基于能量反應(yīng)譜的結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)豎向分布研究

常 磊， 葉獻(xiàn)國(guó)， 潘文軍

(合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥 230009)

輸入到結(jié)構(gòu)的地震能量與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)，彈性及彈塑性下的能量反應(yīng)不盡相同。彈性下其總輸入能可根據(jù)結(jié)構(gòu)自振周期和振型質(zhì)量方便地計(jì)算，而彈塑性下的能量輸入?yún)s因結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性狀態(tài)的深淺以及結(jié)構(gòu)滯回特性而異，且可能與彈性下的總輸入能有較大的差距[1，2]，因此彈塑性下結(jié)構(gòu)的總能量反應(yīng)仍然難以估計(jì)。

能量在結(jié)構(gòu)豎向的分布受結(jié)構(gòu)豎向特性影響，如結(jié)構(gòu)豎向剛度及其分布等相關(guān)參數(shù)。彈塑性狀態(tài)下，為簡(jiǎn)化研究，學(xué)者們?cè)俣睾哪茉跇菍娱g呈倒三角形或梯形分布[3，4]。但在罕遇地震下，對(duì)具有復(fù)雜滯回模型的結(jié)構(gòu)模型，其滯回耗能分布并不具有簡(jiǎn)單的線性特征:對(duì)框架結(jié)構(gòu)，滯回耗能在層間呈近梯形分布;而對(duì)框剪結(jié)構(gòu)，滯回耗能呈嚴(yán)重的非線性分布[5]。因此，從數(shù)值模擬上來(lái)分析耗能分布以期獲得普適性的規(guī)律顯得較為困難。為研究地震能量在結(jié)構(gòu)中的豎向分布特征，從結(jié)構(gòu)彈性能量反應(yīng)著手顯得比較方便，可避開(kāi)彈塑性下諸多參數(shù)的復(fù)雜影響。此外，由于結(jié)構(gòu)及構(gòu)件的損傷破壞與其耗能密切相關(guān)，研究能量在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的分布規(guī)律非常有意義。研究表明，可建立基于結(jié)構(gòu)構(gòu)件層次的能量不平衡方程，方程的不平衡性是地震能量在結(jié)構(gòu)內(nèi)部得以傳遞和耗散的保證[6]。基于構(gòu)件層次定義的各能量項(xiàng)具有明顯的物理意義，且對(duì)彈性狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)，可用一種模態(tài)非耦合的形式去計(jì)算樓層能量，計(jì)算方便且精度高[7]，但此方法的適用性研究報(bào)道很少。

本文對(duì)樓層能量反應(yīng)的模態(tài)非耦合計(jì)算方法進(jìn)行了參數(shù)及適用性研究，推導(dǎo)了應(yīng)用能量反應(yīng)譜法后結(jié)構(gòu)彈性能量反應(yīng)沿豎向分布的表達(dá)式，并闡述了結(jié)構(gòu)振型及結(jié)構(gòu)剛度振型在樓層能量豎向分布中的意義。

1 樓層能量模態(tài)非耦合計(jì)算的適用性

文獻(xiàn)[7]給出了彈性樓層能量反應(yīng)的模態(tài)非耦合簡(jiǎn)化計(jì)算式(變形能、動(dòng)能、阻尼耗能及總輸入能分別見(jiàn)(1)～(4)式)，但未對(duì)其適用性進(jìn)行研究。

其中，(3)式及本文所有算例均選用Ray leigh阻尼形式[8];a、b為對(duì)應(yīng)的質(zhì)量和剛度矩陣系數(shù)(算例中1、2階阻尼比均為0.02);kj、mj、¨ug(t)分別為結(jié)構(gòu)第j樓層的剛度、質(zhì)量及t時(shí)地震輸入;qi、φji及φK

ji分別為結(jié)構(gòu)第i振型坐標(biāo)和振型以及第i剛度振型在j樓層的分量;列向量元素Ij為0或1。按文獻(xiàn)[7]，樓層動(dòng)能和變形能按簡(jiǎn)化式計(jì)算時(shí)有一定誤差，因此針對(duì)動(dòng)能和變形能，本文考慮了2種不同的方法以驗(yàn)證此簡(jiǎn)化式。

