利用Duffing方程組檢測隨機相位的正弦信號

劉 立

(華北電力大學電子與通信工程系，河北保定 071003)

文中采用的Holmes型Duffing方程的一般形式如式(1)所示

fcos(t)為周期策動力，k為阻尼比，－x(t)+x3(t)為非線性恢復力。若k固定，則f超過一定閾值fc后繼續(xù)增大，系統(tǒng)很快出現(xiàn)周期倍化分叉，隨后進入混沌狀態(tài);隨著f繼續(xù)增大，當f大于另一個閾值fd時，系統(tǒng)進入大尺度的周期運動狀態(tài)［1－2］。

文獻［3］分析了如果要使系統(tǒng)運行軌跡發(fā)生改變，被測正弦信號的相位必須在一定范圍內(nèi)取值，而且相差過大時系統(tǒng)很容易收到噪聲影響。而在實際的通信系統(tǒng)中，接受信號acos(ωt+θ)的相位不可能總是為0或接近0，而是隨機分布的，因此本節(jié)討論一種利用Duffing方程組檢測隨機相位的微弱信號的實現(xiàn)方法［4］。

1 原理分析

將2π均勻N等分，令N個Duffing方程的周期策動力分別預置這N個初相位［4］，即 Φi=(2πi/N)，i=0，1，2，…，N－1。

得到如下N個方程構(gòu)成的方程組

仿照文獻［5］中求混沌閾值的方法，容易推出無論Φi取何值，上述方程都存在混沌解，而且混沌閾值的表達式為［5］

當k(k=0.5)固定時，各方程的閾值fd近似相等，但也有所不同。因此預先找出各fdi，并將各方程的策動力f預設(shè)在fdi，此時各個方程的解皆處于混沌狀態(tài)。

按照文獻［3］中的參數(shù)設(shè)置，通過實驗分別找出了16個閾值，如表1所示。

表1 策動力的相位φi與閾值fdi對應(yīng)表

雖然已求出16個方程對應(yīng)的閾值，但并不是16個方程同時用于檢測信號。當待檢測信號加入系統(tǒng)時，只有一個方程起作用，可以逐個驗證每個方程，看是否有能夠?qū)⑿盘枡z測出來的方程出現(xiàn)，將所有能檢測信號的方程都作為有效，將檢測到的信號求平均值。

待檢測信號的未知相位θ可能會出現(xiàn)兩種情況:

(1)待檢測信號的相位θ與16個策動力的初相位θi，i=0，1，2，…，15 之一相等。則當待測信號通過系統(tǒng)時，該θi對應(yīng)的方程出現(xiàn)由混沌狀態(tài)進入大尺度周期狀態(tài)解的情況，可以準確地檢測出待檢測信號幅值。

(2)待測信號的相位θ處于兩個θi之間。通過仿真實驗發(fā)現(xiàn)，當待測微弱信號通過系統(tǒng)時，方程組中可能會有兩個甚至多個出現(xiàn)臨界狀態(tài)的轉(zhuǎn)變方程。為減小檢測帶來的誤差，通過求平均的方法來減小誤差。

2 仿真結(jié)果

上節(jié)求出16個方程對應(yīng)的閾值，本節(jié)將用來檢測信號。實驗時選取k=0.5，ω=100π rad/s。

實驗1 加入信號s=0.002 4cos(100πt+π)。

首先調(diào)整系統(tǒng)方程策動力的相位，使θ=θ0=0，然后調(diào)整幅值f0，使得f0=fd0=0.825 9，此時系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，然后將信號s加入系統(tǒng)，此時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)回到混沌狀態(tài)，這說明待測信號的相位不在0附近。

然后繼續(xù)改變系統(tǒng)策動力的幅值與相位，使θ=θ1=0.125π，f1=fd1=0.825 9，此時系統(tǒng)又處于臨界狀態(tài)，然后繼續(xù)將信號s加入系統(tǒng)，此時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)又回到混沌狀態(tài)，說明待測信號的相位同樣不在0.125π附近，然后繼續(xù)將幅值與相位改變。

實驗發(fā)現(xiàn)，當θ=θ8=π，f8=fd8=0.825 8時系統(tǒng)出現(xiàn)大尺度周期運動狀態(tài)，利用信號檢測方法調(diào)整f8，實驗發(fā)現(xiàn)當f8=0.823 5時，系統(tǒng)重新回到臨界狀態(tài)。因此待測信號的幅值a=fd8－f8=0.825 8－0.823 5=0.002 3。誤差為0.002 4－0.002 3=0.000 1。

實驗繼續(xù)下去，發(fā)現(xiàn)沒有出現(xiàn)大尺度周期運動狀態(tài)的方程，因此最終檢測的信號幅度為0.002 3，相位為π。

實驗2 加入信號s=0.002 4cos(100πt+15π/16)。

仿照實驗一的步驟，當θ=θ7=0.875π，f7=fd7=0.826 0時系統(tǒng)出現(xiàn)大尺度周期運動狀態(tài)，調(diào)整f7，實驗發(fā)現(xiàn)當f7=0.824 4時，系統(tǒng)重新回到臨界狀態(tài)。因此待測信號的幅值a1=fd7－f7=0.826 0－0.824 4=0.001 6。誤差為0.002 4－0.001 6=0.000 8。

實驗繼續(xù)，當 θ=θ8=π，f8=fd8=0.825 8時系統(tǒng)出現(xiàn)大尺度周期運動狀態(tài)，調(diào)整f8，實驗發(fā)現(xiàn)當f8=0.824 3時，系統(tǒng)重新回到臨界狀態(tài)。因此待測信號的幅值a2=fd8－f8=0.825 8－0.824 3=0.001 5。誤差為0.002 4－0.001 5=0.000 9。

實驗繼續(xù)下去，發(fā)現(xiàn)沒有出現(xiàn)大尺度周期運動狀態(tài)的方程。為了提高檢測精度，采用時域經(jīng)常用到的平均求值方法。將檢測到的a1，a2求平均，可以得到

3 結(jié)束語

對于相位未知的微弱正弦信號，可以采用16個方程的方法將帶有未知相位微弱正弦信號檢測出來，利用這種方法可以檢測到的相位誤差＜π/16。上述仿真實驗是在沒有噪聲輸入時進行的，幅值誤差主要為系統(tǒng)誤差和相位差引起的誤差。如果實際系統(tǒng)中有噪聲存在，那么測量誤差會增加，但是只要能檢測出任意相位的輸入信號，這種檢測方法則是有效的。

［1］王冠宇.混沌振子在強噪聲背景信號檢測中的應(yīng)用［J］.儀器儀表學報，1997，18(2):209 －212.

［2］聶春燕.基于混沌相平面變化的弱信號檢測方法研究［J］.長春大學學報，1999，9(4):1 －4.

［3］劉立，孫軍.基于混沌振子的微弱信號檢測方法研究［J］.沈陽農(nóng)業(yè)大學學報，2005，36(6):667 －670.

［4］李健，何坤，喬強，等.應(yīng)用混沌系統(tǒng)實現(xiàn)弱信號的檢測［J］.四 川 大 學 學 報:自 然 科 學 版，2004，41(6):1180－1183.

［5］李月，楊寶俊.混沌振子檢測引論［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2004.