一類含強迫項的二階微分方程解的振動性

陳慧琴

(山西大同大學數(shù)學與計算機科學學院,山西大同037009)

振動理論是微分方程定性理論的一個重要分支,在科學技術領域中有著廣泛的應用。近幾十年來取得了很大的發(fā)展,并有大量的研究成果和專著發(fā)表[1－6]。文獻[1]中已經討論了含強迫項的二階線性微分方程

解的振動性，本文對其振動性又給出一個補充定理，介紹由強迫項f（t）引起的振動問題。其中方程(1)對應的齊次方程為

方程(1)、(2)中的 p（t）及 x（t）都是[a,+∞)t a≥0上的連續(xù)函數(shù)。為了得到(1)振動的定理，先給出

引理 1 如果 φ（t）是方程(2)解，x（t）是(1)的解，令 x（t）=φ（t）y（t），則 y（t）滿足方程

證明 把 x（t）=φ（t）y（t）代入方程(1)中，得

(4)式兩邊同乘以 φ（t），則

由于 φ（t）是方程(2)的解，所以(3)成立。

定理2若存在方程(2)的一個正解φ（t），對于一個正實數(shù)T,使得

那么方程(1)是振動的。

證明假設方程(1)有一個非振動解x（t）,即存在t1＞0，當 t≥t1＞0 時，x（t）＞0。

令 x（t）=φ（t）·y（t）

則由引理知 y（t）滿足方程(3)，對(3)由 T 到 t積分，得

由(6)得

對(8)從T1到t積分，得

由條件(iii)及(9)，知存在 ti，使得 y(ti)＜0，這與y(t)＞0矛盾。當x(t)＜0時，類似可證結論成立，問題得證。

例二階微分方程

對應的齊次方程為

方程(11)存在一個正解φ(t)=e-t，滿足定理2的條件，則由定理2知，(10)有振動解，實際上方程(10)的振動解為

關于方程(1)的振動性，讀者可參閱文獻[1]，本文中只是給出了方程(1)振動的一個補充定理，此定理的條件比文獻[1]中定理3．1,3．2的條件更強，但應用本文定理判別方程(1)的振動性更為方便。

[1]燕居讓．常微分方程振動理論[M]．太原:山西教育出版社,1992．

[2]Gyori I,Ladas G．Oscillation Theory of Delay Differential Equations with Applications[M]．Oxford:Clarendon Press,1991．

[3]Erbe L H,Qingkai Kong,Zhang B G．Oscillation Theory for Functional Differential Equations[M]．Hong Kong:Marcel Dekker,1995．

[4]Chen Huiqin,Jin Zhen．Oscillation Criteria of Solution for a Second Order Difference Equation with Forced Term[J]．Discrete Dynamics in Nature and Society,2010：1－6,ID 171234．

[5]Chen Huiqin,d Jin Zhen．Monotonicity of eventually positive solutions for a second order nonlinear difference equation[J]．International Conference on Computational Aspects of Social Networks,2010:189－191．

[6]陳慧琴，趙香蘭．一類二階微分方程最終正解的單調性[J]．山西大同大學學報:自然科學版,2010,26(5):3－4．