分形理論數(shù)學模型在土壤學中的應用研究

梁青麗

自然現(xiàn)象多樣性和復雜性的根源在于世界本質上是非線性的。非線性科學（NonlinearScience）已成為蓬勃發(fā)展的前沿科學。其中以研究非線性圖形自相似規(guī)律為基本內容的分形理論（FractalTheory）作為非線性科學中的普適性理論之一，研究工作十分活躍。目前分形理論在深刻揭示自然規(guī)律方面，己顯示出強大的生命力和廣闊的發(fā)展前景。

1 分形理論的提出

對于自然界常見的、變幻莫測的，不穩(wěn)定的、非常不規(guī)則的現(xiàn)象，歐氏幾何學將其貶為“病態(tài)結構”。但是，這些“病態(tài)結構”似乎比經(jīng)典的、光滑的幾何圖形能更好的反映自然現(xiàn)象的本質規(guī)律。在研究這些“病態(tài)結構”圖形的幾何意義，探討這類奇形怪狀共同的結構特征的過程中，一門全新的幾何學也隨之誕生。

1967年，Mandelbrot在美國《科學》雜志上發(fā)表的題為《英國的海岸線有多長》的著名論文中認為，海岸線長度的答案是隨測量尺度的不同而異的，用一種與尺度無關的方式來表征海岸的結構，這樣得到的結果比給出海岸線的長度更有意義。這是一種完全不同于以往觀念來認識和對待不規(guī)則的幾何形體。Mandelbrot在1975年發(fā)表的《分形：大自然的幾何學》一書中系統(tǒng)地整理了他的分形思想，建立了分形理論研究的基本框架，開辟了這一數(shù)學研究的新領域。

分形理論一經(jīng)提出，便受到自然科學諸多領域的廣泛關注?，F(xiàn)在，對分形的研究已遠遠超出了幾何學的范圍。分形理論已被應用到物理學，化學，生物學，地質學以及諸多動力學系統(tǒng)，甚至社會經(jīng)濟的理論和實際課題中，己成為揭示客觀世界的許多復雜結構特征的有力工具。

2 土壤結構性狀及土壤水分運動研究的意義

土壤是一個非均質的、多相的、分散和多孔的復雜系統(tǒng)。自然界的三相，即固相、液相和氣相共存于土壤之中。其中固相構成土壤的骨架，其結構通常是用固體顆粒的大小、形狀及其空間排列來描述的。由于構成土壤的顆粒和孔隙大小不同，形狀各異，并且它們可能是以各種方式連接起來的。因此土壤結構性狀十分復雜，但全面認識和了解土壤結構性狀又極其重要，因為它決定著總孔隙度以及孔隙的形狀和大小分布及連通情況，從而影響著土壤中水分和空氣的保持與傳導，包括入滲與通氣，還影響土壤的機械性質，這對于種子萌發(fā)，根系生長，土壤耕作，陸上交通和土壤侵蝕以及其他一些問題的研究也不可缺少。

土壤水分運動參數(shù)主要包括水分特征曲線，飽和、非飽和導水率及土壤水分擴散率，有關這些參數(shù)的測定、擬合方法己有許多，但由于土壤結構性狀的復雜性，由實測方法獲得準確且具代表性的水分運動參數(shù)還相當困難。近20年發(fā)展的土壤水分運動參數(shù)的估算方法——土壤傳遞函數(shù)法，備受注目，土壤傳遞函數(shù)利用土壤理化性質或參數(shù)，主要是土壤質地，即土壤砂粒、粉粒和黏粒的百分含量，或詳細的粒徑分布累計曲線，土壤容重和有機質含量，以及反映土壤結構性質等相對容易測定的土壤物理參數(shù)，就可方便快捷了解土壤水的基本物理性能，研究闡明土壤水的物理行為、土壤與水分的相互作用，預報水分在土壤—植物—大氣連通體中的狀態(tài)和運動規(guī)律。因此，研究土壤質地狀況，了解土壤結構性質等相對容易測定的土壤物理參數(shù)對土壤水分運動有著重要意義。

3 分形理論在土壤學研究中的意義及應用

3.1 分形理論在土壤學研究中的意義

土壤結構性狀和土壤水分運動的關系密不可分。沒有土壤結構定量化問題的解決，更多的土壤學研究的其他問題，特別是與土壤結構密切相關的土壤持水和水分運動的問題，也就難以定量解決。目前解決土壤持水和水分運動的問題仍只能大量地采用經(jīng)驗公式、經(jīng)驗參數(shù)來描述，并且這些公式僅在較小的范圍適用。對土壤結構性狀和土壤持水和水分運動規(guī)律的描述和研究一直是土壤科學最為活躍的研究領域之一。分形理論為研究土壤結構的復雜性和不規(guī)則性提供了一種全新的思維和方法，運用這一研究方法，建立土壤結構分形模型，使土壤結構指標定量化，對推動與土壤結構密切相關的土壤性質的研究以及發(fā)生在土壤內部的一些過程的認識具有重要意義。

