二維市場上雙寡頭銷售商間Stackelberg價格與選址競爭

張 暉， 周永務(wù)，2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，安徽合肥 230009;2.華南理工大學(xué)工商管理學(xué)院，廣東廣州 510641)

0 引 言

產(chǎn)品差異化問題可分為橫向差異化與縱向差異化2類，縱向差異化涉及的是產(chǎn)品特性(如產(chǎn)品質(zhì)量、大小等)的差異，而橫向差異化產(chǎn)品在特性上并無差別，只是由于產(chǎn)品特性以外的因素引起的消費者偏好的差異。空間競爭問題屬于橫向差異化的范疇，處于不同地理位置的消費者購買商品時花費的距離成本有區(qū)別，從而導(dǎo)致消費者的偏好產(chǎn)生差異?？臻g競爭問題主要研究2個方面的內(nèi)容:價格的確定與位置的選擇。文獻(xiàn)[1]提出空間競爭問題以后，此類問題就一直是學(xué)者們研究的熱點，其研究內(nèi)容按空間維數(shù)可以分為一維與多維兩大類。

對空間競爭問題的研究大多關(guān)注一維情況。該類研究可以追溯到Hotelling開創(chuàng)性地提出了線性市場、線性距離成本下的兩銷售商選址“最小化”原則[1];文獻(xiàn)[2]后來指出在Hotelling的假設(shè)條件下，“最小化”原則下的均衡價格并不存在。文獻(xiàn)[3，4]指出均衡的存在與否在很大程度上依賴于具體的空間距離成本函數(shù)。文獻(xiàn)[4]同時提出，當(dāng)距離成本函數(shù)是二次的而非線性時，Hotelling模型中的純戰(zhàn)略價格均衡是存在的，且均衡位置在市場區(qū)間的兩端，被稱為“最大化”原則。隨后，諸多學(xué)者對一維市場的空間競爭問題進(jìn)行了深入研究[5-7]。國內(nèi)學(xué)者也給予一維市場的空間競爭問題以足夠的重視，如文獻(xiàn)[8，9]擴(kuò)展了Hotelling模型，研究了Stackelberg價格博弈下雙寡頭銷售商的定價與選址策略。

在多維情況下，文獻(xiàn)[10，11]得出了二維空間市場條件下雙寡頭銷售商的位置應(yīng)符合“最大-最小”原則，即在某一維度最大化產(chǎn)品差異，在另一維度最小化產(chǎn)品差異;文獻(xiàn)[10]將Nash選址博弈與Stackelberg選址博弈進(jìn)行了比較，得出Stackelberg選址博弈要優(yōu)于Nash選址博弈。在三維或更高維的產(chǎn)品差異化問題研究上，文獻(xiàn)[12]得出了類似的結(jié)果，即符合“最大-最小-最小”原則;文獻(xiàn)[13]為二維市場模型添加了用以描述消費者偏好的異質(zhì)性這一隨機變量，以此來確定雙寡頭銷售商的選址問題，并將其推廣到更高維的情形。然而，對于采用Stackelberg價格博奕時銷售商的均衡價格與均衡位置問題，有關(guān)文獻(xiàn)很少。

本文主要研究在一個二維的矩形市場條件下，雙寡頭銷售商間采用Stackelberg價格博弈時雙方的最優(yōu)定價與最優(yōu)選址問題。按傳統(tǒng)空間競爭問題研究方法，先討論第2階段的定價問題，再來分析第1階段的均衡位置的確定問題，得出其均衡位置仍然遵循“最大-最小”原則的結(jié)論。在確定均衡位置后，本文接著來量化均衡價格，通過比較與文獻(xiàn)[11]中的Bertrand-Nash均衡利潤，得出Bertrand-Stackelberg博弈將使得雙方的利潤均優(yōu)于采用Nash價格博弈時的利潤，且作為追隨者的一方能獲得更大的利潤。然后對均衡利潤進(jìn)行簡單分析，揭示均衡利潤與矩形市場邊的長度的關(guān)系。最后，本文用數(shù)值實例來說明模型的應(yīng)用。

