一種加權(quán)最小熵的ISAR自聚焦算法

徐 剛 楊 磊 張 磊 李亞超 邢孟道

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

逆合成孔徑雷達(dá)(ISAR)由于能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的2維成像，獲得更多的散射點(diǎn)信息，有利于目標(biāo)的分類和識(shí)別，因此越來(lái)越被廣泛應(yīng)用[1]。ISAR距離維高分辨依靠發(fā)射寬頻帶的信號(hào)獲得，方位維高分辨依靠目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)的轉(zhuǎn)動(dòng)獲得。ISAR方位維分辨率與雷達(dá)相干積累時(shí)間和目標(biāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度兩者有關(guān)。在實(shí)際情況下，由于目標(biāo)平動(dòng)的存在，需要進(jìn)行平動(dòng)補(bǔ)償處理才可以獲得聚集良好的圖像。由于ISAR成像目標(biāo)往往是非合作目標(biāo)，所以基于回波數(shù)據(jù)的自聚焦算法研究是非常必要的。

自聚焦算法基于回波數(shù)據(jù)估計(jì)誤差相位實(shí)現(xiàn)圖像聚焦，在雷達(dá)成像中起著相當(dāng)重要的作用。一般自聚焦算法大致分為兩類：基于特顯點(diǎn)的自聚焦算法和基于圖像整體信息的自聚焦算法，其典型算法分別為相位梯度自聚焦(Phase Gradient Autofocus,PGA)算法[2?4]和最小熵自聚焦(Minimum Entropy Autofocus, MEA)算法[5?7]。PGA 算法通過(guò)提取特顯點(diǎn)目標(biāo)的相位歷程以估計(jì)誤差相位進(jìn)行圖像聚焦處理。PGA具有很好的魯棒性，是因?yàn)槠淅碚摬换谀Ｐ突?。更為重要的是，PGA算法的執(zhí)行效率很高，往往只需要幾次迭代便可以實(shí)現(xiàn)圖像的良好聚焦。文獻(xiàn)[2]提出了一種通過(guò)選取高質(zhì)量樣本的非迭代的QPGA算法，進(jìn)一步提高了PGA的運(yùn)行效率。文獻(xiàn)[3]針對(duì) PGA存在相鄰特顯點(diǎn)導(dǎo)致聚焦效果不理想的缺點(diǎn)，提出了一種自適應(yīng)距離單元樣本選擇的改進(jìn) PGA算法。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于誤差相位最小二乘估計(jì)的 WPGA(Weighted Phase Gradient Autofocus)算法，根據(jù)不同距離單元的相位方差對(duì)回波的觀測(cè)相位進(jìn)行加權(quán)處理，從而使估計(jì)誤差的方差最小，最終得到誤差相位的最優(yōu)估計(jì)結(jié)果；文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步提出了一種適用于條帶SAR的WPCA(Weighted Phase Curvature Autofocus)算法，該算法具有較高的魯棒性，可以被應(yīng)用于干涉SAR處理。然而PGA的主要缺點(diǎn)是在場(chǎng)景均勻和低信雜比條件下，因?yàn)椴荒艹晒μ崛√仫@點(diǎn)的相位歷程而得不到理想的聚焦效果。MEA算法利用圖像的熵值進(jìn)行誤差相位估計(jì)，它是一種基于圖像整體信息的算法。相對(duì)于PGA算法，MEA算法在低信噪比和低圖像對(duì)比度的條件下更具有魯棒性，能夠取得更好的聚焦效果。文獻(xiàn)[10]基于坐標(biāo)下降法提出了一種同時(shí)更新(simultaneous update)法的最小熵自聚焦的迭代算法，能夠有效提高最小熵自聚焦算法的收斂速度。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于子空間的最小熵ISAR自聚焦算法，其魯棒性和收斂性得到進(jìn)一步保證。最小熵自聚焦算法將圖像的熵作為代價(jià)函數(shù)，如果直接求解誤差相位是非常困難的，需要利用數(shù)值迭代算法逐漸逼近最終求解目標(biāo)函數(shù)。雖然最小熵算法能夠利用圖像的整體信息保證算法的魯棒性，但同時(shí)會(huì)增加最小熵算法的運(yùn)算量。另外，利用所有樣本求解誤差相位必定會(huì)影響算法的收斂速度，從而導(dǎo)致最小熵自聚焦算法實(shí)時(shí)性較差的缺點(diǎn)。相對(duì)于PGA算法，MEA算法的缺點(diǎn)主要表現(xiàn)為運(yùn)行效率較低和運(yùn)算量較大。

