎn)生的，故其波紋度不太規(guī)則.由圖7可以看出，外磨表面的波紋謊要是由機(jī)床振動引起的，故其較為規(guī)則.

圖6 外磨加工實(shí)測三維表面Fig.6 The measured 3D surface of cylindrical grinder

圖7 外磨表面三維粗糙度的小波評定基準(zhǔn)面Fig.7 The reference plane by wavelet for 3D roughness evaluation of cylindrical grinder

圖8 外磨表面三維粗糙度Fig.8 The 3D surface roughness of cylindrical grinder

4 結(jié)論

采用小波分析方法分離了微細(xì)電火花線切割表面評定基準(zhǔn)面，得到以下幾點(diǎn)結(jié)論:

1)微細(xì)電火花線切割加工表面粗糙度、波紋度和幾何形狀誤差之間既相互獨(dú)立又高度相關(guān)，可以用小波變換的方法進(jìn)行分離提取;

2)利用小波變換，以小波基重構(gòu)的精度作為最優(yōu)小波基的判斷標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)小波分析的能量守恒原則，通過分析小波分解被測信號的能量變化能夠準(zhǔn)確確定小波分解次數(shù).

3)表面粗糙度分析中最優(yōu)小波基的選取和分解次數(shù)確定的方法可以推廣到機(jī)械加工表面.

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