(1)方法1。選用文獻(xiàn)[7]中算例，取1940年美國(guó)Imperial Valley Earthquake記錄之一的南北分量作為地震輸入(峰值加速度341.7 cm/s2，總持時(shí)53.74 s)。按照傅里葉變換理論，修改原記錄的時(shí)間間隔d t，得到具有不同卓越周期(Predominant Period，簡(jiǎn)稱PP)的地震記錄10條，且使各PP接近結(jié)構(gòu)自振周期T或介于其中兩者之間，見(jiàn)表1所列。

隨機(jī)選擇的5條天然地震動(dòng)記錄特性見(jiàn)表2所列。

按(1)式、(2)式計(jì)算能量，并與準(zhǔn)確值(一般的數(shù)值積分法計(jì)算結(jié)果)對(duì)比計(jì)算相對(duì)誤差，結(jié)果如圖1所示，動(dòng)能和變形能計(jì)算相對(duì)誤差分別在10-13和10-7量級(jí)，可見(jiàn)誤差很小。

表1 修改所得10條地震動(dòng)記錄特性s

表2 隨機(jī)選擇的5條天然地震動(dòng)記錄特性

(2)方法2。記文獻(xiàn)[7]的算例為結(jié)構(gòu)Ⅰ，假定各層質(zhì)量和剛度分別為10.2×104kg和3.5× 108N/m，得結(jié)構(gòu)Ⅱ(其各階頻率分布較Ⅰ密集)。從太平洋地震研究中心(The Pacific Earthquake Engineering Research Center，簡(jiǎn)稱PEER)隨機(jī)選擇5次不同地震中記錄的水平分量之一作為地震輸入，仿方法1計(jì)算能量相對(duì)誤差。2種結(jié)構(gòu)動(dòng)能及變形能相對(duì)誤差時(shí)程圖，如圖2所示。研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)能和變形能的相對(duì)誤差仍然很小，分別在10-12和10-7量級(jí)?？紤]選擇地震動(dòng)的隨機(jī)性，可以用簡(jiǎn)化計(jì)算公式(1)～(4)式計(jì)算糖葫蘆串型建筑結(jié)構(gòu) 的彈性樓層能量的準(zhǔn)確性。

圖1 各記錄下結(jié)構(gòu)動(dòng)能及變形能相對(duì)誤差時(shí)程圖

圖2 2種結(jié)構(gòu)動(dòng)能及變形能相對(duì)誤差時(shí)程圖

2 在樓層能量反應(yīng)中應(yīng)用能量反應(yīng)譜

彈性下，考慮設(shè)計(jì)需求，可建立能量反應(yīng)譜[9]，并已成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)總能量反應(yīng)計(jì)算中[2]。考慮在結(jié)構(gòu)能量分布研究中，學(xué)術(shù)界側(cè)重于研究輸入能及變形能的分布規(guī)律，本文針對(duì)(1)式和(4)式分別推導(dǎo)出基于能量反應(yīng)譜的樓層變形能和輸入能的表達(dá)式。按(5)式計(jì)算SDOF各能量的最大反應(yīng)，可得在阻尼比ζi、頻率 ωi(ωi= 2π/Ti)下動(dòng)能、阻尼耗能、變形能及總輸入能反應(yīng)譜值分別為eKi(ζi，ωi)、eDi(ζi，ωi)、eEi(ζi，ωi)和e I i(ζi，ωi)。經(jīng)推導(dǎo)可得第j樓層的樓層輸入能和變形能最大值的表達(dá)式為:

其中，γi為第i振型參與系數(shù)，若調(diào)整各振型使其為1，則(6)、(7)式有更簡(jiǎn)化的表達(dá)式(第2等號(hào))，記此時(shí)的振型為一致振型φ*ji和一致剛度振型φK*ji。