3.2 分形理論在土壤學研究中的應用

近年來把分形理論運用到土壤科學研究中，特別是運用于土壤結構性質及與土壤結構相關的土壤持水及水分運動參數(shù)的研究十分活躍。

3.2.1 分形理論在土壤結構性狀研究中的應用

研究表明：反映土壤結構狀況的一些參量，比如土壤粒徑分布、孔隙度、孔隙連通狀況都表現(xiàn)出具有分形特征。Tyler等人在假定土粒的質量密度為一恒量，且在不考慮不同土粒形狀差異的基礎上，建立了土壤顆粒的累積重量與粒徑的分形關系：

式中，W——粒徑大于某一粒級di顆粒的累積重量，g；

W0——總重量，g；

di——土壤顆粒直徑，mm；

dmax——最大粒級的平均直徑，mm；

D——分形維數(shù)。

這一關系簡化了土壤粒徑分布分形維數(shù)的計算，并通過分析可得出分形維數(shù)的物理意義：0

Wuetal和MarcoBittelli等人運用小角度光散射分析方法在研究更大尺度范圍粒徑分布關系的工作中，粒徑分布的分形關系被分成三個區(qū)域，其邊界為0.51±0.15μm和85.3±0.25μm。提高測定粒徑分布分析技術，充分提取粒徑分布分形維數(shù)所提供的豐富信息，粒徑分布分形維數(shù)就可以更準確的、定量化反映土壤質地狀況和土壤結構的不同，也可更準確地運用到與土壤質地狀況和土壤結構有關的其它問題的研究中。

土壤結構狀況研究的另一方面是土壤孔隙空間性質。Anderson等已報道的分形理論在土壤孔隙空間的研究成果表明，用分形維數(shù)可以定量反映土塊或土壤團聚體的結構。

3.2.2 分形理論在土壤水分研究中的應用

目前，用分形理論研究土壤水分的熱點主要集中在解決土壤水分參數(shù)的確定上。Rieu和Sposito根據(jù)孔隙體積和大小的數(shù)量關系建立了完全分裂、松散的土壤孔隙分形模型，得到了孔隙完全連通情況下的累積孔隙體積與土壤顆粒尺寸的分形關系。考慮到有結構土壤是不完全分裂的，對粒徑分布分形維數(shù)D修正為體分形維數(shù)Dr，可以更合理的反映土壤連通情況，修正后的孔隙結構模型用來求解土壤水分運動參數(shù)。另外確定水分運動參數(shù)也可直接基于分形數(shù)學模型來建立土壤水分運動模型。

近年來，運用分形理論研究多孔介質中水動力彌散系數(shù)的研究報道也表明，宏觀彌散和微觀彌散的機制是相同的，水動力彌散系數(shù)具有尺度效應，表現(xiàn)出分形特征。多孔介質的非均勻性造成的流速不均勻是產生水動力彌散的主要因素，尺度效應分維作為一個定量指標，對研究水動力彌散，解決地下水污染問題土壤中溶質運移的模擬提供了新的參數(shù)估計方法。

4 有待解決的問題

分形理論為土壤這種結構上和形態(tài)上都很復雜的幾何形體提供了一種全新的思維和方法。運用分形理論對土壤結構的定量化描述已做了大量的研究工作，表現(xiàn)出誘人的應用前景。直接運用分形數(shù)學模型從不同角度研究土壤結構，目前已有了一定的基礎，但還需不斷的完善，探討孔隙空間曲折性和連通狀況，盡可能簡化模型中的輸入?yún)?shù)，改善模型對土壤水分保持和運動模型的預測，使模型更為好用、實用，是目前急需解決的問題。在己有的模型基礎上，建立更有效的模型，才能進一步運用土壤分形理論探討特征水分保持和運動及其空間變化的機理。

分形理論是一門發(fā)展中的學科，許多概念還在不斷的深化和發(fā)展中，關注分形理論發(fā)展的新動向，及時與土壤物理研究緊密結合，推動土壤物理學研究取得更大的發(fā)展，無疑會提高人們對土壤中復雜問題的認識，解決人們生產生活實踐中的有關問題。