考慮滯后作用的地面沉降阿爾蒙分布預測模型

馮 羽，馬鳳山，魏愛華，趙海軍，郭 捷

（中國科學院工程地質力學重點實驗室 中國科學院地質與地球物理研究所，北京 100029）

1 地面沉降預測研究現(xiàn)狀

地面沉降是一種由多種因素引起的地面標高緩慢降低的環(huán)境地質現(xiàn)象，嚴重時會成為一種地質災害。人類活動和地質作用是造成地面沉降的主要原因，其中過量抽取地下水是最主要的原因［1］。地下水開采導致水位下降是含水層系統(tǒng)流場變化的關鍵，也是地面沉降形成與發(fā)展的重要因素，地面沉降是滲流場變化及地層應力重分布的過程［2］。過量開采地下水造成的地面沉降多發(fā)生在大中城市，對人們的生產(chǎn)、生活、交通等影響極大，造成的損失和危害也大，成為一種嚴重的環(huán)境地質問題，影響和制約著當?shù)貒窠?jīng)濟的可持續(xù)發(fā)展。而且一般沉降范圍比較大，沉降過程緩慢，所以早期一般引不起人們的重視。因此，對于地面沉降量的預測問題就具有十分重要的實際意義。

國內(nèi)外地面沉降預測研究的各種模型，歸納起來可以分為確定性模型和隨機性模型兩大類。確定性模型是由地下水水流模型和沉降模型耦合在一起構成的數(shù)學模型，通過專業(yè)軟件進行數(shù)值模擬預測。隨機性模型是根據(jù)地面沉降量影響因素的多樣性與不確定性，利用概率統(tǒng)計分析方法找出這些不確定性因素的規(guī)律，從而建立相應的隨機模型。目前常用的隨機模型主要有回歸分析、灰色模型預測、時間序列、神經(jīng)網(wǎng)絡等［3－5］。

薛禹群指出地面沉降相對于地下水位變化的滯后作用是我國地面沉降方面未來需要解決的問題之一，提出如何用數(shù)學表達式來描述這種滯后現(xiàn)象是模擬這些地區(qū)地面沉降必須克服的一個難題［6］。許多學者對于沉降的滯后問題也進行了分析研究［7－8］。

滯后，即是沉降變形與水位下降的不同步。滯后是一個比較復雜的問題，它主要與蠕變有關，但也可能更復雜。含水層水位恢復后地面仍表現(xiàn)出繼續(xù)沉降，這里可能包含有兩種情況：一部分是含水砂層的蠕變導致含水層水位恢復后，沉降變形繼續(xù)發(fā)生；另一部分是在水位差消失沒有越流后，弱透水層在蠕變影響下的沉降。嚴格意義上說，弱透水層的次固結沉降不應該算作滯后，只有與蠕變有關的變形現(xiàn)象才是滯后［6］。

含水砂層蠕變的現(xiàn)象在現(xiàn)場監(jiān)測和室內(nèi)試驗都得到了證明［9］。對于含水砂層蠕變的原因，McDowell和Lade等［10－11］從砂土顆粒沿粒間接觸面的相互滑移和顆粒破碎兩方面解釋了砂土的蠕變機制，原來處于平衡狀態(tài)的砂土中存在大小不等的孔隙，在荷載作用下顆粒接觸面上的剪應力增加，顆粒沿接觸面產(chǎn)生錯動滑移，土顆粒首先充填到較大的孔隙中，大孔隙被充填后土粒運動空間減小、移動的剪阻力增加，土粒的滑移速率減小，因此，土粒達到新的平衡需要一定的時間。另外，在荷載作用下粒間接觸力增加，可導致部分土顆粒破碎，破碎形成的細小顆粒填充到土的孔隙中，顆粒位置重新調整。這兩個過程在宏觀上都表現(xiàn)為砂土的變形隨時間延長而增加，但變形速率不斷減小，最后趨近于穩(wěn)定。另外，由于抽取地下水引起土層中有效應力的變化要緩慢得多，這就使得長期抽水引起的砂土層的變形表現(xiàn)出顯著的時間相關性［12］。

