混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的改進(jìn)型加權(quán)一階局域法?

錢 鋒，王可人，馮 輝，金 虎

（解放軍電子工程學(xué)院，合肥230037）

混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的改進(jìn)型加權(quán)一階局域法?

錢 鋒，王可人，馮 輝，金 虎

（解放軍電子工程學(xué)院，合肥230037）

提出了一種用于混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的改進(jìn)型加權(quán)一階局域法。用衰減系數(shù)對(duì)分維指數(shù)加權(quán)一階局域法的向量距離公式進(jìn)行修正，調(diào)節(jié)鄰近點(diǎn)與中心點(diǎn)的相關(guān)性，也調(diào)節(jié)了同一鄰近點(diǎn)的各個(gè)分量和中心點(diǎn)的最后一個(gè)分量的關(guān)聯(lián)程度。利用該方法對(duì)Logistic混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果表明，衰減系數(shù)取最佳值時(shí)，相對(duì)于現(xiàn)有算法，該方法可以更精確地預(yù)測(cè)混沌時(shí)間序列。

混沌時(shí)間序列；預(yù)測(cè)模型；加權(quán)一階局域法；衰減系數(shù)

1 引言

混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)已經(jīng)成為一個(gè)非常重要的研究方向，并在天氣預(yù)報(bào)、電力負(fù)荷預(yù)測(cè)調(diào)度、信號(hào)處理、邊坡位移、自動(dòng)控制、電子對(duì)抗等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用［1-2］。

用相空間重構(gòu)［3-5］來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)間序列有多種方法，根據(jù)擬合相空間中吸引子的方式可分為全域法和局域法兩種。全域法是將軌跡中的全部點(diǎn)作為擬合對(duì)象，找出其規(guī)律，由此預(yù)測(cè)軌跡的走向。局域法是將相空間軌跡的最后一點(diǎn)作為中心，把離中心點(diǎn)最近的若干軌跡點(diǎn)作為相關(guān)點(diǎn)，然后對(duì)這些相關(guān)點(diǎn)作出擬合，再估計(jì)軌跡下一點(diǎn)的走向，最后從預(yù)測(cè)出的軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)中分離出所需要的預(yù)測(cè)值。

呂金虎等人［6］提出了用加權(quán)一階局域法進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)，在電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測(cè)中有較好的應(yīng)用。由于引進(jìn)了權(quán)值，加權(quán)一階局域法有較好的自適應(yīng)能力和較高的預(yù)測(cè)精度，在交通流量預(yù)測(cè)［7］、諧波電流預(yù)測(cè)［8］、低壓電力線信道噪聲預(yù)測(cè)［9］等方面也得到了成功應(yīng)用。文獻(xiàn)［10］分析了基于歐氏距離局域預(yù)測(cè)法存在的缺點(diǎn)，以關(guān)聯(lián)度代替歐氏距離定義權(quán)重，在一定程度上克服了歐氏距離不能完全反映最鄰近點(diǎn)與預(yù)測(cè)中心點(diǎn)之間關(guān)聯(lián)程度的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［9］基于鄰近點(diǎn)的各分量對(duì)預(yù)測(cè)的影響依其時(shí)間延遲呈Lyapunov指數(shù)衰減的思想，對(duì)歐氏距離公式進(jìn)行修改，提出分維指數(shù)加權(quán)一階局域法。修正后的距離公式體現(xiàn)了各相點(diǎn)與中心點(diǎn)的相關(guān)性，其方法相對(duì)于加權(quán)一階局域法在預(yù)測(cè)精度上有明顯提高，而且時(shí)間序列的混沌性越強(qiáng)，嵌入維數(shù)越大，改進(jìn)效果越明顯。

本文在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上從修正的向量距離公式中消除最大Lyapunov指數(shù)，引入衰減系數(shù)β，對(duì)具有指數(shù)形式的衰減因子進(jìn)行修正，修正后的向量距離公式能夠更好地體現(xiàn)相點(diǎn)的不同分量對(duì)預(yù)測(cè)的影響程度。通過(guò)調(diào)節(jié)衰減系數(shù)的大小，可以調(diào)節(jié)各相點(diǎn)與中心點(diǎn)的相關(guān)性，進(jìn)一步優(yōu)化鄰近點(diǎn)的選取，使得每個(gè)鄰近點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值能更好地體現(xiàn)鄰近點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)，進(jìn)而提高預(yù)測(cè)性能。通過(guò)數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)，衰減系數(shù)取最佳值βopt時(shí)，本文方法的預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于文獻(xiàn)［9］的預(yù)測(cè)效果。另外，本文方法不需要計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，不僅節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，而且大大減少了計(jì)算時(shí)所需的存儲(chǔ)空間。

2 算法介紹

加權(quán)一階局域法一般包括重構(gòu)相空間、選取鄰近點(diǎn)、計(jì)算預(yù)測(cè)模型的參數(shù)、預(yù)測(cè)計(jì)算4個(gè)步驟。

