擺線齒輪誤差的測量及修形量計算

郭敬濱，王 嫻，劉海軍，李 真

(天津大學精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

擺線針輪行星傳動具有運轉(zhuǎn)平穩(wěn)、傳動力矩大、單級減速比大等特點，被廣泛應用于石油、機械、輕工、食品、航空及國防等工業(yè)．擺線齒輪是擺線齒輪泵和擺線齒輪減速機中的關鍵零件，而擺線齒輪的修形量(包括移距、等距)是影響擺線減速機性能的重要參數(shù)．如何選擇這些參數(shù)、測出這些參數(shù)，成為人們最關心的問題．擺線齒輪的檢測不僅是為了測量擺線齒輪的齒形誤差，更重要的是為了獲得實際修形參數(shù)及判斷擺線齒輪加工時由于機床調(diào)整不當而產(chǎn)生的加工誤差．為了對擺線齒輪的全齒廓誤差進行測量及對修形量進行求解，筆者以極坐標測量原理為理論基礎，研究擺線齒輪的極坐標跟蹤測量技術及修形量參數(shù)的計算方法．

1 測量方法

擺線齒輪從齒廓曲線的生成方式來看，其齒形曲線類似于多凸輪曲線，且為直齒齒輪．測量擺線齒輪齒形誤差可采用的方法有展成法、坐標法和嚙合法[1-2]．由于擺線齒廓曲線的形成參數(shù)較多，用展成法測量和用嚙合法測量儀器結構都較復雜．而采用計算機控制的坐標測量系統(tǒng)比較容易實現(xiàn)齒形誤差的測量．采用坐標測量時常用的有直角坐標系和極坐標系．采用直角坐標系測量時，測頭運動行程一般相對較大，且每測一點，測頭都經(jīng)歷退讓、移到避障點、移動下一點、探測等步驟；而采用帶有轉(zhuǎn)臺的極坐標系統(tǒng)，不僅測頭的運動簡單(測頭只需要沿工件的徑向作直線運動)、測量效率較高，且僅把擺線齒形看作是平面曲線，而其生成參數(shù)體現(xiàn)在數(shù)學模型中，這樣就容易解決擺線齒輪誤差的測量問題，其測量原理如圖 1所示．為了滿足實時跟蹤的需要，該儀器采用基于數(shù)字信號處理器(digital signal processor，DSP)和現(xiàn)場可編程門陣列(field-programmable gate array，F(xiàn)PGA)的數(shù)據(jù)采集和控制系統(tǒng)[3]．利用該測量技術可以對擺線齒輪的齒廓進行高效率、連續(xù)自動跟蹤測量，以實現(xiàn)對擺線齒輪誤差的綜合測量和評定．

圖1 跟蹤測量系統(tǒng)原理Fig.1 Tracking and measuring system diagram

2 總體測量方案

采用圖 1所示的測量原理測量時，其測球中心Mi的極坐標值()及測量壓力角αi計算式為[4]

式中：rp為針齒中心分布圓半徑；zc為擺線輪齒數(shù)；zp為針輪齒數(shù)；rQ為測頭球半徑；rrp為針齒半徑；K1= a / rg為短幅系數(shù)，a為偏心距，rg為滾圓半徑；φHp為嚙合相位角．

根據(jù)擺線齒輪的極坐標方程，若采用在某一轉(zhuǎn)角iφ下，直接測量在該轉(zhuǎn)角下極徑iρ的測量方法，將會使整個測量鏈縮短，易于保證測量精度，儀器結構也相對簡單．為此，采用帶有圓光柵的精密轉(zhuǎn)臺、直線電機、球形測頭及測微裝置等構建測量機構．將被測擺線齒輪安裝在轉(zhuǎn)臺上，球形測頭和測微裝置安裝在直線電機的移動座上，將直線電機自身的長光柵和導軌作為極坐標測量系統(tǒng)的徑向基準，而角度基準為精密轉(zhuǎn)臺上的圓光柵．圖 2為擺線齒輪測量裝置的實物照片．

圖2 測量裝置實物照片F(xiàn)ig.2 Measuring device in-kind photo

采用圖2所示裝置進行跟蹤測量時，控制系統(tǒng)按采樣點(φi,ρi) 同時控制轉(zhuǎn)臺和直線電機運動，即擺線齒輪隨轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)的同時，控制系統(tǒng)按極徑ρi發(fā)出移動命令，控制測頭向理想測量點(φi,ρi)處移動．當被測齒輪旋轉(zhuǎn)到采樣角度φi時，測頭也同時移動到點ρi的位置．當圓光柵的計數(shù)值到達采樣值，即被測擺線齒輪旋轉(zhuǎn)到采樣角時，系統(tǒng)發(fā)出采樣信號，采集長光柵和測微裝置的示值．