1 Bertrand-Nash競爭模型

由文獻(xiàn)[11]，Bertrand-Nash競爭模型下，消費者均勻分布在一個矩形區(qū)域，矩形的長為h單位，寬為1個單位。以該矩形的兩鄰邊作為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，不妨以長為橫軸，寬為縱軸。兩銷售商A和B在市場中的初始位置對稱，且均可以對位置進(jìn)行無成本的變動，以最大化各自的利潤。A與B均無成本地銷售某一同質(zhì)商品，售價分別為p a和 p b，A的初始位置在該市場的左下角，B的初始位置在市場右上角與A對稱的地方。此外，單位消費者單位時間內(nèi)僅消費單位商品，且所有消費者的偏好相同，他們觀察2個銷售商各自的售價和自身到2個商店的空間距離成本，從而選擇去總成本最小的商店購買商品。

分別用(a1，a2)與(b1，b2)來表示A與B的初始位置，則ai≤bi，i=1，2，且將到2個商店無差異的消費者的坐標(biāo)設(shè)為(x1，x2)。無差異消費者(x1，x2)的軌跡表達(dá)式為:

此式可簡化為:

如圖1所示，按寡頭銷售商的位置分為2部分來討論。

圖1 二維市場上銷售商初始位置分類

第1種情況即(b2-a2)/(b1-a1)＜h的情形，此時A與B的位置在圖1中Ⅰ的區(qū)域(圖1中矩形區(qū)域內(nèi)的實線是矩形對角線的垂直平分線)，第2種情況是在圖1中Ⅱ的位置，但分析過程類似。相對稱的銷售商的位置也有可能剛好處于直線MN上，但由于這只是小概率事件，因而，為了討論的方便，可以忽略這種情況。這樣，本文可以僅分析第1種情況，第2種可做類似處理，而且并不影響結(jié)論。由文獻(xiàn)[11]，在Bertrand-Nash競爭的第1種情況下，兩銷售商的最優(yōu)定價與最優(yōu)利潤分別為:

其中，下標(biāo)N表示Bertrand-Nash的均衡結(jié)果。

2 Bertrand-Stackelberg競爭階段分析

在假設(shè)的二維市場中，雙寡頭銷售商的初始位置是給定的，且均可以無成本地調(diào)整自己的位置，以實現(xiàn)均衡利潤。對銷售商來說，第1步就是要確定均衡位置，這也是博弈的第1階段，到博弈的第2階段才是均衡價格的確定。然而，均衡位置的確定是依賴于均衡價格函數(shù)形式的，因此，分析上習(xí)慣于將博弈的2個階段逆過來，先分析博弈的第2階段——價格的競爭，再來分析博弈的第1階段——均衡位置的確定，進(jìn)而可得出均衡狀態(tài)下雙寡頭銷售商的價格、位置與利潤。

2.1 價格的競爭

基本假設(shè)仍然與前面類似，A與B同時進(jìn)入市場，處于相對稱的位置。區(qū)別在于有一方先報價(不妨設(shè)為A，即A為領(lǐng)先者)，作為領(lǐng)先者的A知道追隨者B將根據(jù)自己的報價來調(diào)整報價。A將B的反應(yīng)函數(shù)代入自己的利潤函數(shù)，從而確定自己的最優(yōu)售價。B再根據(jù)A的最優(yōu)售價來確定自己的最優(yōu)售價，這是博弈的第2階段，即以位置為參數(shù)的均衡價格的確定。

與前述類似，本文只討論第1種情形，即(b2-a2)/(b1-a1)＜h的情形。

在第1種情形下，二維市場上無差異的消費者軌跡線截取市場邊界線x2=0，x2=1的橫坐標(biāo)分別為 x1/0與x1/1，如圖2所示(圖中直線MN的斜率是h)。

圖2 二維市場競爭圖示

x1/0與 x1/1的值分別為:

因此，A與B的市場份額分別為:

這樣，B的利潤函數(shù)可表示為:

類似可得A的利潤函數(shù)。

易見，給定p a不變的情況下，πb是p b的凹函數(shù)。

由此，求(7)式的一階條件，得出B關(guān)于A的反應(yīng)函數(shù)(8)式，由于A知道B的該反應(yīng)函數(shù)，經(jīng)整理，可得A的利潤函數(shù)(9)式，即

