通訊網(wǎng)絡(luò)中二維群體運(yùn)動(dòng)的一致性

許真錚，王隔霞

（上海電力學(xué)院數(shù)理學(xué)院，上海 201300）

近年來，群體運(yùn)動(dòng)的研究受到廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)［1］研究了在切換通訊網(wǎng)絡(luò)連接方式下一維動(dòng)力學(xué)個(gè)體的一致性;文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［3］研究了在固定通訊網(wǎng)絡(luò)連接方式下一維動(dòng)力學(xué)個(gè)體運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.由于這些研究中個(gè)體的位置變量和速度變量均為一維情形，其結(jié)論不能推廣到二維，因此筆者對(duì)通訊網(wǎng)絡(luò)中二維群體運(yùn)動(dòng)的一致性問題進(jìn)行了進(jìn)一步的研究.

筆者將個(gè)體運(yùn)動(dòng)虛擬為二維的動(dòng)力學(xué)行為，并考慮其在固定通訊網(wǎng)絡(luò)連接下群體運(yùn)動(dòng)的一致性，同時(shí)考慮到外部環(huán)境對(duì)速度的反饋控制和相鄰個(gè)體間的相互影響，發(fā)現(xiàn)二維群體運(yùn)動(dòng)的最終位置和速度的一致性與一維并不相同.在二維系統(tǒng)中，個(gè)體運(yùn)動(dòng)速度最終趨于零，且位置集中于某一點(diǎn).

對(duì)動(dòng)力學(xué)個(gè)體的群體運(yùn)動(dòng)研究有利于理解自然與社會(huì)中的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)：一方面能更好地揭示自然秘密，理解社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的規(guī)律;另一方面，可促進(jìn)其他領(lǐng)域科學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展，督促人們不斷完善和發(fā)展新技術(shù)［4-6］.因此，對(duì)其進(jìn)行透徹詳細(xì)的研究十分必要.

1 數(shù)學(xué)模型的建立

由M個(gè)二維動(dòng)力學(xué)個(gè)體組成一類動(dòng)態(tài)群體，個(gè)體與個(gè)體交流的通訊網(wǎng)絡(luò)由一個(gè)無向圖G= （V，A）表示［7-10］，圖中的頂點(diǎn)Pi代表群體的第i個(gè)個(gè)體，由于無向圖中的邊eij∈ε，說明個(gè)體Pi與個(gè)體Pj之間有信息交換.設(shè)這類群體中的個(gè)體Pi具有相同的動(dòng)力學(xué)特征，用xi=（xi1，xi2）T∈R2表示個(gè)體Pi的位置狀態(tài)，vi=（vi1，vi2）∈R2表示個(gè)體Pi的速度狀態(tài)，則其動(dòng)力學(xué)方程表示為：

文獻(xiàn)［1］中，每個(gè)個(gè)體的位置和速度都是一維的，但在本文中將其看成二維，并作平面運(yùn)動(dòng)，也符合實(shí)際情況.雖然從式（1）來看與一維的形式一樣，但由于反饋K中有了耦合項(xiàng)，其結(jié)果將與一維不同.

引理1具有M個(gè)頂點(diǎn)的無向圖G連通時(shí)，有如下性質(zhì)［3］：

定義如果常向量x0=（x01，x02）T∈R2，控制反饋K滿足

多個(gè)個(gè)體形成的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的整體表示如下.

引理2 M個(gè)二維動(dòng)力學(xué)個(gè)體按照式（1）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在圖G=（V，A）連接下的動(dòng)力學(xué)行為可表示為：

式中，φ=IM?（A+BK）－LG?BF，而LG是圖G= （V，A）的Lapalicain矩陣.

證明由式（1）可知：

2 一致性的證明

針對(duì)式（2）中的矩陣φ我們有如下引理.

證明根據(jù)直積運(yùn)算性質(zhì)可得：

引理4當(dāng)圖G=（V，A）連通時(shí)，存在正交矩陣WG∈RM×M，使得（W－1G?I4）φ（WG?I4）為對(duì)角塊矩陣.

證明因?yàn)樵搱D是無向圖，即aij=aji，從而矩陣LG為對(duì)稱矩陣.

由引理1可知，rank（LG）=M－1，并且LG有特征值0=λ1＜λ2≤λ3≤…≤λM.

由對(duì)稱矩陣必可正交對(duì)角化知，存在這樣的正交陣WG∈RM×M，使得：

證畢.

下面要說明對(duì)于上述連通圖，存在公共的反饋K，使得（W－1G?I4）φ（WG?I4）為Hurwitz穩(wěn)定.

引理5當(dāng)反饋K同時(shí)滿足k11+k22＜0和k11k22－k21k12＞0時(shí)，對(duì)于任意的連通圖G=（V，A），矩陣（W－1G?I4）φ（WG?I4）的特征值除去兩個(gè)一階的零特征值之外全小于零.