采用上述跟蹤測量方案是為了減小測球磨損，并能防止測頭在運動中被卡死．在圖 2所示的微動裝置中，在其內(nèi)部彈性機構的作用下，球形測頭將以一定的壓力作用于旋轉(zhuǎn)運動的齒面上．由于被測齒廓與測球之間有相對運動，將造成測球的磨損，影響測量精度．為提高測量精度、減小測球的磨損，在測量過程中，測頭不依靠測頭與齒廓接觸點的徑向分力推動移動(由于齒輪的旋轉(zhuǎn)，在測頭與齒廓的接觸點將產(chǎn)生徑向分力)，而是由直線電機控制測頭主動向采樣點運動，這樣，使測頭與齒廓之間的接觸力減小，可在很大程度上避免(或減小)測球磨損．

3 跟蹤測量中采樣方式的確定

為了便于進行誤差分析及對修形量進行譜分析，測量時采用等嚙合相位角方式進行采樣．嚙合相位角就是生成擺線時，滾圓相對于基圓的轉(zhuǎn)角．嚙合相位角由0°轉(zhuǎn)到360°，生成一個齒廓的理論短幅外擺線；而擺線齒輪的齒廓是理論短幅外擺線的等距曲線．嚙合相位角能表征擺線齒廓與針齒的嚙合位置，所以，用等嚙合相位角發(fā)采樣信號比較合理．采用等嚙合相位角采樣時，其測量點在齒廓上的分布情況如圖3所示．

圖3 等嚙合相位角Hpφ采樣點分布情況Fig.3 Distribution of sampling points for interval epi- cycloid occurring-angleHpφ

從圖3中可以看出，采樣點在齒廓上的分布不均勻，從齒根到齒頂?shù)牟蓸舆^程中，測量點逐漸由疏變密，然后又由密變疏到齒根．對擺線齒輪來說，齒根、齒頂一般不參與嚙合，齒廓中部對傳動起主要作用．按照等嚙合相位角采樣，在齒廓中部的采樣點較密，可以更好地反映齒輪的誤差情況．所以，實驗采用等嚙合相位角采樣，每一齒的采樣點數(shù) N = 3 6．

采用等嚙合相位角φHp方式測量時，首先將參變量φHpi（i= 1 ,2,3,…）的值代入式(1)，計算對應各個采樣點的極角φi和極徑ρi值．為實現(xiàn)跟蹤測量，系統(tǒng)將根據(jù)采樣點的極角φi和極徑ρi值調(diào)整控制參數(shù)，使轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)與直線電機的運動速度匹配．總之，測量過程中，轉(zhuǎn)臺連續(xù)轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)控制直線電機向采樣點運動．對圓光柵進行連續(xù)計數(shù)，當計數(shù)值和采樣點的極角值相等時，發(fā)出采樣信號，采集長光柵、圓光柵和電感測頭的值；長光柵和電感測頭的值之和即為被測點所對應的極徑值．直線電機繼續(xù)向下一個采樣點運動，直到旋轉(zhuǎn)一周采集完整個齒廓上的點．根據(jù)這些值就可以算出齒輪各項誤差值．

4 擺線齒輪的修形方法

擺線齒輪與其他齒輪一樣，在嚙合運轉(zhuǎn)過程中，由于一些不可避免的制造誤差(齒距偏差、齒形偏差、偏心誤差等)、熱膨脹及彈性變形等原因，常有發(fā)生齒形干涉的可能，有了齒側間隙，就能有效地防止上述情況的發(fā)生．為了在傳動中形成嚙合側隙，在加工中就要將擺線齒輪的齒厚減?。當[線齒輪齒厚減薄是靠改變生成短幅外擺線等距曲線的參數(shù)來進行的．但齒厚減薄后，齒廓曲線就偏離了理論的短幅外擺線的等距曲線．通常把這種齒形稱為修正齒形，或稱為設計齒形．加工修正齒形的方法稱為齒形修正法[5]．在展成法加工中，通常采用的修正方法有移距修形法和等距修形法．