PGA算法有效利用特顯點(diǎn)求解誤差相位，具有很高的收斂速度和高效性?？梢?jiàn)，高質(zhì)量的樣本在提高算法收斂性方面具有很重要的作用。本文基于最小二乘估計(jì)的魯棒特性提出了一種加權(quán)最小熵(Weighted Minimum Entropy Autofocus, WMEA)的ISAR自聚焦算法。首先基于最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則，根據(jù)不同距離單元的相位方差對(duì)圖像的熵進(jìn)行加權(quán)處理，然后利用迭代算法估計(jì)誤差相位，通過(guò)逐步迭代最終實(shí)現(xiàn)圖像的聚焦處理。相對(duì)于MEA算法，WMEA算法的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)主要表現(xiàn)為：根據(jù)相位方差進(jìn)行加權(quán)處理，提取回波信號(hào)中的多特顯點(diǎn)作為“高質(zhì)量”的樣本，使其在熵值收斂中起主導(dǎo)作用，從而有效提高自聚焦算法的收斂速度；同時(shí)，利用最小二乘估計(jì)減小估計(jì)子的誤差方差，有效降低雜波以及噪聲的影響，具有更高的“魯棒”性，從而取得更好的聚焦效果。

2 最小熵自聚焦

自聚焦算法一般用于消除非空變的誤差相位，即誤差相位對(duì)于圖像中的各個(gè)散射點(diǎn)而言是相同的。這一類誤差相位主要由運(yùn)動(dòng)誤差、電磁波的傳播效應(yīng)以及系統(tǒng)的不穩(wěn)定性等因素造成[11,12]。在本文分析中，同樣假設(shè)誤差相位具有非空變性。自聚焦處理的對(duì)象一般為回波信號(hào)經(jīng)過(guò)距離維脈沖壓縮處理而未進(jìn)行方位維脈沖壓縮處理的回波信號(hào)。假設(shè)回波信號(hào)經(jīng)過(guò)距離維脈沖壓縮處理，并且采用文獻(xiàn)[13]的最大相關(guān)法進(jìn)行包絡(luò)對(duì)齊處理，對(duì)齊精度小于二分之一距離單元。

2.1 圖像模型

假設(shè)回波信號(hào)經(jīng)過(guò)距離維脈沖壓縮和包絡(luò)對(duì)齊處理，第m個(gè)距離單元的最強(qiáng)散射點(diǎn)的多普勒頻率為fm以及起始相位為ψ0,m，并且假設(shè)第m個(gè)距離單元的其他較弱的散射點(diǎn)為雜波信號(hào)。ISAR回波信號(hào)可以表示為

式中ym,n為第m個(gè)距離單元在慢時(shí)間n的回波信號(hào)，m和n分別為距離維和方位維離散時(shí)間；φm(n)為第m個(gè)距離單元的雜波干擾相位；γ(n)為需要校正的非空變的誤差相位，僅為方位離散時(shí)間n的函數(shù)。

對(duì)式(1)的回波信號(hào)進(jìn)行方位維 IFFT(Inverse Fast Fourier Transform)操作可得

式中zm,n為未進(jìn)行誤差相位校正的“散焦”的圖像。假設(shè) φ={φ1, φ2,… , φN}表示需要校正的誤差相位，那么誤差相位校正后的圖像可以表示為

式中zm,n(φ)為誤差相位的函數(shù)；在不考慮噪聲影響的條件下，當(dāng) φk=?γ (k)時(shí)，可以認(rèn)為得到誤差相位的理想估計(jì)結(jié)果。為了簡(jiǎn)化符號(hào)便于后續(xù)處理，在本文后面的表示中假設(shè)zm,n=zm,n(φ)。

2.2 最小熵自聚焦算法

假設(shè)

表示圖像的總能量，誤差相位影響圖像的聚焦質(zhì)量，但由Parseval定理可知，圖像的總能量保持不變，所以Ez為常數(shù)。假設(shè)表示像素的能量密度(energy density)。圖像的熵定義為pm,n的函數(shù)：

當(dāng)圖像散焦時(shí)圖像的熵較大，而當(dāng)圖像聚焦良好時(shí)圖像的熵較小，所以可以將圖像的熵作為誤差相位的目標(biāo)函數(shù)，那么目標(biāo)函數(shù)可以構(gòu)造如下：

