一種基于稀疏重建的高分辨力方向估計方法

石繪紅，章惠全，徐文

(浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)系，浙江杭州310027)

0 引言

利用傳感器陣列進(jìn)行源定位是當(dāng)前一個熱門研究領(lǐng)域，在聲學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，高分辨力是源定位技術(shù)的重要目標(biāo)。目前源定位方法有很多［1］，但都存在一些缺點。近幾年出現(xiàn)了利用目標(biāo)信號在空間域的稀疏特性進(jìn)行源定位的方法［2，3］，與傳統(tǒng)方法相比，它們具有較高的分辨能力而且適用于任意陣形。其主要思想是將源位置離散化，定位問題轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散網(wǎng)格點上的信號強(qiáng)度求解問題。這類方法的關(guān)鍵是找到滿足系統(tǒng)方程的稀疏解。根據(jù)壓縮傳感［4］理論，當(dāng)觀測矩陣滿足等容受限原則［5］時，可以利用重建算法重建出稀疏信號。稀疏重建策略有貪婪算法［6］和凸優(yōu)化算法［7］等。本文主要考慮單頻信號、時域采樣且波源不相關(guān)情況下的波達(dá)方向估計(角度空間的源定位)，基于數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣建立觀測方程，利用1-范數(shù)約束和凸優(yōu)化方法重建信號的空間譜，從而獲得DOA的估計。進(jìn)一步采用了局部網(wǎng)格細(xì)化方法，增加分辨力且降低算法計算量。由于采用相關(guān)矩陣R和1-范數(shù)，本文稱之為l1-R方法，與現(xiàn)有的同類方法相比，l1-R方法具有最小的求解維度和更好的估計性能。最后，本文通過數(shù)值仿真驗證了該方法的高分辨能力以及近似最優(yōu)的性能。

1 問題描述

假設(shè)有一接收傳感器陣列，陣元數(shù)為M，有K個頻率為ω的單頻信號sk，k=1，2，…，K，分別以θ1，θ2，…，θK的入射角度到達(dá)接收陣。考慮遠(yuǎn)場情況，陣列接收到的信號可表示為:

式中，y=[y1，…，yM]T，hk=[eφ1(θk)，eφ2(θk)，…，eφM(θk)]T為第k個信號的陣列響應(yīng)向量，φm(θk)為入射角為θk的信號到第m個陣元的相移函數(shù)，w為高斯白噪聲。考慮多次快拍的情況，可以寫成矩陣形式:

式中，Y=［y1，y2，…，yL］，H=［h1，h2，…，hK］，S=［s1，s2，…，sL］，sl=［s1(l)，s2(l)，…，sK(l)］T，W=［w1，w2，…，wL］，l=1，2，…，L為快拍數(shù)。若每次快拍統(tǒng)計獨立，各信號之間不相關(guān)，有:

式中，E［·］表示期望，I為單位矩陣，σ2為噪聲方差，diag(·)表示對角矩陣，pk為第k個信號的功率。

DOA估計問題即是要求解H中的K個信號的角度θ1，θ2，…，θK?；趥鹘y(tǒng)波束形成的方法，如Bartlett、最小方差無偏(MV/Capon)方法采用“駕駛向量”的思想，用hk的拷貝與陣列信號Y進(jìn)行相關(guān)運算，以估計信號方向，其中MV/Capon方法由于利用了數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣信息，相比與Bartlett方法具有較高的分辨能力;基于子空間的方法，如MUSIC，通過對相關(guān)矩陣做特征分解獲得信號子空間與噪聲子空間，然后估計信號方向，這類方法一般需要信號的個數(shù)作為先驗信息，而且與MV/Capon方法類似對SNR及信號相關(guān)性較敏感;基于最大似然(ML)估計的參量方法通過最大化似然函數(shù)來同時估計所有信號方向，這類方法具有最優(yōu)的統(tǒng)計性能，但基于非凸優(yōu)化，計算量很大，同時也需要信號個數(shù)的先驗信息;還有一些其它方法，如Root-MUSIC、ESPRIT等方法，具有較高的分辨能力，但它們一般只適用于均勻直線陣(ULA)的情況。

本文將DOA估計問題表示成一個高度欠定方程的求解問題，利用源信號在角度空間域的稀疏特性，尋找滿足觀測方程的最稀疏解，從而獲得信號方向的估計。

2 基于稀疏重建的方向估計

本文將感興趣的角度區(qū)域離散化為N個網(wǎng)格點，網(wǎng)格點數(shù)大于信號數(shù)(N＞K)，假設(shè)所有DOA都在網(wǎng)格點上。與式1類似，陣列接收到的信號可以表示為:

式中，hn對應(yīng)角度為θn上信號sn的陣列響應(yīng)向量，若θn方向不存在信號，則sn為零，所以只有K個非零的sn，該式與式1等價。同樣考慮多次快拍的情況，有與式2相同的表示式。此時，式2是一個有無窮多解的欠定方程，但由于實際信號S是稀疏的，所以要尋求該欠定方程的最稀疏解。

