關(guān)于?－可補(bǔ)子群的一個(gè)注記

張雪梅，李長(zhǎng)穩(wěn)

（1鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)部，鹽城224003；2徐州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，徐州，221116）

關(guān)于?－可補(bǔ)子群的一個(gè)注記

張雪梅1，李長(zhǎng)穩(wěn)2

（1鹽城工學(xué)院基礎(chǔ)部，鹽城224003；2徐州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，徐州，221116）

設(shè)G是一個(gè)有限群，F(xiàn)是一個(gè)群系，稱群G的一個(gè)子群H 在G中F－可補(bǔ)的，如果存在G的一個(gè)子群T，使得G＝HT且（H ∩T ）HG／HG包含在G／HG的F－超中心Z∞F（G／HG），利用F－可補(bǔ)子群研究有限群的p－冪零性，推廣和統(tǒng)一了一些已知的結(jié)果。

F－可補(bǔ)子群；p－冪零性；Sylow子群

本文中所有的群都是有限群。群G的一個(gè)子群H稱為在G中可補(bǔ)充的，如果存在G的子群T，使得G＝HT。近年來，許多學(xué)者利用特殊的補(bǔ)子群獲得了可解群和超可解群方面的大量成果，如王燕鳴引入的c－正規(guī)子群［1］和c－可補(bǔ)子群［2］；2007年lsheik Ahmad A Y A［3］等給出的UC－正規(guī)子群作為上述一系列子群的推廣，郭文彬［4］又提出了F－可補(bǔ)子群。

利用F－可補(bǔ)子群的特性，文獻(xiàn)［4］中給出了一個(gè)群屬于給定的群系的若干判別準(zhǔn)則。本文在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對(duì)F－可補(bǔ)子群對(duì)p－冪零群的影響作一些探討。

本文主要利用Sylow子群的極大子群的F－可補(bǔ)性給出了有限p－冪零群的一個(gè)新的判別準(zhǔn)則，同時(shí)推廣到商群中去。由于F－可補(bǔ)子群比c－正規(guī)子群以及c－可補(bǔ)子群弱，本文的研究結(jié)果包含了前人在p－冪零群方面的一些研究工作，而且改進(jìn)了他們的證明方法和技巧。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)F是一個(gè)群系。如果G有一個(gè)子群K∈F，使得G＝HK，則稱H在G中有F補(bǔ)充T。

定義2［4］稱群G的一個(gè)子群H在G中F－可補(bǔ)的，如果存在G的一個(gè)子群T，使得G＝HT且（H ∩T）HG／HG≤∞F（G／HG）。

引理1［4］設(shè)G是一個(gè)群，H≤K≤G，則下列斷言成立：

（1）如果H在G中F－可補(bǔ)且F是子群閉的，則H在K中F－可補(bǔ)；

（2）如果H?G，則K在G中F－可補(bǔ)當(dāng)且僅當(dāng)K／H在G／H中F－可補(bǔ)；

（3）如果H?G，則對(duì)于每個(gè)在G中F－可補(bǔ)的且滿足（｜H｜，｜E｜）＝1的子群E，有EH／H 在G／H 中F－可補(bǔ)。

引理2 設(shè)F是群系，H在G中有F補(bǔ)充。

（1）如果N?G，則HN／N在G／N中有F補(bǔ)充。

（2）如果H≤K≤G且F是子群閉的，則H在K中有F補(bǔ)充。

引理3［5］設(shè)G是一個(gè)有限群，p是一個(gè)素?cái)?shù)，滿足（｜G｜，p－1）＝1。

（1）如果G有一個(gè)循環(huán)Sylow p－子群，則G是p－冪零群。

（2）如果N是G的階為p的正規(guī)子群，則N≤Z（G）。

引理4［6］設(shè)G是一個(gè)有限群，p是一個(gè)素?cái)?shù)，滿足（｜G｜，p－1）＝1。如果P的每個(gè)極大子群在G有p－冪零補(bǔ)充，則G是p－冪零群。

引理5［7］設(shè)G是一個(gè)有限群，p是一個(gè)素?cái)?shù)。如果G有一個(gè)極大子群M和一個(gè)正規(guī)p－群P滿足G＝PM，則P∩M是G的正規(guī)子群。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)F是所有p－冪零群構(gòu)成的群系，p為群G的階的素因子且滿足（｜G｜，p－1）＝1。如果G的Sylow p－子群P的所有在G中沒有p－冪零補(bǔ)充的極大子群在G中F－可補(bǔ)，則G是p－冪零群。

