雷諾應(yīng)力與流場(chǎng)旋度的關(guān)聯(lián)分析

陳慶義,湯勇,高音

(大連海洋大學(xué)海洋工程學(xué)院,遼寧大連116023)

雷諾應(yīng)力與流場(chǎng)旋度的關(guān)聯(lián)分析

陳慶義,湯勇,高音

(大連海洋大學(xué)海洋工程學(xué)院,遼寧大連116023)

基于雷諾時(shí)均方程導(dǎo)出了含有雷諾應(yīng)力的渦量微分方程。對(duì)于充分發(fā)展湍流流動(dòng)在高雷諾數(shù)弱非定常條件下,從平衡角度分析雷諾應(yīng)力與時(shí)均流場(chǎng)渦量及速度的關(guān)系,得出雷諾應(yīng)力與時(shí)均流場(chǎng)的渦量和速度的耦合作用是相關(guān)聯(lián)的,反映流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的渦量的演化能夠間接表示湍流動(dòng)能的輸運(yùn)和耗散過程。在標(biāo)準(zhǔn)κ-ε模型中,對(duì)其本構(gòu)方程加入渦量張量和變形速度張量使其非線性化后,改善了對(duì)正應(yīng)力的計(jì)算,并能預(yù)示二次流的存在。

雷諾應(yīng)力;κ-ε模型;渦量;本構(gòu)方程

湍流在數(shù)學(xué)上處理起來十分困難的主要原因是,即使在邊界條件非常簡(jiǎn)單的流動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度尺度和時(shí)間尺度變化范圍都很寬。湍流不僅是一種有渦流動(dòng),而且不同尺度旋渦之間的相互作用并不相同[1]。旋渦相互作用的理論主要有Bossinesq-Parandtl-Taylor等的渦黏性假說。渦黏性模型實(shí)際上是一個(gè)旋渦尺度大小分得很開的相互作用模型,而渦黏性概念構(gòu)成了已有湍流模型的基礎(chǔ),這些湍流模型都離不開經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)假定。目前,兩個(gè)應(yīng)用比較廣泛的模型是混合長(zhǎng)度模型和κ-ε模型。用定義變量中一個(gè)長(zhǎng)度尺度和一個(gè)時(shí)間尺度較成功地說明了許多湍流流動(dòng)的主要特征已屬不易,而標(biāo)準(zhǔn)κ-ε模型是典型的兩方程模型,并被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際中。為了提高標(biāo)準(zhǔn)κ-ε模型在一些無界限流動(dòng)、強(qiáng)旋轉(zhuǎn)流動(dòng)和管道的充分發(fā)展流動(dòng)中的預(yù)測(cè)能力,出現(xiàn)了一些修正的κ-ε模型,如典型的(RNG)κ-ε模型和Realizable κ-ε模型[2]。這些模型的主要特點(diǎn)是,在湍流動(dòng)能κ及其耗散率ε的輸運(yùn)方程中考慮了渦量的作用,改進(jìn)了κ-ε模型對(duì)湍流應(yīng)力各向異性的計(jì)算[3]。盡管很多專家認(rèn)為,雷諾應(yīng)力方程模型(RSM)是能發(fā)展成具有真正通用性的經(jīng)典湍流模型,但在非線性模型領(lǐng)域中的最新進(jìn)展也使兩方程模型的研究逐步深入和完善。在這類模型中,將雷諾應(yīng)力的本構(gòu)方程加入速度梯度乘積的非線性項(xiàng),以改變雷諾應(yīng)力與流場(chǎng)速度梯度的線性關(guān)系。現(xiàn)有的研究中,一般是假定一種雷諾應(yīng)力本構(gòu)方程的非線性形式,用數(shù)值模擬典型流動(dòng)來檢驗(yàn)其有效性,并修改參數(shù)值,但關(guān)于加入哪種非線性項(xiàng)在理論上更加合理尚未見報(bào)道。為此,作者在對(duì)非線性項(xiàng)選擇的基礎(chǔ)上進(jìn)行了理論研究,對(duì)于不可壓縮流體,從雷諾方程平衡的角度分析了雷諾應(yīng)力與時(shí)均流場(chǎng)渦量的關(guān)聯(lián)性。