2．1 重構(gòu)相空間

在重構(gòu)相空間中，時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m的選取具有十分重要的意義。本文采用互信息法計(jì)算時(shí)間延遲τ，由G-P算法計(jì)算時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)d，再由Takens定理選定嵌入維數(shù)m，于是時(shí)間序列xi（i=1，2，…，N）的相空間可以表示為

式中，t=1，2，…，M；M=N-m( ) -1τ。

2．2 選取鄰近點(diǎn)

設(shè)中心點(diǎn)Xl的k個(gè)最鄰近點(diǎn)為Xli（i=1，2，…，k），并且到Xl的距離為di，設(shè)dm是di中最小值，定義點(diǎn)Xli的權(quán)值為

式中，c為參數(shù)，一般取c=1。

文獻(xiàn)［9］在文獻(xiàn)［6］方法的基礎(chǔ)上提出分維指數(shù)加權(quán)一階局域法，用表征混沌系統(tǒng)軌道發(fā)散快慢的最大Lyapunov指數(shù)和鄰近點(diǎn)的各維所對(duì)應(yīng)的時(shí)間延遲的乘積作為冪，構(gòu)造一個(gè)指數(shù)形式的衰減因子對(duì)歐氏距離公式進(jìn)行修改。本文引入衰減系數(shù)β替換原向量距離公式中的最大Lyapunov指數(shù)λ1，于是向量距離公式修改為

式中，xl+(j-1)τ為中心點(diǎn)Xl的第j個(gè)分量，xli+(j-1)τ為第i個(gè)鄰近點(diǎn)Xli的第j個(gè)分量。

式（3）中的衰減系數(shù)β和文獻(xiàn)［9］中修正的向量距離公式中的最大Lyapunov指數(shù)相比，不再是一個(gè)固定的參數(shù)，它的引入使得各相點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離相關(guān)性可以調(diào)節(jié)，也調(diào)節(jié)了同一鄰近點(diǎn)的各個(gè)分量和中心點(diǎn)的最后一個(gè)分量的關(guān)聯(lián)程度，進(jìn)而影響鄰近點(diǎn)的選取，使得每個(gè)鄰近點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值能更好地體現(xiàn)鄰近點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)。

2．3 計(jì)算預(yù)測(cè)模型的參數(shù)

一階加權(quán)局域線性擬合為

式中，m維向量e=(1，1，…，1)T，a和b為擬合所需的實(shí)系數(shù)，Xli+1是Xli一步演化后的相點(diǎn)。應(yīng)用加權(quán)最小二乘法有：

將上式看作是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，兩邊求偏導(dǎo)并令偏導(dǎo)數(shù)為零，得到一個(gè)方程組：

解此方程組確定a和b的值。

2．4 預(yù)測(cè)計(jì)算

中心點(diǎn)Xl的一步預(yù)測(cè)相點(diǎn)Xl+1=a·e+b·Xl，代入a和b的值得到預(yù)測(cè)模型為

式中，中心點(diǎn)Xl的一步預(yù)測(cè)向量Xl+1的第m維分量xl+1+(m-1)τ即為時(shí)間序列下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)值。

3 實(shí)驗(yàn)仿真研究

為了檢驗(yàn)算法的效果，本文取如下數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。用Logistic映射x（n+1）=μx（n）［1-x（n）］按照表1分別選取不同參數(shù)μ生成4組混沌時(shí)間序列［9］，迭代初始值均為0.4，重構(gòu)相空間后每組數(shù)據(jù)2 600個(gè)相點(diǎn)，前400個(gè)相點(diǎn)舍棄，中間2 000個(gè)相點(diǎn)構(gòu)成訓(xùn)練集，根據(jù)公式（3）從中選取距中心點(diǎn)最近的m +1個(gè)最鄰近點(diǎn)，最后200個(gè)點(diǎn)用來(lái)預(yù)測(cè)，即校驗(yàn)集。

模型預(yù)測(cè)性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)采用相對(duì)誤差er，其定義為

為了便于分析衰減系數(shù)β對(duì)預(yù)測(cè)性能的影響效果，本文在衰減系數(shù)β的不同取值情況下，分別計(jì)算了4組Logistic映射時(shí)間序列的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差，得到了如圖1和圖2所示的關(guān)系曲線。

在圖1和圖2中，“×”表示衰減系數(shù)β=λ1時(shí)的預(yù)測(cè)誤差，“+”表示相對(duì)誤差曲線的最低點(diǎn)，此時(shí)的衰減系數(shù)即最佳值βopt，如表1所示。衰減系數(shù)β=0時(shí)，本文方法等效為常規(guī)加權(quán)一階局域法；衰減系數(shù)β=λ1時(shí)，本文方法等效為分維指數(shù)加權(quán)一階局域法?？梢钥闯?，通過(guò)適當(dāng)選擇衰減系數(shù)β的取值，可以選取與中心點(diǎn)相關(guān)性大的鄰近點(diǎn)，進(jìn)一步突出預(yù)測(cè)貢獻(xiàn)大的分量所占的比重，從而提高預(yù)測(cè)精度。

