均勻圓陣來波方向估計的解模糊算法

冷 文，王安國

(天津大學電子信息工程學院，天津 300072)

平面陣天線與線陣天線相比，在測向方面有許多優(yōu)異之處[1]，可以同時估計來波方向(direction of arrival，DOA)的方位角和俯仰角，而且方位角估計范圍相比線陣要擴大很多．均勻圓陣是一種典型的平面陣，其陣元均勻分布在一個圓周上，由于其結(jié)構(gòu)特點使其在任何方向都具有近似相同的估計精度和分辨率[2]．

正如線陣天線在測向時由于陣元間距大于半波長導致測向模糊一樣[3]，均勻圓陣天線也存在同樣的問題．而從提高天線陣測向精度和減小陣元間互耦考慮，在天線設計時希望天線陣的孔徑盡可能的大，因此通過天線陣調(diào)整解決大半徑均勻圓陣天線測向模糊的研究在實際應用中具有非常重要的意義．

筆者首先從導向矢量的角度研究造成模糊現(xiàn)象的原因；然后從修正導向矢量入手，以四元和六元均勻圓陣為模型，通過調(diào)整陣元位置的方法修改均勻圓陣的導向矢量，打破在大半徑情況下 DOA估計中由真實角度和虛假角度形成的導向矢量完全相同的平衡，利用這個結(jié)果極大地抑制了模糊現(xiàn)象對應的偽峰幅度，提高了來波方向估計的精確度；最后通過引入虛擬陣列變換方法解決了上述算法必須修改現(xiàn)有圓陣結(jié)構(gòu)的缺陷．

1 大半徑均勻圓陣 DOA估計中真實角度和虛假角度的關系

對于圓陣天線，設陣元數(shù)為M，各個陣元的位置可以用極坐標形式表示為(ri,θi) ，i＝1，2，…，M，其中ri為該陣元到參考原點的距離，θi為與X軸正向的夾角，因此圓陣天線的導向矢量可以寫為

式中：λ為入射信號源波長；ψ為入射方位角；φ為入射俯仰角．

由于復指數(shù)函數(shù) ejμ對于μ具有以2π為周期的周期性[4-5]，因此對于一個確定的a(θ)，不一定保證信號方向估計的唯一性，即存在模糊現(xiàn)象．而模糊的定義是除了真實的入射角度以外還存在 1個或多個虛假的入射角度，而真實角度和虛假角度形成的導向矢量相同[6]，即

式中：ψ和φ為真實的方位角和俯仰角；fψ和fφ為可能虛假的方位角和俯仰角．

導向矢量相同也就代表著該矢量的各個分量相同，即

式中：μi為真實矢量的分量；μif為可能的虛假矢量的分量；i = 1 ,2,… ,M ；Ki為整數(shù)(含負整數(shù)、零和正整數(shù))．將式(4)按照式(2)的定義展開化簡后得到真實角度和可能的虛假角度之間的關系表達式為

2 均勻圓陣抑制偽峰的原理介紹

根據(jù)文獻[7]的分析結(jié)論，均勻圓陣在半徑一定的條件下，陣元數(shù)越多出現(xiàn)來波估計模糊的可能性越小，并且估計模糊主要集中在四元和六元圓陣的一階模糊，此時對于來波方向估計精度的影響最大，而其他陣元數(shù)的均勻圓陣由于主要是二階模糊，對于來波方向估計精度影響較小，因此本文主要分析、介紹四元和六元圓陣模糊現(xiàn)象的抑制過程．

六元均勻圓陣見圖 1(a)，半徑為r，結(jié)合每個陣元的特點，式(5)可以展開得到式(6)[8-9]．

圖1 兩種不同的六元圓陣Fig.1 Two different six-elements circle arrays

顯然，真實的方位角和俯仰角等于估計的方位角和俯仰角，沒有模糊現(xiàn)象出現(xiàn)．

ψ和φ有可能與φf和ψf不相等，出現(xiàn)模糊現(xiàn)象．

針對這種情況，可以考慮在六元均勻圓陣中調(diào)整某個陣元，見圖 1(b)中的陣元 1，該陣元半徑為1r，新位置的陣元和原陣元與X軸夾角的偏差為Δθ1，式(6)改寫為

根據(jù)式(9)中 K2=-K5及K3=- K6的特點，將式(9)化簡展開得到

在半徑 r大于半波長情況下，K2～K6在滿足|Ki|＜2r/λ條件下都有可能為非0值，如果要實現(xiàn)無模糊估計，而 K1′又必須為整數(shù)，就要求

在此限定Δθ1的變換范圍在相鄰兩個陣元之間，即±60°，因此半徑r1和偏角Δθ1相互配合可以保證K1′只能取值為0才可以保證式(12)的成立．如當Δθ1為0°或為 60°，即新陣元沒有偏移角度或者新陣元調(diào)整到與相鄰下方陣元相同方向位置的時候，可以用r1=(1/2)λ來抑制模糊；而當 Δθ1為-60°，即陣元調(diào)整到與相鄰上方陣元相同方向的位置，則可以用r1= ( 1/4)λ來抑制模糊．其他角度時，則半徑 r1的調(diào)整范圍界于上述范圍之內(nèi)．

四元均勻圓陣的分析過程與六元均勻圓陣類似，在此省略，僅對以四元均勻圓陣為例的陣元調(diào)整位置的影響結(jié)果加以說明．參照式(11)～(13)的推導，可以得出在四元均勻圓陣中的對應結(jié)果為