式2中需要求解的S是一個N×L維復(fù)數(shù)矩陣，計算量很大，希望可以降低S的維度。提出了l1-SVD方法［2］，將S維度降至N×K。本文考慮根據(jù)式2得到:

要尋求滿足方程式7的最稀疏解，嚴(yán)格來說是要求解最小化0-范數(shù)的組合優(yōu)化問題，但實現(xiàn)上比較困難。實際中采用較多的是退化的0-范數(shù)最小化，即通過下式求解b:

式中，規(guī)化常數(shù)ε2需要根據(jù)噪聲強(qiáng)度適當(dāng)選擇，若ε2太小，算法對噪聲很敏感，若ε2過大，導(dǎo)致重建結(jié)果全為零。式8可以通過凸優(yōu)化方法求解，如二階圓錐規(guī)化(SOCP)等。

基于稀疏重建的方向估計方法的分辨能力依賴于網(wǎng)格間隔，整個搜索區(qū)域內(nèi)細(xì)化網(wǎng)格會增加計算量。本文采取了先使用簡單且對SNR不敏感的Bartlett方法實現(xiàn)粗糙的方向估計，然后在信號較可能出現(xiàn)的區(qū)域細(xì)化網(wǎng)格［2］，以增加分辨能力且降低算法的計算量。

整個求解實現(xiàn)過程框圖如圖1所示，首先用Bartlett方法預(yù)定位，然后在信號較可能出現(xiàn)的區(qū)域形成局部細(xì)化的網(wǎng)格，并構(gòu)建系統(tǒng)方程7，最后用SOCP算法重建信號的空間譜。

圖1 l1-R方法的實現(xiàn)框圖

3 數(shù)值仿真

本文仿真采用半波長間隔的ULA，陣元數(shù)M=20，快拍數(shù)L=32。

用l1-R方法估計方向如圖2所示。源數(shù)目為3，DOA分別為0°、5°和25°，強(qiáng)度均為1，噪聲為白高斯噪聲，方差σ2=4。先用Bartlett方法預(yù)定位，在其主瓣－5°～10°和20°～30°范圍內(nèi)網(wǎng)格細(xì)化到0.5°，再進(jìn)行稀疏重建，可見該方法可以較精確地重建出信號方向和幅度。

圖23 個源目標(biāo)的l1-R方位估計結(jié)果

估計偏差和均方誤差(MSE)的性能仿真分析分別如圖3、圖4所示。MUSIC、l1-R、l1-SVD這3種方法在不同源間隔情況下的估計偏差比較如圖3所示。假定已知源數(shù)目為2，角度較小的稱為源1，角度較大的稱為源2，源強(qiáng)度相同，SNR為20dB，源位置在－10°～10°區(qū)間隨機(jī)產(chǎn)生，每種情況各進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真。從圖3中可以看出，當(dāng)源間隔為1°時，MUSIC和l1-SVD方法有較大的估計偏差，隨著源間隔的增加MUSIC方法的估計偏差減小，但l1-SVD方法只能無偏地估計間隔足夠大的源;與l1-SVD和MUSIC方法比較，l1-R方法具有較小的估計偏差。當(dāng)源數(shù)目為2，間隔為3°時，l1-R和l1-SVD、MUSIC等一些其他方法在不同噪聲方差下的MSE，以及與Cramér-Rao下限(CRB)的比較如圖4所示。MSE的定義是err2=∑(－θk)2/K。源強(qiáng)度均為1，每種情況各進(jìn)行500次蒙特卡羅仿真，其中，l1-R、l1-SVD方法在Bartlett主瓣內(nèi)劃分41個網(wǎng)格，其他參數(shù)與圖2中相同。從圖4中可以看出，Bartlett方法具有較低的分辨力;MV和MUSIC方法在噪聲方差較小時，性能接近CRB;除了噪聲較小的情況(此時，l1-R的誤差主要由網(wǎng)格精度引入，l1-SVD的誤差主要由估計偏差引入)，l1-R和l1-SVD方法性能接近于CRB和ML方法，具有近似最優(yōu)的性能;此外，l1-R方法具有較高的RMS，其性能優(yōu)于l1-SVD方法?？傊?，l1-R方法具有較高的RMS和SNR，估計性能較好;采用了局部網(wǎng)格細(xì)化方法，分辨能力較高;此外，它與ML方法性能近似，但其計算量小于ML方法。

4 結(jié)束語

本文提出了基于稀疏重建算法的DOA估計方法——l1-R方法。該方法充分利用了目標(biāo)信號在空間域的稀疏特性，基于數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣建立系統(tǒng)方程，用1-范數(shù)約束目標(biāo)的稀疏性，經(jīng)重建算法能夠得到很好的估計性能。本文通過數(shù)值仿真驗證了l1-R方法的有效性、高分辨能力和近似最優(yōu)性。本文提出的方法對實際應(yīng)用具有較好的借鑒作用。

圖3 不同源間隔下的估計偏差

圖4 不同噪聲方差下的均方誤差

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