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可以求得誤差相位迭代表達(dá)式如下：

式中

3 基于加權(quán)最小熵的自聚焦算法

3.1 圖像的加權(quán)最小熵

由前面分析可知，MEA算法基于圖像的整體信息，在低信噪比和低圖像對(duì)比度的條件下，相對(duì)于PGA或者PCA算法具有更好的聚焦效果。然而，MEA最主要的一個(gè)缺點(diǎn)是運(yùn)行效率偏低。對(duì)于MEA算法而言，各個(gè)樣本具有相同的權(quán)值，所占比重相同，其實(shí)質(zhì)是假設(shè)各個(gè)距離單元的誤差相位的方差相同，然而通常情況下并非如此。PGA具有很高的運(yùn)行效率，是因?yàn)樗行Ю枚嗵仫@點(diǎn)。那么通過(guò)增加特顯點(diǎn)的權(quán)值以提高其在誤差相位估計(jì)中的作用，是否可以有效提高 MEA的運(yùn)行效率？更為重要的是，應(yīng)該根據(jù)什么準(zhǔn)則進(jìn)行權(quán)值構(gòu)造才能有效提高M(jìn)EA的收斂速度？

加權(quán)最小二乘估計(jì)根據(jù)觀測(cè)樣本方差的不同進(jìn)行加權(quán)處理，從而取得估計(jì)子的最小估計(jì)方差。加權(quán)的作用是使“高質(zhì)量”的樣本在估計(jì)中占較大的比重，從而有效提高估計(jì)的效果。ISAR圖像具有稀疏性，可以近似認(rèn)為由若干個(gè)散射點(diǎn)組成，具有多特顯點(diǎn)特性。特顯點(diǎn)可以認(rèn)為是“高質(zhì)量”的樣本，因?yàn)樘仫@點(diǎn)具有較好的雜波和噪聲抑制特性。經(jīng)過(guò)以上分析，如果根據(jù)距離單元的相位方差得到的權(quán)值對(duì) ISAR圖像的熵進(jìn)行加權(quán)處理，增強(qiáng)特顯點(diǎn)在MEA中作用，同樣可以達(dá)到提高誤差相位估計(jì)效果的作用。分析其原因主要包含兩個(gè)方面：(1)根據(jù)相位方差進(jìn)行加權(quán)處理，提取回波信號(hào)中的多特顯點(diǎn)作為“高質(zhì)量”的樣本，使其在熵值收斂中起主導(dǎo)作用，從而有效提高自聚焦算法的收斂速度。(2)根據(jù)相位方差進(jìn)行加權(quán)處理，達(dá)到減小估計(jì)子方差的目的，這樣可以有效降低雜波以及噪聲的影響，從而取得更好的聚焦效果。本文通過(guò)分析誤差相位的最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則，提出了一種加權(quán)最小熵的自聚焦(WMEA)算法。

由于最小熵自聚焦僅為誤差相位φ的函數(shù)，與距離單元中特顯點(diǎn)的頻移相位2πfmn以及起始相位ψ0,m無(wú)關(guān)，所以假設(shè)特顯點(diǎn)被平移到圖像中心以及忽略起始相位的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[14]可以求得誤差相位的加權(quán)最小二乘估計(jì)(WLS)結(jié)果。

加權(quán)最小二乘估計(jì)的方差可以表示為[14]

基于加權(quán)最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則，根據(jù)距離單元的相位方差構(gòu)造權(quán)值，定義圖像加權(quán)熵如下：

由Parseval定理可知，進(jìn)行誤差相位校正并不改變距離單元像素的總能量，所以式(11)中的第二項(xiàng)為常數(shù)。

那么 WMEA誤差相位估計(jì)的代價(jià)函數(shù)可以構(gòu)造為

由于圖像在方位維的平移并不改變圖像加權(quán)熵的大小，所以 WMEA算法并不能估計(jì)常數(shù)和一階的線性誤差相位，而只能用來(lái)估計(jì)高階的誤差相位。其實(shí)沒(méi)有必要估計(jì)常數(shù)和一階誤差相位，因?yàn)樗鼈儾⒉挥绊憟D像的聚焦質(zhì)量。直接求解或者近似求解式(12)所示的代價(jià)函數(shù)非常困難，一般采用迭代的收斂算法進(jìn)行求解。

3.2 加權(quán)最小熵自聚焦算法的求解

3.2.1 替代方程 如果直接求解式(11)和式(12)所示的代價(jià)函數(shù)是非常困難的，本文利用一種最優(yōu)轉(zhuǎn)換算法[16]通過(guò)求解替代的代價(jià)函數(shù)進(jìn)行誤差相位估計(jì)。假設(shè)式(11)的替代代價(jià)函數(shù)可以表示為Θ(φ;φ(l))，其中 φ(l)為第l次迭代得到的誤差相位估計(jì)值。Θ(φ; φ(l))需要滿足以下條件：