式中：r1為調(diào)整陣元的有效半徑；1θΔ為該調(diào)整陣元調(diào)整后與原陣元的角度偏移量．半徑r1和偏角1θΔ相互配合可以實現(xiàn)在四元均勻圓陣中對模糊現(xiàn)象的抑制．

3 算法驗證

設定四元均勻圓陣半徑為 2倍波長，信噪比20,dB，入射方位角40°，俯仰角60°，真實角度估計結(jié)果為(40°，60°，65.13,dB)，而陣元調(diào)整包括調(diào)整半徑和偏移角度，測試結(jié)果見表 1．從結(jié)果可以看出通過陣元調(diào)整、修改有效半徑和偏移角度可以實現(xiàn)偽峰的大幅度消減．

表1 不同陣元調(diào)整結(jié)果比較Tab.1 Comparison of the results with the different element adjustments

針對該算法的普適性，本文進行了驗證．設六元均勻圓陣半徑為 2倍波長，信噪比 10,dB，調(diào)整的陣元與圓陣圓心的半徑為 0.2倍波長，偏移角度 0°．為了驗證上述算法，針對不同入射角度的廣泛有效性，將信號源入射方位角設定為 0°～180°變化，俯仰角為 0°～90°變化，計算每個入射角度對應估計的真實角度峰值與最大偽峰峰值之差，結(jié)果顯示在圖 2．其中兩個平面坐標是入射方位角和俯仰角，間隔為 5°，Z軸坐標是以分貝表示的估計真實角度峰值與最大偽峰峰值的差，重復計算次數(shù)為 50次．圖 2顯示最小的峰值差為 35 dB，因此從仿真結(jié)果上看該算法具有廣泛有效性，可以極大地提高DOA估計精度．

圖2 陣元調(diào)整普適性分析結(jié)果Fig.2 Analysis result for universal of element adjustment

4 虛擬陣列變換方法的實現(xiàn)

上述算法對于均勻圓陣的設計提出了調(diào)整天線陣元的要求，在現(xiàn)有天線陣列結(jié)構(gòu)的基礎上調(diào)整天線陣元增加了設計復雜度，同時也會降低由大半徑帶來的提高天線有效孔徑、降低天線陣元間互耦等特性．針對上述算法在設計實現(xiàn)方面的缺陷，本文引入虛擬陣列變換方法將真實圓陣(圖 1(a))轉(zhuǎn)換為對應的虛擬陣列(圖1(b))．

通過虛擬陣列變換進行來波方向估計，已有許多論述[10-12]．利用這種變換方法可實現(xiàn)將任意陣列變換成等距均勻線陣或其他具有相同結(jié)構(gòu)的陣列，然后基于變換后的陣列進行信號處理．而虛擬陣列變換最主要的性能指標是變換誤差和變換區(qū)域長度[7-8]．變換誤差直接影響到估計的精度和分辨率，變換誤差表示為

式中：B為變換矩陣；A(θ)為真實陣列的陣列流型；(θ)為虛擬陣列的陣列流型表示計算 Frobenius范數(shù)．

變換區(qū)域是指計算變換矩陣B的區(qū)域范圍．變換區(qū)域的長度越小，在區(qū)域內(nèi)的變換誤差越小．但是由于需要在每個變換區(qū)域內(nèi)進行數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值求解和角度掃描，因此變換區(qū)域過小會造成運算量大幅度增加，直接影響到來波方向估計的實時性能．

從式(15)可以看出，變換誤差是跟真實陣列和虛擬陣列之間差異的大小有關，當兩個陣列的差異非常大時，變換誤差也很大，而圖 1(a)所示的真實陣列與所對應的虛擬陣列圖 1(b)的唯一差異就是虛擬陣列將真實陣列的一個陣元調(diào)整到接近中心的位置．圖 3是圖1中真實陣列和變換后的虛擬陣列的變換誤差，俯仰角和方位角的變換區(qū)域均為 0°～30°．從結(jié)果可以看出由于只調(diào)整某個陣元接近中心，陣列結(jié)構(gòu)變化不大，相對于文獻[6]中列舉案例的變換誤差，該變換帶來的變換誤差比較?。?/p>

圖3 圖1(a)到圖1(b)的變換誤差Fig.3 Transformation error from Fig.1(a) to Fig.1(b)

表 2是對表 1中陣元調(diào)整結(jié)果采用虛擬陣列變換后進行估計的結(jié)果．從中可以看出由于虛擬陣列誤差的引入最大的偽峰大于表1對應的最大偽峰，但考慮到表 1案例的俯仰角和方位角都屬于 0°～30°變換區(qū)域以外的變換誤差較大區(qū)域，而得到的最大偽峰與真實角度估計結(jié)果的峰值差依然高于 20,dB，因此采用虛擬陣列變換的輔助方法是可行的．

表2 不同陣元調(diào)整后采用虛擬陣列變換后的結(jié)果比較Tab.2 Comparison of the results by the virtual array transformation after the different element adjustments

5 結(jié) 語

本文分析了均勻圓陣DOA估計出現(xiàn)模糊現(xiàn)象的原因，在此基礎上提出了通過對四元和六元均勻圓陣的簡單調(diào)整來修正導向矢量的方法改善模糊現(xiàn)象、抑制偽峰的算法．而調(diào)整陣元的天線設計要求還可以通過虛擬陣列變換的輔助方法來完成，并保持了較高的最大偽峰和真實峰值差．由于解決了陣元大間距的問題，這種算法為今后針對偽峰抑制的平面陣天線設計目標提供了一種新的思路．

該算法的缺陷是對二維入射角來波估計采用虛擬陣列方法需要進行的轉(zhuǎn)換矩陣運算比較復雜．

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