3 算例分析

選取文獻(xiàn)[2]中A記錄，對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅰ(其一致振型及一致剛度振型的平方如圖3所示)進(jìn)行彈性能量反應(yīng)分析，計(jì)算得各樓層輸入能及變形能最大值(Ei-FOR和Ee-FOR)。將此結(jié)果與采用樓層能量反應(yīng)譜法((6)式、(7)式)計(jì)算的結(jié)果(Ei-RSP和Ee-RSP)繪于圖4，并進(jìn)行對(duì)比研究。

圖3 前5階一致振型和一致剛度振型的平方

首先，由圖4a按樓層能量反應(yīng)譜法計(jì)算的樓層能量結(jié)果與準(zhǔn)確值非常吻合;其次，由于在結(jié)構(gòu)前3階周期上隨著階數(shù)增大A記錄的反應(yīng)譜值(輸入能及變形能)以0.1倍的速度遞減，使得第1振型為結(jié)構(gòu)能量反應(yīng)的控制振型，且樓層變形能估計(jì)式((7)式)中高階振型貢獻(xiàn)量又被ω2除，使其貢獻(xiàn)更小，使得按第1階振型估計(jì)時(shí)，變形能要比輸入能更準(zhǔn)確，如圖4b所示。因此，(6)式、(7)式可以很好地估計(jì)樓層能量反應(yīng)最大值。

圖4 樓層能量反應(yīng)譜法與準(zhǔn)確結(jié)果對(duì)比

避開(kāi)算例，分析(6)式、(7)式的組成:若結(jié)構(gòu)第1階振型為控制振型而忽略高階振型，且結(jié)構(gòu)樓層剛度和質(zhì)量分布均勻(即一般建筑結(jié)構(gòu))，則樓層輸入能和變形能反應(yīng)將與結(jié)構(gòu)第1階振型和第1階剛度振型平方成比例。因此，從能量角度，對(duì)比圖3中第1階各振型和圖4，可得結(jié)構(gòu)一致振型和一致剛度振型的平方分別反映了樓層輸入能和樓層變形能沿層分布特征。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)糖葫蘆串模型，首先通過(guò)大量算例探討了樓層彈性能量反應(yīng)的振型非耦合簡(jiǎn)化計(jì)算方法的適用性;然后基于能量反應(yīng)譜的概念，推導(dǎo)出樓層能量反應(yīng)最大值的表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)了能量反應(yīng)譜法在樓層能量反應(yīng)中的應(yīng)用。

分析表明，不同層模型結(jié)構(gòu)在不同地震記錄作用下，簡(jiǎn)化的樓層能量反應(yīng)計(jì)算誤差非常小，可以忽略，用能量反應(yīng)譜可以很好地估計(jì)各層的樓層能量反應(yīng)最大值。針對(duì)輸入能和樓層變形能，本文給出了算例分析和深入探討，結(jié)合提出的結(jié)構(gòu)一致振型矩陣及一致剛度振型矩陣概念，樓層能量反應(yīng)譜法的表達(dá)式較簡(jiǎn)單，且此2種振型可分別反映樓層輸入能和樓層變形能的豎向分布規(guī)律。

對(duì)可簡(jiǎn)化為層模型的普通建筑結(jié)構(gòu)(即質(zhì)量和剛度沿樓層分布均勻)，當(dāng)?shù)?振型為控制振型時(shí)，彈性樓層輸入能和彈性樓層變形能分別按結(jié)構(gòu)第1階(一致)振型及第1階(一致)剛度振型的平方沿層分布。而對(duì)其它結(jié)構(gòu)在彈性狀態(tài)下，不可用(7)式估計(jì)結(jié)構(gòu)樓層變形能反應(yīng);當(dāng)且僅當(dāng)采用對(duì)角質(zhì)量矩陣時(shí)，樓層總輸入能反應(yīng)譜式((6)式)可以采用。

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