1 兩個(gè)漩渦運(yùn)動(dòng)積分恒等式

引理 設(shè)函數(shù)L(A)滿足

L(A+B)=L(A)+L(B),

L(λA)=λL(A),

則在表面為S的空間區(qū)域E上,推廣的Gauss公式

對(duì)于速度為V、旋度為Ω的流場(chǎng),將引理應(yīng)用于L(▽)=(Ω·▽)V時(shí),▽前的Ω并不滿足常量的條件,但Ω滿足條件▽·Ω=0,上式仍成立。下面給出直角坐標(biāo)系下的證明。

同理,對(duì)于不可壓縮流體,▽·V=0,有

此二式為純運(yùn)動(dòng)學(xué)形式,對(duì)于理想流體和黏性流體都是正確的。

2 基于雷諾時(shí)均方程的渦量方程

應(yīng)用雷諾條件對(duì)Navier-stokes運(yùn)動(dòng)方程施行時(shí)間平均計(jì)算。對(duì)于不可壓流體,雷諾方程為

式中:ν為運(yùn)動(dòng)粘度;ρ為流體密度。雷諾應(yīng)力的出現(xiàn)僅僅是因?yàn)榘阉俣葓?chǎng)分成了平均運(yùn)動(dòng)和脈動(dòng)兩部分,這并不代表任何新的物理機(jī)制。以τij代表雷諾應(yīng)力張量,將式(3)改寫成矢量形式:

對(duì)式(4)兩端進(jìn)行▽×(·)運(yùn)算,對(duì)于有勢(shì)質(zhì)量力,考慮到

得到基于雷諾方程并含有雷諾應(yīng)力張量的渦量動(dòng)量方程為

或

3 雷諾應(yīng)力與流場(chǎng)旋度的關(guān)聯(lián)

3.1 雷諾應(yīng)力散度表達(dá)式的分析

選擇平均流動(dòng)的特征速度U、特征長(zhǎng)度L和特征時(shí)間T,得到式(5)的無因次形式為

式中:St(St=L/TU)為平均流場(chǎng)的Strouhal數(shù), Re(Re=UL/ν)為Reynolds數(shù),若定義特征時(shí)間T =L/U,則St=1。為了不引起歧義,上式中各變量未做改寫,均表示無因次量。

大漩渦的特征速度θ和特征長(zhǎng)度l分別用單位質(zhì)量流體脈動(dòng)動(dòng)能κ和單位質(zhì)量流體脈動(dòng)動(dòng)能的耗散率ε的量綱分析表達(dá)式來定義,即θ=和l=/ε是與平均流動(dòng)的速度U和長(zhǎng)度L同量級(jí)的。在高Re下,用這些大渦的尺度與運(yùn)動(dòng)黏性組成的大渦雷諾數(shù)(θl/ν)也是一個(gè)大的數(shù)值,所以這些大渦受慣性效應(yīng)支配而黏性效應(yīng)可以忽略。脈動(dòng)的作用相對(duì)于黏性作用占主導(dǎo)地位。有關(guān)實(shí)驗(yàn)表明,采用渦黏性概念的話,湍流渦黏性系數(shù)是分子黏性系數(shù)μ的幾萬倍[5],1/ReΔΩ項(xiàng)體現(xiàn)了分子黏性的效應(yīng),相對(duì)于渦黏性作用是小量。湍流本質(zhì)上是非定常的,對(duì)于充分發(fā)展的湍流時(shí)均流場(chǎng),Kolmogorov(1941)的普遍均衡理論表明,較小的漩渦從大漩渦接收能量的速率,非常接近于最小漩渦動(dòng)能耗散為熱的速率,這樣,整個(gè)湍流場(chǎng)就可以在這種極端條件下維持時(shí)均流動(dòng)的相對(duì)穩(wěn)定性。如擬序結(jié)構(gòu)猝發(fā)后,能在小的時(shí)間尺度下看成時(shí)均流動(dòng)是準(zhǔn)定常的。因此,在式(6)中略去項(xiàng)和

