運動目標狀態(tài)序貫貝葉斯濾波

蔣富勤，趙航芳

(杭州應用聲學研究所，浙江杭州310012)

0 引言

在被動目標跟蹤中，一個重要的問題是目標運動分析(Target Motion Analysis，TMA)。觀察者利用被噪聲染污的測量數(shù)據估計目標的狀態(tài)，如目標的位置和速度。對于這樣一個問題，利用狀態(tài)－空間模型對系統(tǒng)進行完全表征，結合先驗知識和數(shù)據知識，實現(xiàn)序貫貝葉斯濾波。在貝葉斯方法中，根據貝葉斯定理實現(xiàn)先驗、似然到后驗的知識積累過程。當有新數(shù)據可用時，序貫濾波方法提供了一個合適的框架用于估計和更新系統(tǒng)的待估參量。通常，這些參量是隨著時間或空間演化的。上一步獲得的關于待估參量數(shù)值演化和不確實性的知識，對于下一步的估計是無價的［1］。因而，建立一個模型對這一過程進行描述是很有必要的:狀態(tài)－空間模型。它包含了描述該系統(tǒng)所要求的所有相關信息，是一個通用和寬容的模型［2］。

1 狀態(tài)－空間模型

目的是序貫跟蹤隨時間或空間演化的目標狀態(tài)。因而需要建立一個模型，對這一演化知識進行描述并加以利用。離散時間狀態(tài)－空間模型可以表示為［1］:

式中，表征狀態(tài)轉移概率p(xk|xk－1)，變量vk為已知PDFp(vk)的過程噪聲，表征似然p(yk|xk)，變量wk為已知PDFp(wk)的測量噪聲。

2 貝葉斯濾波

貝葉斯方法將待估參量看作一個隨機變量，要估計的是它的一個現(xiàn)實。信息具有可加性，因而利用先驗信息可以改進估計器的精度。貝葉斯定理提供了嵌入先驗知識的機制，實現(xiàn)先驗、似然到后驗的知識積累過程。

使貝葉斯風險最小，可得貝葉斯估計器。不同的代價函數(shù)可以得到不同的估計器。如二次誤差代價函數(shù)可以推出MMSE估計器，它是一個后驗平均的形式，即E(xk|Yk)，其中Yk=(y1，y2，…，yk)表示第k步可以利用的數(shù)據集;取舍誤差代價函數(shù)可以推出MAP估計器

2.1 卡爾曼濾波

當待估參量和數(shù)據服從聯(lián)合高斯分布時，卡爾曼濾波器是最佳MMSE估計器，否則它是最佳LMMSE估計器［3］。高斯分布僅需用它的前二階矩來表征，而卡爾曼濾波在每一步中傳遞待估參量的均值和協(xié)方差，因而可以完全表征它的后驗PDF。當函數(shù)fk，hk非線性時，可以采用卡爾曼濾波的推廣形式。如對它進行解析線性近似，可以得到擴展卡爾曼濾波。對它進行統(tǒng)計線性近似，可以得到unscented卡爾曼濾波［4］。它們對于適度的非線性問題可以獲得好的性能。

2.2 質點濾波

對于非線性程度較高和復雜過程噪聲情況，需要采用數(shù)值方法來計算后驗PDF，序貫蒙特卡羅方法應運而生，即質點濾波。它的基本思想是用一組具有權值的樣本集合{x，w}來近似表示后驗利用序貫重要性采樣方法，可以獲得［5］:

3 仿真結果分析

假定目標在x－y平面內做轉彎運動:

式中，xk=(xk，，yk，)T表示k時刻目標的狀態(tài)向量，xk和yk表示k時刻目標在直角坐標系中的坐標位置分量和表示k時刻目標在x、y方向上的速度，vk=(vx，k，vy，k)T表示k時刻的過程噪聲，服從均值為零，協(xié)方差矩陣為Q=q I2的高斯分布，I2表示2×2的單位矩陣，T為測量時間間隔，ω為目標轉彎角速度。假定狀態(tài)初始先驗分布服從均值為x0，協(xié)方差為M的高斯分布。

測量方程假定為:

式中，θk表示k時刻獲得的被噪聲染污的目標方位值，wk表示k時刻的觀察噪聲，服從均值為零，方差為r的高斯分布。

假定目標起始位置位于(－1 200m，1 200m)，初始速度為(6m/s，8m/s)，目標轉彎角速度ω=－1°/s，即沿順時針方向轉彎。觀察者位于坐標原點，前200s靜止不動，第200s后開始沿著x軸負方向以4m/s的速度作勻速直線運動。觀察時間間隔T=1s，總觀察時間為1 200s，過程噪聲中q=0.01，觀察噪聲的標準差為1°，即方差r=0.000 3。初始先驗分布的均值x0=(－600，3，600，4)T，協(xié)方差M=diag(10 000，4，10 000，4)。目標和觀察者的實際運動軌跡如圖1所示。方位θk與xk/yk的關系表明測量方程具有一定非線性，是一個非線性問題，需要采用卡爾曼濾波的推廣形式和質點濾波方法進行處理，如圖2所示。3種方法(EKF、UKF和PF)在各個時刻的距離估計誤差如圖3所示。3種方法的跟蹤結果與目標相對于觀察者的運動軌跡之間的對比如圖4所示。從圖4中可以看出，對于這樣一個非線性問題，3種方法都可實現(xiàn)跟蹤。其中UKF的距離估計誤差略小于EKF，PF的距離估計誤差最小，性能最佳。這是因為EKF和UKF采用非線性問題線性化的方法，這會帶來誤差，在非線性問題適度的情況下，這種誤差是可以容忍的，因而它們依然可以實現(xiàn)跟蹤。而PF直接采用一組具有權值的樣本集合來近似后驗PDF，只要選取足夠多的樣本和合適的重要性密度，它可以很好地表征后驗PDF，其帶來的誤差要小于EKF和UKF，因此PF的性能最佳。

圖1 目標和觀察的運動軌跡

圖2 方位θk與xk/yk的關系

圖3 3種方法的距離估計誤差

圖4 3種方法的跟蹤結果與目標相對運動軌跡之間的對比

4 結束語

對于運動目標狀態(tài)跟蹤問題，利用狀態(tài)－空間模型對狀態(tài)的空間或時間演化知識加以表征，采用序貫貝葉斯濾波方法可以有效地利用前一步的后驗PDF和狀態(tài)演化的先驗知識。狀態(tài)的后驗PDF包含了所有可用的統(tǒng)計信息，因而可以說提供了估計問題的完全解。仿真結果驗證了序貫貝葉斯濾波方法的有效性。對于所給的非線性問題，在EKF、UKF和PF 3種方法中，PF方法的性能最佳。

［1］Yardim C，Michalopoulou Z H，Gerstoft P.An overview of sequential Bayesian Filtering in ocean acoustics［J］.Ocean Eng，2011，36(1):73－91.

［2］Candy J V.Bayesian Signal Processing Classical Modern and Particle Filtering Methods［M］.New York:Wiley，2009:95.

［3］Kay S M.Fundamentals of Statistical Signal Processing–Volume I Estimation Theory［M］.Englewood Cliffs:Prentice-Hall，1993:309－477.

［4］Julier S，Uhlmann J，Durrant-White H F.A new method for nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators［J］.Autom Contral，2000，45(3):447－782.

［5］Arulampalam M，Maskell S，Gordon N，etal.A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking［J］.Signal Process，2002，50(2):174－188.