式中第1個(gè)條件可以保證原代價(jià)函數(shù)Swei(φ)在每次迭代時(shí)是下降收斂的；后面3個(gè)條件用以保證目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性，其中前兩個(gè)條件表示替代函數(shù)Θ(φ; φ(l))與原代價(jià)函數(shù)Swei(φ)在 φ(l)處是正切的。

為進(jìn)一步推導(dǎo) Θ(φ; φ(l))的具體形式，做以下假設(shè)：

由式(14)可知，f(p)是一個(gè)實(shí)值的凹函數(shù)。f(p)在q(q≥ 0)處進(jìn)行一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，g(p;q)=f(q) ?(1 + lnq)(p?q)=?plnq+q?p。 令p=可以得到以下結(jié)論：

式(16)所示的代價(jià)函數(shù)是一個(gè)非線性數(shù)學(xué)方程，直接求解也非常困難，需要進(jìn)行代價(jià)函數(shù)的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化。

3.2.2 加權(quán)最小熵自聚焦算法的求解 由式(13)可知，替代函數(shù) Θ(φ; φ(l))的收斂性弱于代價(jià)函數(shù)Swei(φ)，在保證替代函數(shù)收斂的條件下可以保證代價(jià)函數(shù)Swei(φ)的收斂性，即保證 Θ(φ; φ(l))遞減的前提下，Swei(φ)必定是遞減的。本文采用一種稱為同時(shí)更新[16](simultaneous update)的迭代算法求解式(16)所示代價(jià)函數(shù)，估計(jì)誤差相位。其基本原理是，每次迭代時(shí)同時(shí)估計(jì)然后利用每次估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行誤差相位補(bǔ)償，最后通過(guò)不斷迭代得到最終的誤差相位估計(jì)結(jié)果。

假 設(shè) 第l次 迭 代 估 計(jì) 的 誤 差 相 位 φ(l)=并且 φ(0)={0 ,0,… , 0}，利用估計(jì)值 φ(l)對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行誤差相位補(bǔ)償，進(jìn)行初步聚焦處理，并假設(shè)初步聚焦圖像為下面基于第l次迭代的估計(jì)值推導(dǎo)第l+1次迭代的估計(jì)值。

式中

通過(guò)求解式(18)的導(dǎo)數(shù)，令其為零，從而求出誤差相位的迭代表達(dá)式。

式中該迭代算法的運(yùn)算量主要在于求解Bk和Ak。通過(guò)計(jì)算可得：對(duì)于M×N大小的圖像，估計(jì)其中一個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行一次迭代的運(yùn)算復(fù)雜度為O(MN)，那么N個(gè)參數(shù)一次迭代的運(yùn)算復(fù)雜度為O(MN)。通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)n的求和可以利用FFT進(jìn)行高效計(jì)算，這樣可以同時(shí)求得估計(jì)誤差k=1,2,… ,N}，這種迭代算法稱為同時(shí)更新算法[8,16]。通過(guò)計(jì)算可得：對(duì)于N個(gè)未知參數(shù)的一次迭代，同時(shí)更新算法的運(yùn)算復(fù)雜度為 Ο(MNlnN)。這樣自聚焦算法的迭代運(yùn)算量可以得到有效降低；由于可以同時(shí)估計(jì)N個(gè)未知參數(shù)，迭代的收斂速度也可以得到有效提高。

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

下面分別通過(guò)對(duì) ISAR仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理，通過(guò)比較最小熵自聚焦算法(MEA)和加權(quán)最小熵自聚焦算法(WMEA)所得結(jié)果的不同，驗(yàn)證本文算法的有效性。