移距修形法在徑向方向的修形量相同，但是法線方向的修形量不一樣，在齒頂和齒根處的修形量大些，在齒廓中部的修形量小些，如圖4所示．

等距修形使得齒廓在法線方向的修形量相同．為了使擺線齒輪齒頂、齒根部位的修形量大于齒側面的修形量，采用“負移距加正等距”的修形方法．正等距修形是將加工用的砂輪圓弧半徑(相當于針齒半徑)加大，負移距修形是將砂輪向齒坯的中心方向移動．這樣擺線齒輪與針齒輪嚙合時，齒頂、齒根部位既有嚙合側隙，同時也不會發(fā)生干涉，有利于擺線齒輪的傳動，如圖5所示．

圖4 移距修形法Fig.4 Moved distance modification method

圖5 等距修形法Fig.5 Equidistance modification method

5 用傅里葉變換法求解擺線齒輪的修形量

擺線齒輪的檢測不僅是為了測量擺線齒輪的齒形誤差，更重要的是為了獲得實際修形參數(shù)及判斷加工時由于機床調(diào)整不當產(chǎn)生的調(diào)整誤差．把實際齒廓曲線修形量稱為實際作用值．由于等距修形和砂輪圓弧半徑修整誤差對齒側間隙的形成及對齒廓法向誤差的影響相似，為了便于分析，將兩者統(tǒng)稱為等效等距修形，用Δrrp表示．將移距修形和砂輪沿齒坯徑向進給誤差統(tǒng)稱為等效移距修形，用Δrp表示．現(xiàn)采用傅里葉變換的方法求修形量的作用值[6-7]．此值與設計者給定的修形量之差即為機床調(diào)整誤差．

擺線齒輪齒廓的法向誤差主要由等效等距修形、等效移距修形、偏心距調(diào)整誤差和機床傳動鏈誤差引起．文獻[6]利用傅里葉變換的方法，求解了擺線齒輪修形量．但經(jīng)過理論分析發(fā)現(xiàn)，誤差傳遞系數(shù)在頻域?qū)[線齒輪齒廓法向誤差的影響是周期性的，并且均為偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)的初相位為零，這些誤差傳遞系數(shù)見表1，Krrp、Krp、Ka分別為等距修形、移距修形和偏心距引起的誤差系數(shù)．

表1 各次諧波幅值的誤差傳遞系數(shù)Tab.1 Error transfer coefficients of second harmonic Tab. 1 amplitude

圖6為誤差傳遞系數(shù)曲線．結合圖6可以看出，等距修形量引起的誤差系數(shù)為-1．Krp為移距修形產(chǎn)生齒廓誤差的傳遞系數(shù)，它的變化為最上面的一條曲線，該曲線包含一個零次諧波系數(shù)[8]，其值為0.919，說明移距修形量 Δrp中有0.919Δ rp是等效于等距修形量．由于移距修形在齒頂和齒根處的修形量較大，在齒廓中部的修形值較小，且有兩個最小值，所以包含一個2次諧波，又由于其幅值不大，占的比重較小，所以系數(shù)為 0.045；同時還包含有3次諧波和4次諧波等．偏心距引起的誤差系數(shù) Ka比較大，在實際修形時，不采用偏心距修形，且在加工過程中，機床要精確調(diào)整偏心距，使其產(chǎn)生的齒形誤差最小，使偏心距引起的齒形誤差值盡量小，在計算修形量時，也同時計算出偏心距誤差，以便調(diào)整機床時再進一步減小它．

圖6 誤差傳遞系數(shù)曲線Fig.6 Error transfer coefficient curves

在頻域下，根據(jù)表1可構成方程式

式中 A0、A1、A2分別為擺線齒輪一個齒廓范圍內(nèi)的零次、1次、2次諧波分量．

將實驗中求得的整個齒廓上測得點的法向誤差進行傅里葉變換，求得各次諧波的幅值，將零次諧波、1倍齒頻次諧波和 2倍齒頻次諧波的幅值帶入式(2)，得到

解上述聯(lián)立方程，得到

6 結 語

文中詳細介紹了擺線齒輪的極坐標跟蹤測量技術．研究表明，采用該測量技術可以對擺線齒輪的齒廓進行高效率、連續(xù)自動跟蹤測量．通過對等嚙合相位角的采樣方式進行分析并進行相應的實驗，求解出擺線齒輪的修形量．采用傅里葉變換的方法求解修形量可以消除安裝偏心和機械傳動鏈中的 1次諧波誤差，減小了傳動鏈中其他各次諧波誤差的影響，計算出的測量值較符合實際情況．

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