證明：假設(shè)定理不成立，G為極小階反例。

（1）Op′（G）＝1。

假設(shè)Op′（G）≠1。

因?yàn)镻是G的Sylow p－子群，所以有POp′（G）／Op′（G）是G／Op′（G）的Sylow p－子群。如果｜POp′（G）／Op′（G）｜≤p，則由引理3，G／Op′（G）是p－冪零的，從而G是p－冪零的，矛盾。

因此，可設(shè)｜POp′（G）／Op′（G）｜＞p。

設(shè) M1／Op′（G）是 POp′（G）／Op′（G）的任一極大子群，則

M1＝ M1∩POp′（G）＝（M1∩P）Op′（G）。再設(shè)P1＝M1∩P，因?yàn)?/p>

p＝｜POp′（G）／Op′（G）：M1／Op′（G）｜＝｜POp′（G）：（M1∩P）Op′′（G）｜＝｜P：M1∩P｜＝｜P：P1｜，

所以P1是P的極大子群。由引理1和引理2知：M1／Op′（G）在G／Op′（G）中或者有p－冪零補(bǔ)充或者F－可補(bǔ)。G／Op′（G）滿足定理的假設(shè)。由G的選取知G／Op′（G）是p－冪零的，從而G是p－冪零的，矛盾。

（2）Op（G）≠1。

由引理3知，P的任意極大子群不是單位元。如果P的每個(gè)極大子群在G中有p－冪零補(bǔ)充。由引理4知，G是p－冪零的，矛盾。因此存在P的一個(gè)極大子群H在G中沒有p－冪零補(bǔ)充。于是由定理假設(shè)，存在G的一個(gè)非p－冪零子群T，使得G＝HT且（H∩T）HG／HG≤Z∞F（G／HG）。如果Op（G）＝1，則HG＝1，從而H∩T≤Z∞F。

假設(shè)Z∞F（G）＝1，則H∩T＝1，從而｜T｜p＝p。由引理3知，T是p－冪零的，矛盾。因此，可以取包含在Z∞F（G）中的G的一個(gè)極小正規(guī)子群N。由（1）知，N不是p′－群，故N是p階群。由引理1和引理2，P／N的每個(gè)極大子群在G／N中或者有p－冪零補(bǔ)充或者F－可補(bǔ)。G／N滿足定理的條件。由G的選取知，G／N是p－冪零的。由引理3知，N≤Z（G），從而G／Z（G）是p－冪零的。于是G是p－冪零的，矛盾。

（3）導(dǎo)出矛盾。

設(shè)N是包含在Op（G）中的G的一個(gè)極小正規(guī)子群。顯然N是初等交換p－群，且G／N滿足定理?xiàng)l件。由G的極小選擇有G／N是p－冪零的。

由于p－冪零群系是飽和群系，故N是包含在Op（G）中的G的唯一極小正規(guī)子群且N不包含在Φ（G）。進(jìn)一步，存在G的極大子群M，使得G＝NM且M?G／N是p－冪零的。

由引理知：Op（G）∩M?G，故Op（G）∩M＝1，從而N＝Op（G）。設(shè)P1是P的任意極大子群，將證明P1在G中有p－冪零補(bǔ)充。否則由定理?xiàng)l件，存在G的一個(gè)非p－冪零子群T，使得G＝P1T且（P1∩T）（P1）G／（P1）G≤Z∞F（G／（P1）G）。如果（P1）G≠1，則 N≤（P1）G≤P1，從而P1在G中有p－冪零補(bǔ)充M，矛盾。因此可假設(shè)（P1）G＝1，于是P1∩T≤Z∞F。類似（2）中的討論，有T是p－冪零的，矛盾。既然P的每個(gè)極大子群在G有p－冪零補(bǔ)充，由引理4知G是p－冪零群，矛盾。

推論1 設(shè)G為有限群，p為｜G｜的最小素因子。假設(shè)G有一個(gè)Sylow p－子群P使得P的每個(gè)極大子群在G中c－正規(guī)，則G是p－冪零的。

推論1 為文獻(xiàn)［8］的定理3.4。

推論2 設(shè)G為有限群，p為｜G｜的最小素因子。假設(shè)G的每個(gè)Sylow p－子群的極大子群在G中c－可補(bǔ)，則G是p－冪零的。

推論2為文獻(xiàn)［9］的定理3.2。

推論3 設(shè)P是G的一個(gè)Sylow p－子群，其中p是｜G｜的一個(gè)素因子，滿足（｜G｜，p－1）＝1。如果P的每個(gè)極大子群在G中c－可補(bǔ)，則G是p－冪零群。

