隨機信號的Feller概率型算子逼近

宋占杰，葉培新

(1. 天津大學理學院，天津 300072；2. 南開大學數(shù)學學院，天津 300071)

眾所周知，前蘇聯(lián)數(shù)學家 Bernstein[1]于 1911年構造了著名的Bernstein多項式，即

從式(1)可以看出，采樣值所對應的核函數(shù)正好對應概率論中的二項分布．對于離散型隨機變量，概率論中有3個重要分布：二項分布(binomial distribution)、泊松分布(Poisson distribution)和負二項分布(negative binomial distribution). 這 3個概率分布分別于 1713、1837和 1654年給出，后來諸分布又都被數(shù)學家用來構造相應的多項式用于逼近確定性信號(函數(shù)).

首先，瑞士數(shù)學家 Bernoulli在 1713年出版了《猜算術》一書，介紹了著名的伯努利實驗.以獨立實驗為基礎，考慮每次實驗成功的概率為p，失敗的概率為 q =1- p，則進行n次實驗，成功 k ( k = 0 ,1,???,n)次的概率為

后來發(fā)現(xiàn)這正好對應二項式展開式，故稱為二項分布．法國數(shù)學家 Poisson于 1837年出版了他的概率著作[3]，首次給出了泊松分布，作為二項分布的近似，nPn→λ，事件發(fā)生k( k= 0 ,1,???)次的概率為

負二項分布發(fā)現(xiàn)實際上早一些.概率論創(chuàng)始人之一，法國數(shù)學家 Pascal于1654年前后研究楊輝三角(亦稱帕斯卡三角)，研究等到第 n ( n = k , k + 1,???)次實驗才成功k次的概率時發(fā)現(xiàn)了負二項分布，也正是這一工作引導牛頓發(fā)現(xiàn)了分數(shù)和負指數(shù)的函數(shù)二項展開式.但后來美籍匈牙利數(shù)學家 Polya進行過深入研究，因此負二項分布除了稱為 Pascal分布外，也稱為Polya分布.其分布率為

繼Bernstein利用二項分布構造Bernstein多項式之后，Mirakian于 1941年利用泊松分布構造 Szasz-Mirakian 算子[4]為

但是，Mirakian的思想長期未引起注意．1950年，匈牙利數(shù)學家 Szasz再次提出這一算子[5]，才引起世人的廣泛關注.

利用負二項分布構造算子出現(xiàn)更晚，1957年Baskakov才構造出Baskakov算子[6]，即

目前，世界各地研究這類算子的相關學術論文超過 2,000篇，許多結果發(fā)表在《Constructive Approximation》和《Journal of Approximation Theory》等國際著名的學術雜志．我國徐利治教授、郭竹瑞教授、郭順生教授和陳文忠教授等人都做出過很好的研究工作．特別是郭順生教授在 20世紀 80年代末將中心極限定理引入概率型算子逼近，得到了很好的逼近階[7-10]，推動了這一方向的發(fā)展．盡管 20世紀 80年代末小波分析出現(xiàn)之后，這類經(jīng)典概率型算子的研究有所降溫，國內(nèi)外許多學者轉入研究以小波分析為逼近工具的非線性逼近，但線性算子的逼近仍具有基礎性的作用．目前這類算子的各種變形算子的研究結果依然常見于國內(nèi)外一些有名的學術雜志[10-19].一個挑戰(zhàn)性的問題是如何將經(jīng)典的算子逼近理論與相關的新興學科交叉滲透從而為其發(fā)展提供新的增長點.筆者將試圖給出解決這類問題的一個途徑.

為了深入了解課程建設對于教學各方面的影響，我們選取了部分師生做了問卷調(diào)查，參與問卷的學生學習的課程中有的課程進行了課程資源建設，參與問卷的老師有課程建設的經(jīng)歷。問卷調(diào)查分析如下

1 Feller概率型算子與新型Feller概率型算子

在前人利用概率分布構造一些著名算子的基礎上，國際著名概率專家 Feller[20]在 1966年提出了一大類概率型算子，包含了上述各類算子.

