高等代數(shù)中一道習(xí)題的不同解法

高 英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院代數(shù)與幾何教研室，重慶 400047)

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程,其特點(diǎn)是抽象嚴(yán)謹(jǐn),解題方法又靈活多變。因此,如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在做題的過程中自覺的體會(huì)總結(jié)，運(yùn)用本課中常用的方法，并聯(lián)系所學(xué)知識(shí)和已證明的習(xí)題，就顯得尤為重要。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1：在n維歐氏空間中，由n個(gè)向量組成的正交向量組稱為正交基；由單位向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。

引理1：n維歐氏空間的子空間V1的正交補(bǔ)V1┷由所有與V1正交的向量組成。

引理2：在歐氏空間中必存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。

引理3：(線性映射的維數(shù)公式)設(shè)σ是線性空間V到線性空間V1的線性映射，則σ的像空間的維數(shù)+σ的核空間的維數(shù)=dimV.即σ的秩+σ的零度=dimV。

2 主要結(jié)果

教材[1]的習(xí)題中有如下一道題：

設(shè)V是n維歐氏空間，α≠0是V中的一個(gè)固定向量,

(1) 證明：V1={x/（x，α）=0，x綴V}是 V 的子空間；

(2)證明：V1的維數(shù)等于n-1。

問題(1)的證明一般情況下就用子空間的定義證明即可，即對(duì)數(shù)乘和加法運(yùn)算封閉。下面主要給出問題(2)的不同證明方法。

證法1:為證明結(jié)論首先證明V1是L（α）(表示由向量α生成的子空間)的正交補(bǔ)。

事實(shí)上，由引理 1 可知 L（a）┷={x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}，而容易證明：{x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}=V1。

從而 L（α）┷=V1，所以 V=V1+L（α）=V1L（α），因此,由直和的判定定理可知 n=dinV=dimV1=dimL（α）=dimV1+1。

這表明dimV1=n-1

證法2：由引理2可知任意歐氏空間必存在標(biāo)準(zhǔn)正交基，故不妨設(shè) α1，Λ，αn為 V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 設(shè) α=k1α1+Λ+knαn，其中 k1，Λ，kn∈R 則對(duì)坌β=x1α1+Λ+xnαn∈V1，其中 x1，Λ，xn∈R,由α1，Λ，αn為 V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基可知（α，β）=x1k1+Λ+xnkn=0.因此,線性方程組 x1k1+Λ+xnkn=0的解就是 V1中的向量在 α1，Λ，αn下的坐標(biāo)向量，其解空間的維數(shù)就是V1的維數(shù)。因?yàn)棣痢?，故（k1，Λ，kn）≠0，從而 x1k1+Λ+xnkn=0 的解空間的維數(shù)為 n-1，即dimV1=n-1。

證法3：考慮實(shí)數(shù)集R按數(shù)的加法和數(shù)乘在實(shí)數(shù)域R上構(gòu)成的的線性空間，定義映射 σ：V→R 為 σ（x）=（x，α），坌x∈V，則易驗(yàn)證 σ 是線性映射，σ 的核空間就是 V1{x/σ（x）=（x，α）=0，x∈R}，σ的像空間為R。由線性映射的維數(shù)公式有：σ的核空間的維數(shù)+σ的像空間的維數(shù)=dimV=n，而σ的像空間的維數(shù)=dimR=1,故的核空間的維數(shù)=dimV1=n-1，故結(jié)論成立。

3 結(jié)語

以上利用不同的方法給出了一道習(xí)題最終將班集體建設(shè)成為和諧、民主、祥和的大家庭。

4 因人制宜，因材施教

想要更好的提高班級(jí)管理工作質(zhì)量，就必須深入了解學(xué)生內(nèi)心需要，了解每一位學(xué)生的家庭狀況以及社會(huì)交往情況，針對(duì)每位學(xué)生的特長、愛好、性格等建立一套完整的個(gè)人檔案，并隨時(shí)觀察每位學(xué)生的學(xué)情狀態(tài)，為他們分別制定合適的教學(xué)目標(biāo)，必要時(shí)開展個(gè)別教育。在具體教學(xué)中，教師要全方位看待學(xué)生，不要僅僅看到學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)或缺點(diǎn)，要根據(jù)“尺有所短、寸有所長”的原則，看到學(xué)生身上的閃光點(diǎn)，比如有的學(xué)生比較自信；有的學(xué)生集體觀念較強(qiáng)；有的學(xué)生心態(tài)很好；還有的學(xué)生具有堅(jiān)強(qiáng)的意志等。但是人無完人，每位學(xué)生身上不可避免的存在一定缺陷，如心理素質(zhì)較差、容易自大或自負(fù)、自控能力差、組織紀(jì)律性不強(qiáng)等。班主任教師不能只看到優(yōu)等生的優(yōu)點(diǎn)，后進(jìn)生的缺陷，否則，只能使后進(jìn)生產(chǎn)生逆反心理，加深了他們的自卑心態(tài)，很有可能會(huì)從此一蹶不振。因此，班主任教師要因材施教、因人制宜，注重發(fā)揮學(xué)生的優(yōu)勢，幫助學(xué)生改善自身的缺點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生身心的健康發(fā)展，提高班級(jí)團(tuán)隊(duì)的整體素質(zhì)。

5 堅(jiān)持“以人為本”的科學(xué)發(fā)展觀

班主任教師要轉(zhuǎn)變自身的教育理念，尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，看到存在于學(xué)生身上的個(gè)體差異，認(rèn)識(shí)到個(gè)體差異的不同造就了他們不同的思維方式與接受能力，根據(jù)他們喜好、習(xí)慣的不同，采取個(gè)別交談的方式對(duì)他們進(jìn)行思想教育。要知道，學(xué)生是一個(gè)個(gè)鮮活獨(dú)立的個(gè)體，并不是工廠按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品，因此，班主任教師除了要對(duì)學(xué)生進(jìn)行共性教育以外，還應(yīng)該特別注重學(xué)生之間的個(gè)體差異性，運(yùn)用感情疏導(dǎo)、誠懇交談等方式，站在朋友的立場上為學(xué)生排憂解難，盡量遵循“表揚(yáng)與啟發(fā)并用”的原則，讓學(xué)生理解班主任話語的弦外之音，感受到班主任的一番苦心。這種方式不但有利于化解所有問題與矛盾，還有助于增進(jìn)學(xué)生與教師之間的感情。

總而言之，在當(dāng)今社會(huì)科技發(fā)展日新月異的背景下，班主任教師也要不斷提高自身道德修多樣與專業(yè)水平，以適應(yīng)新社會(huì)對(duì)教師的更高要求，順利歷史發(fā)展潮流。作為班主任教師，要肩負(fù)起社會(huì)賦予的重要使命，不斷改進(jìn)教學(xué)方法、提高自身綜合素質(zhì)、了解學(xué)生心理狀況，采取因材施教、因人制宜的管理方式，樹立教書與育人共進(jìn)的教學(xué)理念，注重調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性、主動(dòng)性與創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)精神，全面提高高職學(xué)生的綜合能力，為其將來的順利就業(yè)奠定基礎(chǔ)。

[1]邵嫻.淺談高職班主任的工作藝術(shù)[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)(學(xué)科版)，2009，(1).

[2]邊巍.高職班主任工作的幾點(diǎn)體會(huì)[J].科技信息，2009，(35).

[3]臧健.做好高職班主任的幾點(diǎn)體會(huì)[J].職業(yè)技術(shù)，2006，(18).