一類非線性廣義隨機(jī)系統(tǒng)的降階Kalman濾波器

石 瑩,田英明,田行偉

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院自動(dòng)化系,哈爾濱 150080)

0 引 言

廣義系統(tǒng)(也稱微分-代數(shù)系統(tǒng))出現(xiàn)在電網(wǎng)絡(luò)、化工過(guò)程、機(jī)械系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助建模、航空航天等領(lǐng)域。自20世紀(jì)70年代被提出以來(lái)廣義系統(tǒng)理論已逐漸發(fā)展成為現(xiàn)代控制理論的一個(gè)獨(dú)立分支,研究工作經(jīng)歷了從線性到非線性、從連續(xù)到離散、從確定性到不確定性、從無(wú)時(shí)滯到時(shí)滯等各個(gè)專題[1-4]。

針對(duì)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題主要有3種方法[5]:擴(kuò)展Kalman濾波(EKF)、無(wú)跡Kalman濾波(UKF)和粒子濾波。3種方法中粒子濾波的精度最高,從計(jì)算速度上看,EKF具有明顯的優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn) [6]針對(duì)一類帶有未知輸入的非線性廣義系統(tǒng),利用UKF方法給出了狀態(tài)和未知輸入的估值器,并且不需要知道未知輸入的先驗(yàn)信息。文獻(xiàn)[7]在文獻(xiàn) [6]的基礎(chǔ)上,給出了觀測(cè)含有狀態(tài)的導(dǎo)數(shù)和代數(shù)的非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)估值器。但上述方法都對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行了增廣,加大了矩陣的維數(shù),帶來(lái)了一定的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

本文針對(duì)廣義非線性系統(tǒng),基于 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了線性化,利用奇異值分解對(duì)線性化后的系統(tǒng)進(jìn)行了降維,最后利用經(jīng)典Kalman濾波理論給出了遞推的狀態(tài)估計(jì)值器,便于工程實(shí)現(xiàn),減少了計(jì)算負(fù)擔(dān)。

1 問(wèn)題的描述

考慮非線性廣義隨機(jī)系統(tǒng):

其中狀態(tài)變量x(k)∈Rn,觀測(cè)y(k)∈Rm,M是奇異常數(shù)矩陣,rank M=r＜n。

假設(shè)1 系統(tǒng)噪聲w(k)和觀測(cè)噪聲v(k)是零均值相關(guān)白噪聲,即:

其中E為均值符號(hào),T為轉(zhuǎn)置符號(hào),δkk=1,δkj= 0(k≠j)。

假設(shè)2 初始狀態(tài)x(0)與w(k)和v(k)不相關(guān),且

假設(shè)3 f(?)和g(?)是關(guān)于x(k)可微的。

假設(shè)4 廣義系統(tǒng)(1)-(2)是強(qiáng)可控的[9]。

問(wèn)題是:基于觀測(cè){y(0),…,y(k)}求狀態(tài)x(j)的Kalman濾波器若j=k,稱為狀態(tài)濾波器,若j＜k,稱k)為狀態(tài)預(yù)報(bào)器。

2 模型的轉(zhuǎn)化

若令:

則式(4)-式(5)整理為:

這樣就通過(guò)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi),將非線性廣義系統(tǒng)(1)-(2)轉(zhuǎn)化為線性廣義系統(tǒng)(8)-(9)。

因?yàn)閞ank M=r,根據(jù)矩陣奇異值分解理論[10],存在正交矩陣U∈Rn×n,V∈Rn×n,使得:

式中 ∑=diag(σ1,σ2,…,σr);σi(i=1,2,…,r)是矩陣M的奇異值。

若A22(k)可逆,則式(12b)改寫成:

將式(13)代入式(12a)得到一個(gè)r維子系統(tǒng):

其中:

將式(13)代入式(9),整理得:

其中:

η(k)與w(k)的相關(guān)系數(shù)為:

η(k)的方差陣為:

通過(guò)上面的分析,我們看到利用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)和奇異值分解,就將非線性廣義系統(tǒng)(1)-(2)轉(zhuǎn)化為了式(14)和(18)構(gòu)成的正常等價(jià)系統(tǒng)。下面的工作就是利用經(jīng)典Kalman濾波理論求解非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)估值器。

3 狀態(tài)Kalman濾波器

定理1 非線性廣義系統(tǒng)(1)-(2)在假設(shè)條件1-4下,有降階Kalman預(yù)報(bào)器為:

預(yù)報(bào)誤差方差陣:

其中:

定理2 非線性廣義系統(tǒng)(1)-(2)在假設(shè)條件1-4下,有降階Kalman濾波器為:

濾波誤差方差陣:

4 數(shù)值仿真

考慮如下非線性廣義系統(tǒng)模型:

其中w(k)和v(k)是相互獨(dú)立的白噪聲,方差陣分別為 Q=diag[1,2],R=diag[0.81, 0.64]。x0=[0.1 0.1]T,P0=diag[1 000, 1 000]。利用定理1和定理2對(duì)狀態(tài)進(jìn)行Kalman濾波,仿真結(jié)果見(jiàn)圖1和圖2,圖中實(shí)線為狀態(tài)的真值,虛線為狀態(tài)的Kalman濾波器。

圖3和圖4是狀態(tài)與估值器的誤差平方累積和比較圖,實(shí)線是預(yù)報(bào)器,虛線是濾波器。從圖中可以看出,濾波器與真值的誤差平方累積和曲線在預(yù)報(bào)器的下方,表明濾波器的估計(jì)精度高于預(yù)報(bào)器,這與理論推導(dǎo)結(jié)果是一致的。

圖4 第二個(gè)分量預(yù)報(bào)器和濾波器的誤差累計(jì)和比較圖Fig.4 Accumulated error sum comparison between predictor and fliter of the second component

5 結(jié) 論

本文針對(duì)一類非線性廣義系統(tǒng),在假設(shè)1～4下考慮了狀態(tài)的線性最小方差估值問(wèn)題。將狀態(tài)方程在(k|k)處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi),觀測(cè)方程在(k+1|k)處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi),實(shí)現(xiàn)了對(duì)非線性系統(tǒng)的線性化;再利用奇異值分解,將廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的正常線性系統(tǒng),基于Kalman濾波理論得到了狀態(tài)的一步遞推Kalman預(yù)報(bào)器和Kalman濾波器,并通過(guò)Matlab對(duì)所提出的算法進(jìn)行了有效性驗(yàn)證,得到了與理論推導(dǎo)相一致的結(jié)果。

但本文只是對(duì)非線性廣義系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題的初步探討,還有很多的工作需要進(jìn)一步研究,例如初值選取對(duì)算法的收斂性的影響、線性化濾波方法的適用范圍、矩陣A22(k)不可逆情況下如何求解等等。

[1] Rosenbrock H H.Structural Properties of Linear Dynamic Systems[J].Int.Journal of Control,1974,20 (2):191-202.

[2]Nikoukhah K,Willsky A S and Bernad B C.Kalman Filtering and Riccati Equations for Descriptor Systems [J].IEEE Transactions on Automatic Control,1992, 37(9):1 325-1 341.

[3]吳愛(ài)國(guó),段廣仁.廣義線性系統(tǒng)基于PI觀測(cè)器魯棒極點(diǎn)配置分離原理 [J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,20(4):771-776.

[4]高 媛,李懷敏,鄧自立.帶多層融合結(jié)構(gòu)的廣義系統(tǒng)Kalman濾波器 [J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2008,34(6): 639-646.

[5]劉雙全,李修和,陳明建.非線性濾波算法分析及其性能比較[J].艦船電子對(duì)抗,2008,32(1):56-59.

[6]Shuwen Pan,Hongye Su,Zhitao Liu,et al.Unscented Kalman Filtering Approach for Nonlinear Singular Systems[C]//11th Int.Conf.Control,Automation,Robotics and Vision,Singapore,2010.

[7]V.M.Becerra,P.D.Roberts,G.W.Griffiths.Applying the Extended Kalman Filter to Systems Described by Nonlinear Differential-algebraic Equations[J].Control Engineering Practice,2001,9(3):267-281.

[8] RaviKumarMandela,Raghunathan Rengaswamy, Shankar Narasimhan,et al.Recursive State Estimation Techniques for Nonlinear Differential Algebraic Systems [J].Chemical Engineering Science,2010,65:4 548–4 556.

[9]張卓奎,陳慧嬋.廣義離散隨機(jī)非線性系統(tǒng)的遞推算法[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,34 (2):317-321.

[10]楊冬梅,張慶靈,姚 波.廣義系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,2004:16-21.