因此,必存在一標(biāo)量勢(shì)函數(shù)Π滿足

或

依據(jù)散度的物理意義,▽·τij為一矢量,表示τij在3個(gè)正交方向上相對(duì)于體積的變化。▽?duì)皩?shí)際上是無旋的質(zhì)量力(如重力)和壓力梯度的作用。對(duì)于整個(gè)流場(chǎng)而言,雷諾應(yīng)力的正應(yīng)力的各向異性及切應(yīng)力的對(duì)稱性表明,▽·τij不可能是無旋的(在個(gè)別時(shí)刻可能存在▽·τij是無旋的點(diǎn)),所以從平衡的角度分析,模型化τij時(shí),不必考慮無旋的質(zhì)量力和壓力梯度,只考慮流場(chǎng)的時(shí)均運(yùn)動(dòng)量,如式(7)中顯含旋度Ω。因此,在模型化τij時(shí),考慮流場(chǎng)旋度是合理的。

3.2 渦量和速度的耦合演化關(guān)系

采用歐拉觀點(diǎn)在表面為S的空間區(qū)域E上寫出對(duì)應(yīng)的積分方程

這里應(yīng)用了式(1)和式(2),式(8)左端的物理意義不明確,也很復(fù)雜,但總體上可看成是僅與雷諾應(yīng)力有關(guān)的一階張量在控制體E內(nèi)的總和。對(duì)于式(8)中的(Ω·▽)V,在直角坐標(biāo)系下作如下分析:

其中:l沿Ω方向;α、β、γ分別為▽Vx、▽Vy、▽Vz與l的夾角。由此看出,(Ω·▽)V表示速度沿Ω方向的變化,所以

圖1 速度沿渦量方向的變化Fig.1 The velocity change in the direction of vorticity

圖2 渦量沿速度方向的變化Fig.2 The vorticity change in the direction of velocity

從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看,渦量和速度是相互作用并且耦合在一起的。一方面,渦線的拉伸、壓縮及扭曲使速度發(fā)生變化;另一方面,速度的改變也會(huì)引起渦量的變化。平均流對(duì)大渦所做的拉伸功提供了維持湍流的能量,盡管小漩渦本身受稍大漩渦強(qiáng)烈的拉伸作用,而直接受平均流的作用要小得多。由于

動(dòng)能是從大漩渦向越來越小的漩渦傳下去,所以小尺度漩渦的能量從根本上還是來自于平均流。這樣,用體現(xiàn)平均流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的特征量,即渦量和速度來近似表征各種尺度漩渦能量的輸運(yùn)和耗散是可能的。

4 雷諾應(yīng)力本構(gòu)方程的非線性項(xiàng)分析

在理論上,建立物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系時(shí),力學(xué)中一條重要的本構(gòu)公理,即客觀性公理,可表述為:物質(zhì)的性質(zhì)不隨觀察者的變化而變化,也就是說,本構(gòu)關(guān)系對(duì)于剛性運(yùn)動(dòng)的參考系具有不變性[6]。

因?yàn)閷?shí)際湍流不可能與初始條件和邊界條件無關(guān),所以要確定一個(gè)不隨邊界形狀改變的類似于分子黏性應(yīng)力的表達(dá)式來代表雷諾應(yīng)力是不可能的,就是說得不到不隨邊界條件變化的雷諾應(yīng)力通用表達(dá)式[6]。但有些湍流或湍流的某些區(qū)域,初始條件和邊界條件只在流場(chǎng)中特征時(shí)間和特征長(zhǎng)度同數(shù)量級(jí)范圍內(nèi)有影響,超過這些范圍的點(diǎn),其雷諾應(yīng)力的結(jié)構(gòu)完全由某一時(shí)刻以前歷史上流場(chǎng)中點(diǎn)的平均速度值確定[6]。所以,人們從未放棄對(duì)某些類型的湍流,或湍流的某些區(qū)域列出雷諾應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系的想法。

不可壓流體雷諾應(yīng)力的線性本構(gòu)方程式如下:

式中:μt為渦粘系數(shù),用k將無因次化,設(shè)