證明由式（6）可知，當(dāng)i=1時(shí)，

由引理5及相似矩陣特征值相同可知，φ的特征值也具備除去兩個(gè)一階的零特征值之外全小于零的性質(zhì).

證明根據(jù)上述性質(zhì)，對(duì)于此反饋K有：設(shè)J是φ的Jordan塊，則存在矩陣S∈R4M×4M，使

同理可計(jì)算出φ（WG?I4）S的前兩列為04M×2，故（WG?I4）S的前兩列可選為wrd，其中d為待定矩陣.

定理1表明，當(dāng)個(gè)體的位置變量選為二維時(shí)，其最終位置不但與初始位置有關(guān)，而且與反饋有關(guān).這與一維不同，在一維情形下，最終位置只與其初始位置有關(guān)，與反饋無關(guān).

3 數(shù)值仿真

現(xiàn)在考慮由6個(gè)個(gè)體形成的二維切換網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其個(gè)體相互間的關(guān)系如圖1所示.

圖1 二維網(wǎng)絡(luò)下個(gè)體通訊交流的連接關(guān)系

群體運(yùn)動(dòng)的二維位置軌跡與速度軌跡如圖2所示.

圖2 群體運(yùn)動(dòng)的二維位置軌跡和二維速度軌跡

群體運(yùn)動(dòng)的二維位置分量1和位置分量2關(guān)于時(shí)間的變化軌跡見圖3和圖4.

圖3 位置分量1關(guān)于時(shí)間的變化軌跡

圖4 位置分量2關(guān)于時(shí)間的變化軌跡

圖5 速度分量1關(guān)于時(shí)間的變化軌跡

圖6 速度分量2關(guān)于時(shí)間的變化軌跡

由推導(dǎo)后的公式可得：

比較后發(fā)現(xiàn)，計(jì)算數(shù)值與模擬所得的結(jié)果相一致.

4 結(jié)論

（1）群體行為在固定網(wǎng)絡(luò)下具有一致性;

（2）大多數(shù)的二維動(dòng)力學(xué)個(gè)體都符合動(dòng)力學(xué)方程，其運(yùn)動(dòng)的速度為位移的導(dǎo)數(shù)，所受力的大小和方向由自身速度和鄰居個(gè)體的速度對(duì)自身的反饋決定;

（3）二維動(dòng)力學(xué)個(gè)體最終會(huì)達(dá)到速度趨于零，位置集中于某一點(diǎn)的狀態(tài).

［1］XIE G，WANG L.Consensus control for a classof networksof dynamic agents：Switching Topology［C］//Proceedings of the 2006 American Control Conference Minneapolis，2006： 1 382-1 387.

［2］XIE G，WANG L.Consensus control for a classof networksof dynamic agents：fixed Topology［C］//Proceedings of the44ThIEEE Conference on Decision and Control，2005：96-101.

［3］余宏旺.通訊網(wǎng)絡(luò)下群體的動(dòng)力學(xué)行為［M］.上海：上海大學(xué)出版社，2008：12-23.

［4］BOABEAU E，DORIGOM，THERAULAZG.Swarm intelligence：from natural to artificial systems［M］.Oxford：Oxford University Press，1999：53-94.

［5］KENNEDY J，EBERHARTR C，SHIY.Swarm intelligence［M］.San Francisco：Morgan Kaufmann Publishers，2001： 24-75.

［6］楚天廣，楊正東，鄧魁英，等.群體動(dòng)力學(xué)與協(xié)調(diào)控制研究中的若干問題［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，27（1）：86-93.

［7］REYNOLDSC.Flocks，birds and schools：a distributed behavioralmodel［J］.Computer Graphics，1987（1）：25-34.

［8］WANG L，XIE G.Consensus control for a class of networks of dynamic agents［J］.Int.J.Robust Nonlinear Control，2007，17（10-11）：941-959.

［9］MU S，CHU T，WANG L.Coordinated collectivemotion in a motile particle group with a leader［J］.Physica A，2005（2-4）：211-226.

［10］HONG Y，GAO L，CHENG D，et al.Lyapunov-based approach to multiagent systems with switching jointly connected interconnection［J］.IEEE Trans.Autom.Control，2007，52 （5）：943-948.

［11］HU J，HONG Y.Leader-following coordination ofmultiagent systemswith coupling time delays［J］.Physica A，2007（2）： 853-863.

［12］SABER RO，MURRAY R M.Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays［J］.IEEE Trans.Automat.Contr.，2004，49（9）：1 520-1 533.

［13］GODSIL G，ROYLE G.Algebraic graph theory［M］.New York：Springer-Verlag，2001：45-101.

（編輯蘇娟）