對于粘性土的蠕變其產(chǎn)生的機制在學術界有不同認識，一是認為蠕變即為土體的次固結，其產(chǎn)生原因或是土中水膜的變形和作用，或是土顆粒黏結變化導致的結構調整；二是認為蠕變與次固結還是有一定區(qū)別，不僅是指體積變化中骨架的蠕動和硬化，更是指剪切造成的一種變形［13］。但粘性土變形的時效特性取決于蠕變和固結的共同作用卻是得到共識的。有的學者從微結構變化的角度了解蠕變特性的內(nèi)在機制，利用微觀定量化技術，對比原狀軟土與蠕變條件下土樣的微觀孔隙，從微觀角度對蠕變機制進行解釋［14］；有的學者通過設計室內(nèi)試驗來研究粘性土蠕變的內(nèi)在機理［12－13，15］，并且都得到了一些很有意義的結論。

2 阿爾蒙分布滯后模型的建立

某些變量之間的滯后因果關系，往往隨著時間間隔的延伸而逐漸減弱。計量學中幾何分布滯后模型反映了變量的影響程度隨滯后期的延長而按幾何級數(shù)遞減，模型為：

由于幾何分布滯后模型中的隨機擾動項通常存在一階負相關關系，因此參數(shù)估計變得比較復雜。為解決幾何分布滯后模型存在的問題，1965年阿爾蒙提出了利用有限多項式來減少待估參數(shù)個數(shù)以削弱多重共線性及參數(shù)估計中的自由度損失的有限分布滯后模型［16－17］。阿爾蒙分布滯后模型的基本原理，可以表示如下：

方程（1）是右邊只含有外生變量及其滯后項的幾何分布滯后模型，如果解釋變量之間顯然存在多重共線性，則不能用最小二乘法估計。為此，可將參數(shù)βi（i=0，1，2，…，k）的分布盡量地用一個關于 i的低級次多項式表示，這樣就可以利用多項式減少模型中的參數(shù)。為此將βi分解為：

βi=α0+α1（i－ˉp）+

α2（i－ˉp）2+…+αq（i－ˉp）q（q＜p）

p為滯后的期數(shù)，q是多項式的次數(shù)。此式稱為阿爾蒙多項式變化。式中，i=0，1，2，…，p，并且

將每個βi參數(shù)都用一個阿爾蒙多項式表示，則幾何分布滯后模型（1）即可改寫為阿爾蒙分布滯后模型：

這樣，式（2）相比較式（1）少了p－q個參數(shù)。

本文將采用阿爾蒙分布滯后模型來預測考慮地面沉降對地下水水位變化滯后作用的地面沉降量。

現(xiàn)收集到滄州地區(qū)連續(xù)11年時間內(nèi)的地下水開采量、地下水水位以及地面沉降數(shù)據(jù)如下圖1所示。

圖1 滄州地面沉降數(shù)據(jù)Fig.1 LandsubsidencedatainCangzhou

分別用y和x兩個序列來表示地面沉降量和地下水水位數(shù)據(jù)。首先，對 y和x兩個序列分別取對數(shù)，因為時間序列取對數(shù)后可以減弱異方差性的影響，而且取對數(shù)后回歸系數(shù)變?yōu)閺椥?，易于解釋。同時考慮地下水水位對地面沉降量的作用在2年之后幾乎消失，因此可以對模型采用遠端限制條件。

對lnx和lny兩個序列進行單位根檢驗，以判斷兩個時間序列的平穩(wěn)性，進行單位根ADF檢驗結果如表1。

表1 單位根ADF檢驗結果Table1 ADFtestresults

經(jīng)平穩(wěn)性檢驗結果可知，lnx和lny兩序列在1％的置信水平下都通過單位根ADF檢驗，都是平穩(wěn)序列。

進行模型選擇時，可以通過最小信息準則（AkaikeInformationCriterion）來確定滯后分布的長度，即滯后的期數(shù)。該項準則運用下式的統(tǒng)計量評價模型的好壞：AIC=－2L/n+2k/n，其中 L是對數(shù)似然值，n是觀測值數(shù)目，k是被估計的參數(shù)個數(shù)，AIC的準則要求其值越小越好。因為，AIC的大小取決于L和k。k取值越小，AIC越小；L取值越大，AIC值越小。K小意味著模型簡潔，L大意味著模型精確。因此AIC和修正的決定系數(shù)類似，在評價模型時兼顧了簡潔性和精確性。

根據(jù)AIC信息準則以及對地面沉降滯后的理論認識，確定模型的滯后期數(shù)為3，即當年的地下水抽水作用只對未來三年的地面沉降量有影響，對其后地面沉降的影響暫且忽略。對lnx和lny兩序列建立阿爾蒙分布滯后模型，預測模型方程如下：

