基于逐點(diǎn)比較法的漸開線插補(bǔ)方法

郭方圣，魏修亭

(山東理工大學(xué)精密制造與特種加工省級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 淄博 255049)

0 引言

漸開線齒輪是常用的機(jī)械零件，在其輪廓曲線的加工與測量過程中，都需要通過插補(bǔ)原理形成漸開線，以便通過數(shù)控的方法完成齒廓的加工與測量。本文即是在萬能式齒輪測量機(jī)的改造過程中，根據(jù)齒輪測量時(shí)測頭控制系統(tǒng)形成漸開線的需要，而提出的一種漸開線的插補(bǔ)方法。

目前，常用的數(shù)控插補(bǔ)方法有逐點(diǎn)比較法、數(shù)字積分法、比較積分法和數(shù)據(jù)采樣法，其中比較積分法主要適用于直線以及圓、橢圓、雙曲線等二次曲線的插補(bǔ)。在漸開線插補(bǔ)方面，文獻(xiàn)［1-6］基于數(shù)字積分法、數(shù)據(jù)采樣法等方法介紹了漸開線的各種插補(bǔ)方法，國外的文章則少有介紹。

在基于逐點(diǎn)比較法的基礎(chǔ)上并結(jié)合其它的相關(guān)數(shù)控插補(bǔ)理論［7-8］提出了一種漸開線的插補(bǔ)方法。由于漸開線的坐標(biāo)方程一般都是由參數(shù)方程的方式表示出來，在已知漸開線上某點(diǎn)坐標(biāo)反求角度難度較大，采用本方法避免了反求角度的問題，因此使用本方法可以減少計(jì)算難度與計(jì)算量。

1 插補(bǔ)原理

逐點(diǎn)比較法的插補(bǔ)原理［9-10］，是被控對(duì)象在按照規(guī)定的軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，每走一步與規(guī)定的軌跡進(jìn)行一次比較，然后根據(jù)比較結(jié)果決定下一步的進(jìn)給方向。但是由于漸開線的表達(dá)式一般都是以角度作為參數(shù)的參數(shù)方程的形式給出，要實(shí)現(xiàn)逐點(diǎn)比較需根據(jù)已知點(diǎn)值再求角度，計(jì)算量以及計(jì)算難度都比較大。本文所采用的方法是先將漸開線上兩點(diǎn)用直線連接，再求出這兩點(diǎn)的切線，然后再求出這兩點(diǎn)的連線與這兩點(diǎn)的切線的夾角的角平分線，以及兩條角平分線的交點(diǎn)。以漸開線上這兩點(diǎn)以及角平分線的交點(diǎn)的連線代替漸開線進(jìn)行插補(bǔ)，可以比較容易的實(shí)現(xiàn)逐點(diǎn)比較的功能，并且能夠減少計(jì)算量計(jì)算難度。

已知漸開線上點(diǎn):

式中，xi——直角坐標(biāo)系中漸開線上x軸坐標(biāo)值;

yi——直角坐標(biāo)系中漸開線上y軸坐標(biāo)值;

r——漸開線基圓半徑;

θi——漸開線上對(duì)應(yīng)(xi，yi)點(diǎn)是漸開線的展角值。

那么可以通過求導(dǎo)獲得漸開線上點(diǎn)(xi，yi)的切線的斜率ki的值:

同樣的漸開線上另一點(diǎn):

式中，xi+1——直角坐標(biāo)系中漸開線上x軸坐標(biāo)值;

yi+1——直角坐標(biāo)系中漸開線上y軸坐標(biāo)值;

r——漸開線基圓半徑;

θi+1——漸開線上對(duì)應(yīng)(xi+1，yi+1)點(diǎn)是漸開線的展角值;

Δθ——從 θi到 θi+1的展角變化量。

那么漸開線上點(diǎn)(xi+1，yi+1)的切線的斜率ki+1的值:

因此就可以通過斜率 ki，ki+1以及點(diǎn)(xi，yi)，(xi+1，yi+1)求得漸開線上相應(yīng)點(diǎn)的切線 li，li+1。

漸開線上點(diǎn)(xi，yi)的切線方程li的表達(dá)式為:

漸開線上點(diǎn)(xi+1，yi+1)的切線方程li+1的表達(dá)式為:

連接漸開線上相鄰兩點(diǎn)(xi，yi)，(xi+1，yi+1)的直線lli的斜率kli等于:

因此連線lli的方程為:

根據(jù)連線lli的斜率kli可以求得直線lli與x軸正方向的夾角φi:

這樣可以求得連接漸開線上相鄰兩點(diǎn)的直線lli分別與漸開線上(xi，yi)點(diǎn)的切線 lli以及(xi+1，yi+1)點(diǎn)的切線li+1的夾角γid和γiu。

這樣直線lli分別與漸開線上(xi，yi)點(diǎn)的切線li的夾角γid為:

直線lli分別與漸開線上(xi+1，yi+1)點(diǎn)的切線li+1的夾角γiu為:

求直線lli與(xi，yi)點(diǎn)的切線的夾角的角平分線與x軸正方向的夾角是:

對(duì)應(yīng)的斜率:

類似的直線lli與(xi+1，yi+1)點(diǎn)的切線的夾角的角平分線與x軸正方向的夾角是:

對(duì)應(yīng)的斜率:

因此可以求得直線lli與(xi，yi)點(diǎn)的切線的角平分線 lαi的直線方程是:

同樣也可以求得直線lli與(xi+1，yi+1)點(diǎn)的切線的角平分線lβi的直線方程是:

根據(jù)方程 lαi與方程 lβi可以求出直線 lαi與直線 lβi相交于點(diǎn)(xim，yim)，這樣點(diǎn)(xi，yi)、(xim，yim)與(xi+1，yi+1)連線進(jìn)行插補(bǔ)。

下面圖1是漸開線上各點(diǎn)、線之間的位置關(guān)系圖。

圖1 漸開線插補(bǔ)各直線之間的位置關(guān)系

在從點(diǎn)(xi，yi)到點(diǎn)(xi+1，yi+1)之間進(jìn)行插補(bǔ)，設(shè)(xt，yt)為插補(bǔ)點(diǎn)。首先，插補(bǔ)點(diǎn)在從點(diǎn)(xi，yi)到點(diǎn)(xim，yim)之間進(jìn)行插補(bǔ)，與直線 lαi作比較，此段為插補(bǔ)完成依然在這段直線之間進(jìn)行插補(bǔ)，如果在此段直線之間插補(bǔ)完成則進(jìn)行下一段的插補(bǔ)，下一段插補(bǔ)與直線lβi進(jìn)行比較。

1.1.1 插補(bǔ)從點(diǎn)(xi，yi)到點(diǎn)(xim，yim)之間

當(dāng)插補(bǔ)點(diǎn)在直線上(包括在直線上)時(shí)

保持y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)加上相應(yīng)的進(jìn)給量，即:

x向右。

其中Δl為單位脈沖進(jìn)給當(dāng)量。

當(dāng)插補(bǔ)點(diǎn)在直線下時(shí):

保持x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)加上相應(yīng)的進(jìn)給量，即:

y向上。

令:

根據(jù)上面的分析可知如果插補(bǔ)點(diǎn)在直線上(包括在直線上)Ft≥0:

新得到的點(diǎn)的偏差值Ft+1:

化簡后即得到:

類似的若插補(bǔ)點(diǎn)在直線下方，可得到新的插補(bǔ)點(diǎn)的偏差值Ft+1:

由此可見新得到的點(diǎn)的偏差值Ft+1完全可以從前一點(diǎn)的偏差值Ft遞推出來，根據(jù)偏差判別函數(shù)來確定下一步的插補(bǔ)進(jìn)給方向。

1.1.2 插補(bǔ)從點(diǎn)(xim，yim)到點(diǎn)(xi+1，yi+1)之間

同1.1.1，可以推出在從點(diǎn)到(xim，yim)點(diǎn)(xi+1，yi+1)之間的插補(bǔ)關(guān)系，偏差判別函數(shù)Ft為:

如果插補(bǔ)點(diǎn)在直線上(包括在直線上)時(shí):

在直線下時(shí):

1.2 其它情況插補(bǔ)

表1 漸開線插補(bǔ)的進(jìn)給與偏差計(jì)算

2 誤差分析

圖2是本方法的誤差分析圖，由圖可知每段產(chǎn)生插補(bǔ)誤差最大的點(diǎn)，最可能發(fā)生在漸開線上切線平行于角平分線的點(diǎn)或者是兩條角平分線的交點(diǎn)處，在不考慮脈沖增量所引起的誤差的情況下下面分別求出以下三點(diǎn)的誤差。

圖2 插補(bǔ)誤差分析圖

2.1 下角平分線誤差

下角平分線的方程式為:

根據(jù)上式以及圖2可以求得漸開線上點(diǎn)(xα，yα)即是下角平分線插補(bǔ)誤差最大的點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以得到此段插補(bǔ)誤差最大值dα為:

2.2 上角平分線誤差

類似的可以得到上角平分線插補(bǔ)誤差最大值dβ為:

2.3 交點(diǎn)誤差

如果上下兩條角平分線的交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為(xj，yj)，那么交點(diǎn)誤差dj可以求得:

其中 θ∈［θi，θi+1］通過計(jì)算比較可知 dβ＞ dα＞ dj，并且當(dāng)Δθ減小是誤差減小，在Δθ固定時(shí)時(shí) dβ、dα誤差隨著θ的增大，因此可以通過調(diào)節(jié)Δθ的大小來調(diào)整誤差值的大小，并且只要最后一點(diǎn)滿足要求即可。

表2Δθ為時(shí)各段誤差

表2Δθ為時(shí)各段誤差

表3Δθ為時(shí)各段誤差

表3Δθ為時(shí)各段誤差

根據(jù)表2和表3也可以知道補(bǔ)償誤差隨著Δθ以及θ的增加而變大，因此只要控制Δθ使θ在最大值是插補(bǔ)誤差滿足要求即可滿足插補(bǔ)的要求。

3 插補(bǔ)算法

根據(jù)漸開線插補(bǔ)原理做出漸開線插補(bǔ)算法流程圖，圖3是漸開線的插補(bǔ)算法流程圖。

圖3 插補(bǔ)算法流程圖

4 算法實(shí)現(xiàn)

4.1 模擬插補(bǔ)效果圖

圖4是根據(jù)本文提出的方法采用matlab編程實(shí)現(xiàn)的漸開線插補(bǔ)效果圖，其中圖a是時(shí)的插補(bǔ)效果圖，圖b是時(shí)的插補(bǔ)效果圖，圖c是時(shí)的插補(bǔ)效果圖。

根據(jù)圖4a可以看到當(dāng)Δθ固定時(shí)，隨著θ的增大插補(bǔ)誤差也增大，因此只要使θ在最大值時(shí)的誤差達(dá)到精度要求，其它位置都可以達(dá)到精度要求。對(duì)比圖a、b和圖c可以看出Δθ越小插補(bǔ)線與理論漸開線的吻合度越高，由圖c可以看出當(dāng)(1°)時(shí)，插補(bǔ)線與理論漸開線幾乎完全吻合。

4.2 插補(bǔ)程序

5 結(jié)束語

本文提出了一種新的漸開線的插補(bǔ)方法，通過公式理論推導(dǎo)以及誤差分析，并用matlab編程實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)運(yùn)算，其插補(bǔ)軌跡與理論漸開線吻合度好，可以實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)誤差的控制，滿足精度要求。同時(shí)該方法調(diào)節(jié)方便，可以方便的移植到計(jì)算能力較強(qiáng)的數(shù)控裝置如漸開線齒輪加工以及測量設(shè)備當(dāng)中，對(duì)減少產(chǎn)品開發(fā)時(shí)間、降低成本具有重要意義。

［1］吳曉君，等.變基于數(shù)據(jù)采樣法的漸開線插補(bǔ)設(shè)計(jì)［J］.西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001(1):84－87.

［2］王啟民.數(shù)字積分法漸開線插補(bǔ)原理［J］.制造技術(shù)與機(jī)床，1995(6):11－14.

［3］曹鳳.數(shù)字積分法漸開線插補(bǔ)的算法研究［J］.機(jī)械，2002(5):34－35.

［4］丁克會(huì)，周建來.漸開線的圓弧快速逼近研究［J］.制造技術(shù)與機(jī)床，2010(1):39－41.

［5］桂貴生，等.漸開線數(shù)控加工插補(bǔ)算法探討［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2002(4):24－26.

［6］黨玉春.時(shí)間分割漸開線插補(bǔ)新算法［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2006(12):35 －36，41.

［7］S Bedi，I Ali，N Qunn，Advanced Interpolation Techniques for NC machines［J］.Journal of Engineering for industry，1993，115:329 －336.

［8］Wei Hu.Interpolation algorithm based on central angle division［J］.International Journal of Machine Tools＆ Manufacture，2002，42:473 －478.

［9］金中波，等.逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)原理及其改進(jìn)算法分析［J］.機(jī)械工程師，2009(3):131－133.

［10］趙萬生，等.參數(shù)方程曲線的直接插補(bǔ)算法研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2000(1):134－137.