同時(shí)還可以看出，衰減系數(shù)最佳值βopt和最大Lyapunov指數(shù)之間并不存在某種明確的數(shù)學(xué)關(guān)系。最大Lyapunov指數(shù)表示的是系統(tǒng)全體軌道在無(wú)窮多步演化條件下的平均發(fā)散程度。最大Lyapunov指數(shù)不適合直接使用在式（3）中來(lái)衡量鄰近點(diǎn)和中心點(diǎn)的相關(guān)性。另外，衰減系數(shù)β→+∞時(shí)，相對(duì)誤差曲線會(huì)逐步收斂，此時(shí)公式（3）體現(xiàn)的距離相關(guān)性幾乎只與相點(diǎn)的最后一個(gè)分量有關(guān)，其它延遲分量對(duì)權(quán)值Pi的影響全部被忽略，即舍棄了可供利用的大量有用信息，將不可避免地使得相對(duì)誤差趨向某個(gè)極限值，而非最佳值。

當(dāng)衰減系數(shù)取βopt時(shí)，用本文方法和文獻(xiàn)［9］方法對(duì)上述4組數(shù)據(jù)分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，相對(duì)誤差如表2所示。可以看出，本文方法的預(yù)測(cè)效果更好。

4 結(jié)論

對(duì)混沌時(shí)間序列重構(gòu)相空間后，預(yù)測(cè)值為預(yù)測(cè)向量的最后一個(gè)分量，它與鄰近點(diǎn)的最后一個(gè)分量的相關(guān)性最大，與其它延遲分量的相關(guān)性隨各分量對(duì)應(yīng)的時(shí)間延遲而衰減。仿真研究表明，最大Lyapunov指數(shù)不適合直接使用在文獻(xiàn)［9］構(gòu)造的向量距離公式中衡量鄰近點(diǎn)和中心點(diǎn)的相關(guān)性。本文引入衰減系數(shù)β，替換其向量距離公式中的最大Lyapunov指數(shù)，調(diào)節(jié)各鄰近相點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離相關(guān)性，也調(diào)節(jié)了同一鄰近點(diǎn)的各個(gè)分量和中心點(diǎn)的最后一個(gè)分量的關(guān)聯(lián)程度，因此，本文模型可以更精確地預(yù)測(cè)混沌時(shí)間序列。

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QIAN Feng was born in Jiangyan，Jiangsu Province，in 1981. He received the M.S.degree in 2006.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns chaos theory and applications.

Email：qian-fn＠126.com

王可人（1957—），男，江蘇鎮(zhèn)江人，1986年獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代通信理論與技術(shù)、非線性理論與應(yīng)用；

W ANG Ke-ren was born in Zhenjiang，Jiangsu Province，in 1957.He received the M.S.degree in 1986.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research interests include modern communication theory and techniques，nonlinear theory and applications.

馮輝（1978—），男，山東榮成人，2009年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為講師，主要研究方向?yàn)槊ば盘?hào)處理；

FENG Hui was born in Rongcheng，Shandong Province，in 1978.He received the Ph.D.degree in 2009.He is now a lecturer.His research direction is blind signal processing.

金虎（1974—），男，安徽潛山人，2006年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為講師，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理、非線性理論與應(yīng)用。

JIN Hu was born in Qianshan，Anhui Province，in 1974.He received the Ph.D.degree in 2006.He is now a lecturer.His research interests include blind signal processing，nonlinear theory and applications.

An Improved Adding-weight One-rank Local-region Method for Prediction of Chaotic Time Series

QIAN Feng，WANG Ke-ren，F(xiàn)ENG Hui，JIN Hu
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

This paper proposes an improved adding-weight one-rank local-region method for prediction of chaotic time series.An attenuation coefficient is applied to amend the vector distance formula of the dimension-exponent adding-weight one-rank local-region method.The attenuation coefficient not only adjusts different relevance of each adjacent point and the center point，but also adjusts the correlation between each dimension of the same phase point and the last dimension of the center point.The Logistic chaotic time series are forecasted using the improved method，and simulation results show that the prediction accuracy is improved with the optimal attenuation coefficient in the proposed method compared with the original one.

chaotic time series；prediction model；adding-weight one-rank local-region method；attenuation coefficient

TN914；O415.5

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.05.007

錢鋒（1981—），男，江蘇姜堰人，2006年獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向?yàn)榛煦缋碚摷捌鋺?yīng)用；

1001-893X（2011）05-0033-04

2011-03-04；

2011-04-06