可決系數(shù)R2=0.8023。

預測模型方程中，Yt表示第 t年的地面沉降量，Xt、Xt－1、Xt－2、Xt－3分別表示當年的地下水水位、去年的地下水水位、前年的地下水水位、大前年的地下水水位。其前面的系數(shù)，則表示該變量對當年地面沉降量的影響程度?？梢钥闯觯绊懴禂?shù)隨著前推年數(shù)的增加是逐年遞減的，符合實際情況。

模型中各參數(shù)均是在1％的顯著性下通過t檢驗的，回歸方程也通過F檢驗。對回歸結果進行LM檢驗，證明模型不存在自相關問題。

計量學中規(guī)定平均絕對誤差百分比（Mean AbsolutePercentageError-MAPE）的取值在0～5之間說明預測精度極高，本文阿爾蒙分布滯后模型的MAPE的值為3.64，說明模型預測效果非常好。西爾不等式系數(shù)TIC的取值范圍是0～1之間且取值越小越好，本文取值0.02，也說明預測是十分理想的。由于模型滯后期選為3，因此預測曲線是從第4年開始的，模型預測結果見圖2。

3 阿爾蒙分布滯后模型精度分析

采用目前非線性分析方法中比較常用的灰色GM（1，1）預測模型和神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型的預測結果與阿爾蒙分布滯后模型的預測結果進行對比。

圖2 預測值（LNYF）與真實值（LNY）的擬合曲線Fig.2 Fittingcurveofpredictive value（LNYF）andtruevalue（LNY）

為了提高預測精度，分別對這兩種算法進行了相關處理?；疑獹M（1，1）模型主要存在兩方面的局限性。一是數(shù)據(jù)離散程度越大，即數(shù)據(jù)灰度越大，則預測精度越差［18］；二是模型的擬合序列為非齊次指數(shù)序列，需要原始數(shù)據(jù)具有明顯的指數(shù)規(guī)律預測結果才夠準確，因此不太適合后推年限較長的預測［3］。因此對沉降觀測數(shù)據(jù)進行了歸一化后取對數(shù)操作，彈性縮小了數(shù)據(jù)的增長速度，使模型預測的結果更加準確。對于神經(jīng)網(wǎng)絡預測，預測前先對沉降數(shù)據(jù)進行了歸一化處理，以優(yōu)化網(wǎng)絡初始權值和閥值的選取。而且分別計算了選取不同個數(shù)中間層神經(jīng)元個數(shù)時神經(jīng)網(wǎng)絡的誤差，選取了網(wǎng)絡誤差最小的中間層神經(jīng)元個數(shù)?；疑獹M（1，1）模型與神經(jīng)網(wǎng)絡預測結果見圖3、圖4。

三種模型預測精度對比見表2。

表2 三種模型預測精度對比Table2 Predictionaccuracycomparisonofthreemodel

通過預測結果相對誤差百分比的對比可以發(fā)現(xiàn)，阿爾蒙分布滯后模型的預測精度要明顯高于灰色GM（1，1）預測模型，與神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型的預測精度相當，但神經(jīng)網(wǎng)絡預測精度的起伏較大，而阿爾蒙分布滯后模型的預測精度一直保持較高的預測精度，比較平穩(wěn)。

圖3 灰色GM（1，1）模型預測值擬合曲線Fig.3 FittingcurveofGM（1，1）modelprediction

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡預測值擬合曲線Fig.4 FittingcurveofNNmodelprediction

4 結論

地面沉降相對于地下水水位變化的滯后性的機理問題目前仍在研究當中，但地面沉降的發(fā)展具有時效性卻是得到共識的。本文基于這種滯后作用的考慮，建立了地面沉降的阿爾蒙分布滯后模型，并以滄州地區(qū)的地面沉降為算例進行預測；分別用灰色GM（1，1）預測模型和神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型進行計算，與阿爾蒙分布滯后模型的計算結果進行精度對比分析。結果表明，阿爾蒙分布滯后模型的預測效果非常好，平均絕對誤差百分比MAPE值僅為3.64。通過精度對比，阿爾蒙分布滯后模型相較于另外兩種方法均有提高。因此，阿爾蒙分布滯后模型可以應用到地面沉降預測領域中去。

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