推論3為文獻(xiàn)［10］的定理3.1。

推論4 設(shè)P是G的一個(gè)Sylow p－子群，其中p是｜G｜的一個(gè)素因子，滿足（｜G｜，p－1）＝1。如果P的每個(gè)極大子群在G中c－可補(bǔ)且G是Cp′群，則G／Op（G）是p－冪零群。

推論4為文獻(xiàn)［11］的定理3.2。

定理2 F設(shè)是所有p－冪零群構(gòu)成的群系，p為群G的階的素因子且滿足（｜G｜，p－1）＝1。如果存在G的一個(gè)正規(guī)子群N，使得G／N為p－冪零群，并且N的Sylow p－子群P的每個(gè)極大子群在G中要么有p－冪零補(bǔ)充，要么F－可補(bǔ)，則G是p－冪零群。

證明：由引理1和引理2知，N的Sylow p－子群P的每個(gè)極大子群在N中要么有p－冪零補(bǔ)充，要么F－可補(bǔ)。

由定理1知，N是p－冪零群。設(shè)Np′是N的正規(guī)Hall p′－子群，則Np′△G且G／N? （G／Np′）／（N／Np′）是p－冪零的。P Np′／Np′是N／Np′的Sylow p－子群。P Np′／Np′的極大子群可表示為P1Np′／Np′，其中P1是P的某個(gè)極大子群。

由引理1和引理2知，P1Np′／Np′在G／Np′中要么有p－冪零補(bǔ)充，要么F－可補(bǔ)。G／Np′滿足定理?xiàng)l件。若Np′≠1，由歸納得G／Np′是p－冪零群，從而G是p－冪零群。設(shè)Np′＝1，即N＝P。由G／N為p－冪零群，可設(shè)K／N是G／N的正規(guī)p－補(bǔ)。由Schur－Zassenhaus定理知，存在K 的 Hall p′－子群Kp′，使得K＝NKp′。由定理1知，K是p－冪零的。又K的正規(guī)p－補(bǔ)Kp′也為G的正規(guī)p－補(bǔ)，故G為p－冪零的。

［1］Wang Y.c－Nor mality of groups and its properties［J］.J Algebra，1996，180：954－965.

［2］Wang Y.Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c－supplemented［J］.J Algebra，2000，224：467－478.

［3］Alsheik Ahmad A Y，Jaraden J J，Skiba A N.On UC－Nor mal subgroups of finite groups［J］.Algebra Colloq，2007，14（1）：25－36.

［4］Guo W.On F－supplemented subgroups offnite groups［J］.Manuscripta Math，2008，127：139－150.

［5］Wei H，Wang Y.On c＊－normality and its properties［J］.J Group Theory，2007，10：211－223.

［6］Guo W，Xie F，Li B.Some open questions in the theory of generalized per mutable subgroups［J］.Science in China Series A，2009，52（10）：2132－2144.

［7］Wang Y，Wei H，Li Y.A generalization of Kramer＇s theorem and its application［J］.Bull.Austral Math Soc，2002，65：467－475.

［8］Guo X，Shum K P.On c－nor mal maximal and minimal subgroups of Sylow p－subgroups of finite groups［J］.Arch Math，2003，80：561－569.

［9］Guo X，Shum K P.Finite p－nilpotent groups with some subgroups c－Supplemented［J］.J Aust Math Soc，2005，78：429－439.

［10］Guo X，Shum K P.On p－nilpotency of finite groups with some subgroups c－supplemented［J］.Algebra Colloq，2003，10（3）：259－266.

A Note on F－supplemented Subgroup

ZHANG Xuemei1，LI Changwen2
（1 Department of Basic Sciences，Yancheng Institute of Technology，Yancheng，224003；2 School of Mathematical Science，Xuzhou Normal University，Xuzhou，221116，Chan）

Let G be a finite group and Fa formation of finite groups.A subgroup H of G is F－supplemented in G if there exists a subgroup T of G such that G＝HT and（H∩T）HG／HGis contained in the F－h(huán)ypercenter Z∞F（G／HG）of G／HG.In this paper，we use F－supplemented subgroups to study p－nilpotency of finite groups.A series of previously known results are unified and generalized.

F－supplemented subgroup；p－nilpotent；Sylow subgroup

O152

A

1007－7383（2011）03－0381－03

2010－10－12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11071229），江蘇高校自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10 KJD110004）

張雪梅（1978－），女，講師，從事代數(shù)研究；e－mail：x mzhang807＠sohu.co m。