定義 1假設 Xn(n ≥ 1) 是一列隨機變量列，其分布函數(shù)、數(shù)學期望和方差分別為 Fn,t(x)、E Xn=t和σn2( t)，其中 t為實連續(xù)參數(shù).對定義在實數(shù)范圍R上的連續(xù)函數(shù)f，稱

為一類特殊的 Feller算子.如果在式(8)中，Yi( i = 1 ,2,???)取概率論中3類常用分布，可得上述3類著名算子．

(1) 若 Y1服從參數(shù)為 t(0 ≤ t≤1)的0-1分布，即P( Y1= 1 )=1 - P ( Y1= 0 ) = t , 則 Zn服從二項分布，可以得到著名的Bernstein算子．

(2) 若 Y1服從參數(shù)為 t( t ≥ 0 )的 Poisson分布，即P( Y = k ) = ,k = 0 ,1,??,則 Z 服從參數(shù)為 nt的Poisson分布，于是可得著名的Szasz-Mirakian算子．

(3) 若 Y1服從參數(shù)為 t(0 ≤ t≤1)的幾何分布，即P( Y1= k ) = t ( 1 - t )k,k = 0 ,1,???,則 Zn服從參數(shù)為t的負二項分布，可得著名的Baskakov算子.

命題1[21]若在式(7)中，(t) = 0 ,對任何連續(xù)有界的函數(shù) f , Ln(f, t) → f( t)；而且若σn2( t )→0是一致的，f ( t)是一致連續(xù)的，則 Ln(f, t)也一致收斂于f( t).

由此可得類似控制收斂定理的結論.

命題 2(Khan[21]，引理 2)若在式(7)中，σn2(t)≤g( t), g( t)是關于分布函數(shù) G ( t)可積的，命題 1條件成立，則有對任何連續(xù)有界的函數(shù) f , Ln(f, t)→f( t)；而且若σn2( t) → 0 是一致的，f ( t)是一致連續(xù)的，則 Ln(f, t)也一致收斂于 f ( t).

此外，對任何連續(xù)有界的函數(shù) f ( x)，前蘇聯(lián)數(shù)學家Korovkin[22]在1959年也曾給出一個重要的結果.

命題 3(Korovkin[22])若正線性算子列 Sn:C [ a,b ] → M [ a , b]([a , b]上有界實函數(shù)空間)滿足

且對 t ∈[a , b]一致成立，f∈M( R)，則

顯然，Korovkin給出的算子包含了前言介紹的若干經(jīng)典概率型算子.

從Bernstein構造著名的Bernstein多項式開始，長達近一個世紀從事逼近論研究的數(shù)學家們僅僅是考慮用各類算子來逼近確定性信號 ()F x，很少有人考慮用算子逼近隨機過程 ()X t．2000年，Pogany[23]意識到這項工作是可行的，至今沒有引起廣泛注意.2006年，Kowalski[24]建立了 Bernstein多項式與布朗運動的聯(lián)系，但 Kowalski當時并未意識到有一大類算子可以逼近布朗運動和其他二階矩過程．另外，由于布朗運動在物理學、金融分析等諸多領域有廣泛的應用背景，同時在有限時間內(nèi)布朗運動是特殊的二階矩過程，因此筆者如下構造Feller-Random算子，以逼近二階矩過程 ()X t是有意義的.

定義2假設 Xn(n ≥ 1) 是一列隨機變量列，其分布函數(shù)、數(shù)學期望和方差分別為 Fn,t(t*)、E Xn=t和( t)，其中 t為實連續(xù)參數(shù)．對定義在實數(shù)范圍R上的均方連續(xù)二階矩過程 X ( t,ω)，若廣義均方積分

均方收斂，稱 Tn( X( t*,ω);t)為Feller-Random算子．

此外，對于均方連續(xù)二階矩過程，下述均方可積準則成立．

命題 4設 f ( t)是[a , b]上的連續(xù)函數(shù)，X ( t,ω)在[a , b]均方連續(xù)，則 f ( t) X( t)在[a , b]均方可積，且

2 主要結果及其證明

由于對上述任意0ε＞，δ和*M 都是定值，利用命題4和傅比尼定理，有

3 結 語

二階矩過程是一類重要的隨機過程，在物理學、生物學、通信與控制、系統(tǒng)工程與管理科學等方面都有廣泛的應用．研究二階矩過程模擬、分解、重構和逼近有一定的理論意義和應用價值．本文的研究結果表明，均方連續(xù)二階矩過程可以由一大類概率型算子逼近在理論上是可行的，Kowalski[24]得到的第1個結論屬于本文特例．在不遠的將來，利用經(jīng)典概率型算子的分析技巧去研究隨機過程的逼近問題，將會是一個新的發(fā)展方向．

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