一類算子在非倍測度的廣義Morrey空間上的有界性

鄭濤濤,張松艷

(1.寧波大學(xué) 理學(xué)院,浙江 寧波 315010;2.浙江科技學(xué)院 經(jīng)濟管理學(xué)院,杭州310023)

1 引言及主要結(jié)果

在經(jīng)典調(diào)和分析中,一個關(guān)鍵的假設(shè)是測度μ滿足雙倍條件。所謂測度μ滿足雙倍條件是指存在某個常數(shù)C＞0,使得對任意的 x∈supp(μ)及r＞0,有 μ(B(x,2l))≤Cμ(B(x,l)),其中B(x,r)={y∈Rd:|x-y|＜r}。1998年,Nazarov,Treil和Volberg[1]給出了在非雙倍條件下有關(guān)Calderón-Zygmund算子的理論,且最近幾年的研究[2-3]表明,定義在歐氏空間Rd上的非負Radon測度μ不滿足雙倍條件而僅滿足增長性條件時,許多經(jīng)典的結(jié)果仍然成立。增長性條件即存在常數(shù)C0＞0,使得對任意的x∈Rd,l＞0有

n為固定的數(shù)且0＜n≤d。如果歐氏空間Rd上賦予的非負Radon測度μ僅滿足增長性條件,則稱此空間為非齊型空間。本文研究了非齊型空間(Rd,μ)上的多線性Calderón-Zygmund算子的有界性。

定義于Schwartz函數(shù)空間的m重乘積,取值于緩增分布空間的m-線性算子T:

T帶有一個(Rd)m+1空間上的分布核K(x,y 1,…,ym),其中K(x,y1,…,ym)是定義在(Rd)m+1{x=y1=y2… =ym}上,稱K是一個m-CZK(A,ε)核,假如它滿足下面的尺寸條件:當{x,y1,…,ym}∈(Rn)m+1且x不等于某個y j(1≤j≤m)時,

并且滿足正則性條件:

其中A＞0和ε∈(0,1]是2個常數(shù)。

若存在q1,q2,…,qm,q∈[1,∞)(其中1/q=∑mk=11/qk)使得T是Lq1(Rn)×Lq2(Rn)×…×Lqm(Rn)→Lq(Rn)的有界算子,且對于L2(Rn)中的函數(shù) f 1,f 2,…,f m有

成立,其中f j(j=1,2,…,m)是具有緊支集的光滑函數(shù)且稱 T是以K為核的多線性Calderón-Zygmund 算子 。

當m=1時,算子T就是經(jīng)典的Calderón-Zygmund算子。當m ≥2時,Grafakos和Torres在文獻[4]中考慮了當1≤q1,q2,…,qm＜∞時,算子T在空間Lq1(Rn)×Lq2(Rn)×…×Lqm(Rn)上的性質(zhì),并建立了這類算子的T1型定理。

最近,Y.Sawano[5]引入非倍測度的廣義Morrey空間并證明了Calderón-Zygmund算子在該空間上的有界性,本文在此基礎(chǔ)上證明了多線性Calderón-Zygmund算子在非倍測度的廣義Morrey空間上的有界性。

本文中所有方體Q?Rd均指各邊平行于坐標軸的閉方體并記其邊長為l(Q),中心為xQ,C為常數(shù),A(μ)為所有滿足μ(Q)＞0的方體的全體。

定義 設(shè)1≤p＜∞,φ:(0,∞)→(0,∞)是一個增函數(shù),k＞1,廣義Morrey空間Lp,φ(μ)的定義為

定理1將包含文獻[5]中所證的關(guān)于Calderón-Zygmund奇異積分算子在廣義Morrey空間上的有界性的結(jié)果。

2 定理的證明

不失一般性,取m=2的情況證明,m ＞2的情況完全類似。

則有

[1] NAZAROV F,TREIL S,VOLBERG A.Weak typeestimates and Cotlar inequalities for Calderón-Zygmund operators in nonhomogeneous spaces[J].Internat Math Res,1998(9):463-487.

[2] TOLSA X.BMO,H1and Calderón-Zygmund operators for non-doubling measures[J].Math Ann,2001,319(1):89-149.

[3] SHI Yan-long,TAO Xiang-xing.Multilinear risez potential operators on Herz-type Spaces and generalized Morrey Spaces[J].Hokkaido Mathematic Journal,2009,38(4):635-662.

[4] GRAFAKOS L,TORRES R H.Multilinear Calderón-Zygmund theory[J].Adv in Math,2002,165(1):124-164.

[5] SAWANO Y.Generalized Morrey Spaces for non-doubling measures.Nonlinear differ[J].Equ Appl,2008,15(4):412-425.

[6] XU Jingshi.Boundedness of multilinear singular integrals for non-doubling measures[J].J Math Anal Appl,2007,327(1):471-480.