則張量bij是對(duì)稱的,并且其跡為零。

依據(jù)上述客觀性公理,在bij的表達(dá)式中可能出現(xiàn)的對(duì)稱且跡為零的二次非線性項(xiàng)有

式中:{}表示張量的跡。

很多湍流流動(dòng)存在二次流,在直方管充分發(fā)展湍流流動(dòng)中是存在的[7]。筆者在文獻(xiàn)[8]中曾構(gòu)造本構(gòu)方程

對(duì)直方管和直圓管充分發(fā)展湍流流動(dòng)進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果表明:系數(shù)A在3個(gè)正應(yīng)力均未出現(xiàn),說明線性項(xiàng)ASij對(duì)正應(yīng)力無貢獻(xiàn);同時(shí),非線性項(xiàng)B(ωimωmj-1/3{ωbmωmk}δij)能體現(xiàn)正應(yīng)力的各向異性,并預(yù)示二次流的存在。

文獻(xiàn)[9]中采用

經(jīng)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)后,對(duì)擴(kuò)比為1.125的后臺(tái)階流動(dòng)、繞方塊的二維分離流動(dòng)和二維U型管道內(nèi)的流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算,與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較,數(shù)值結(jié)果均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)κ-ε模型。

文獻(xiàn)[10]中采用

對(duì)直方管充分發(fā)展湍流流動(dòng)進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果也表明,線性項(xiàng)ASij對(duì)正應(yīng)力無貢獻(xiàn),非線性項(xiàng)B(ωimωmj-1/3{ωbmωmk}δij)和C(SimSmj-1/3{SbmSmk}δij)能體現(xiàn)正應(yīng)力的各向異性,并預(yù)示二次流的存在。

以上計(jì)算結(jié)果的改進(jìn)可以理解為,相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)κ-ε模型,將本構(gòu)方程加入了流場(chǎng)旋度因素并將其非線性化。這方面的研究目前缺乏不同非線性模型間的比較性分析,有很多工作需要進(jìn)行,其主要障礙是有關(guān)湍流的高精度實(shí)驗(yàn)難以進(jìn)行。

5 結(jié)論

根據(jù)以上分析,可得出以下幾點(diǎn)初步結(jié)論:

1)在高Re下充分發(fā)展的實(shí)際湍流中,擬序結(jié)構(gòu)現(xiàn)象提示可以在弱非定常和無黏性條件下,從平衡角度分析雷諾應(yīng)力與時(shí)均流場(chǎng)結(jié)構(gòu)不隨邊界條件變化的本構(gòu)關(guān)系。

2)時(shí)均流場(chǎng)的渦量與速度的演化是耦合在一

起的,以歐拉觀點(diǎn)的任意一有限區(qū)域內(nèi)的雷諾應(yīng)力的演變(即湍流動(dòng)能的輸運(yùn)和耗散)均體現(xiàn)在控制體內(nèi)或其控制面上渦量及速度的耦合演化上。

3)將本構(gòu)方程加入了流場(chǎng)旋度因素并將其非線性化后,能改進(jìn)對(duì)正應(yīng)力的計(jì)算,并能預(yù)示二次流的存在,而對(duì)于某些特殊流動(dòng)應(yīng)用線性本構(gòu)方程是做不到的。

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The relationship analysis of Reynolds stress and vorticity

CHEN Qing-yi,TANG Yong,GAO Yin
(School of Marine Engineering,Dalian Ocean University,Dalian 116023,China)

Based on the time-averaged Reynolds equation a vorticity differential equation with Reynolds stress contained is derived.For the full development turbulence,under condition that the flow is weakly variational with relatively large Reynolds number,the relation of Reynolds stress and the time-averaged vorticity or velocity is analyzed from an angle of equilibrium.It concluded that Reynolds stress is relative to the coupling action of vorticity or velocity and the deduction of vorticity reflecting flow field structure can indirectly express the process of turbulent kinetic energy transport and its rate of dissipation.The non-lineated κ-ε model being added deformation tensor and vorticity tensor has improved the calculation of Reynolds normal stresses,and is capable of predicting the existence of second flow.

Reynolds stress;κ-ε model;vorticity;constitutive equation

2095-1388(2011)01-0083-05

O35

A

2010-12-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10774021);大連海洋大學(xué)校列項(xiàng)目(SY 2007017)

陳慶義(1964-),男,博士生,副教授。E-mail:dlhhjys@163.com