4.1 ISAR仿真數(shù)據(jù)處理結(jié)果

在仿真數(shù)據(jù)處理中，以 B727飛機(jī)作為仿真模型，信號(hào)帶寬150 MHz，脈沖重復(fù)頻率20 kHz，誤差相位如圖1所示。在進(jìn)行距離維脈沖處理后，越距離單元徙動(dòng)校正采用文獻(xiàn)[13]的最大相關(guān)法進(jìn)行包絡(luò)對(duì)齊處理和誤差相位粗補(bǔ)償，包絡(luò)對(duì)齊誤差精度小于二分之一距離單元。由于誤差相位校正精度要求小于λ/4，所以誤差相位需要進(jìn)行進(jìn)一步的補(bǔ)償。然后分別采用MEA和WMEA算法進(jìn)行自聚焦處理，并且經(jīng)過(guò)相同的迭代次數(shù)，迭代次數(shù)設(shè)置為30。圖2(a)為MEA處理結(jié)果，圖2(b)為WMEA處理結(jié)果。由圖2可得，WMEA的成像結(jié)果比MEA得到整體改善，WMEA具有更好的聚焦效果。從飛機(jī)尾翼可以觀測(cè)到，WMEA成像結(jié)果為聚焦良好的點(diǎn)目標(biāo)，而MEA成像結(jié)果發(fā)生“散焦”，點(diǎn)目標(biāo)被擴(kuò)散到相鄰的方位單元。圖3為兩種算法每次迭代時(shí)圖像熵的變化情況，觀測(cè)曲線可得：在前5次迭代中，WMEA比MEA具有更快的收斂速度；在第10次迭代時(shí)兩者熵值差異不大，是因?yàn)榇藭r(shí)圖像已經(jīng)達(dá)到了一定的聚焦效果，所以熵值變化不大；但從第 10次迭代后，MEA熵值基本保持不變，而WMEA算法對(duì)應(yīng)的圖像熵值仍然在繼續(xù)變小直至不變，最終WMEA所得圖像熵值比MEA小，這說(shuō)明 WMEA能夠在一定程度提高誤差相位的估計(jì)精度，從而有效提高聚焦效果。

圖1 誤差相位

圖2 兩種算法的ISAR仿真數(shù)據(jù)處理結(jié)果

圖3 兩種算法仿真數(shù)據(jù)處理的圖像熵收斂情況

4.2 ISAR實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性，下面對(duì)一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。該實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為 ISAR系統(tǒng)錄取的Yak-42飛機(jī)的回波數(shù)據(jù)，系統(tǒng)參數(shù)為：中心頻率5520 MHz，發(fā)射信號(hào)帶寬400 MHz，脈沖重復(fù)頻率100 Hz。原始回波數(shù)據(jù)的信噪比近似為22 dB，并且回波信號(hào)經(jīng)過(guò)最大相關(guān)法的包絡(luò)對(duì)齊[13]處理。圖4(a)為MEA處理結(jié)果，圖4(b)為WMEA處理結(jié)果，并且兩者的迭代次數(shù)相同，設(shè)置為30。通過(guò)比較可得，WMEA算法比MEA算法具有更好的聚焦效果，這樣更加有利于目標(biāo)的分類和識(shí)別。圖5(a)為兩種算法迭代的圖像熵收斂情況，顯然 WMEA比MEA具有較好的收斂特性，并且WMEA最終得到的圖像熵比 MEA小。需要說(shuō)明的是，該實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比仿真數(shù)據(jù)的特顯點(diǎn)多，圖像信息豐富，通過(guò)比較圖3和圖5可得，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)下的WMEA算法的優(yōu)越性更加突出。

圖4 兩種算法的ISAR實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果

驗(yàn)證自聚焦算法有效性的其中一個(gè)重要方面是考察在低信噪比的條件下的該算法是否具有良好的聚焦效果。在回波信號(hào)經(jīng)過(guò)最大相關(guān)法的包絡(luò)對(duì)齊[13]處理后，對(duì)回波信號(hào)添加高斯白噪聲，其信噪比設(shè)置為0 dB。圖4(c)為MEA處理結(jié)果，圖4(d)為 WMEA處理結(jié)果，并且兩者的迭代次數(shù)相同，設(shè)置為30。可見(jiàn)，在低信噪比條件下，相對(duì)于EMA算法，WEMA 具有更好的聚焦效果。圖5(b)為兩種算法的收斂曲線，在低信噪比條件下，EMA算法的收斂性有很大起伏，即在噪聲的影響下，收斂性很差。而 WEMA算法在低信噪比條件下，同樣具有良好的收斂特性，可見(jiàn)該算法具有很好的魯棒性和噪聲抑制能力。

5 結(jié)論

圖5 兩種算法實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理的圖像熵收斂情況

本文基于加權(quán)最小二乘估計(jì)的最小方差準(zhǔn)則，提出了一種加權(quán)最小熵的 ISAR自聚焦算法(WMEA)。該算法相對(duì)于傳統(tǒng)最小熵自聚焦算法(MEA)具有更好的迭代收斂特性，并且在一定程度上能夠提高聚焦質(zhì)量。最終分別通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)本文算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

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