易知A的利潤對其售價也是凹函數(shù)。因此對(9)式求一階條件，得出A的最優(yōu)定價為:

將(10)式代入(9)式，得出A的最優(yōu)利潤為:

其中，下標(biāo)S表示 Bertrand-Stacklberg的均衡結(jié)果。

將(10)式代入(8)式，可得追隨者B的最優(yōu)定價為:

再將(10)式與(12)式代入(7)式，得出B的最優(yōu)利潤為:

這樣就確定了第2階段的均衡價格與均衡利潤關(guān)于位置的表達(dá)式。

2.2 均衡位置的確定

觀察(13)式，分別對b1、b2求一階偏導(dǎo)，可得其符號函數(shù)分別為:

由假設(shè)A、B對稱，即有條件a1+b1=h，a2+ b2=1。又由b2＞1/2，可知:

類似地，由A、B對稱且a2＜1/2可得出:

由此可知，A的利潤隨著橫坐標(biāo)的增大而減少，隨著縱坐標(biāo)的增大而增加，而B的利潤隨橫坐標(biāo)的增大而增加，隨縱坐標(biāo)的增大而減少。這樣，A與B的均衡位置分別在(0，1/2)與(h，1/2)處。于是，有下面結(jié)論:

結(jié)論1 在矩形市場中的Bertrand-Stackelberg博弈下，均衡位置同樣會導(dǎo)致最大化某一維度差異，卻最小化另一維度差異，即“最大-最小”原則在該博弈下仍然有效。

3 2種博弈下均衡利潤的分析

將A與B的均衡位置代入對應(yīng)的均衡利潤表達(dá)式中，在Bertrand-Stackelberg博弈下，均衡狀態(tài)時雙寡頭零售商的利潤分別為:

而在Bertrand-Nash博弈下，對應(yīng)的均衡狀態(tài)時兩者的利潤為:

顯然，有下面結(jié)論:

結(jié)論2 Bertrand-Stackelberg博弈下雙方的最優(yōu)利潤要優(yōu)于其在Bertrand-Nash博弈下的最優(yōu)利潤，且Bertrand-Stackelberg博弈下追隨者的利潤要嚴(yán)格高于領(lǐng)先者的利潤，即追隨者存在后發(fā)優(yōu)勢。具體來說，領(lǐng)先者的利潤增長了1/8倍，追隨者的利潤增長了9/16倍。

結(jié)論2可以提供一些管理啟示，即雙寡頭的零售商均有動機來執(zhí)行Bertrand-Stackelberg博弈，尤其是作為追隨者的角色來參與Bertrand-Stackelberg博弈。

此外，由(14)式、(15)式可知，不論是采用Bertrand-Nash博弈還是采用 Bertrand-Stackelberg博弈，均衡利潤都對均衡位置所在矩形邊的鄰邊長度呈3次方遞增。而且，通過計算第2種情況可以發(fā)現(xiàn)，均衡利潤對均衡位置所在邊的長度呈線性遞增關(guān)系。于是，有下面結(jié)論:

結(jié)論3 不論是采用Bertrand-Nash博弈，還是采用Bertrand-Stackelberg博弈，雙寡頭銷售商的均衡利潤都關(guān)于所在邊的長度呈線性遞增，關(guān)于其鄰邊長度呈3次方遞增。

由結(jié)論3可知，擴(kuò)大總的市場大小對雙寡頭的銷售商來說都是有利的，尤其是當(dāng)其商店位置相距較大時，繼續(xù)擴(kuò)大該距離能使雙方攫取壟斷利潤的能力大大增加。

4 模型應(yīng)用

小區(qū)通常是由主干道路或其它自然障礙物圍成，是城市的重要組成部分。小區(qū)內(nèi)的一些便利店(如包子店)通常都只服務(wù)于所在小區(qū)，較符合本文模型中不考慮區(qū)域外需求的假設(shè)，可以尋找地理形狀近似為矩形的小區(qū)來描述本文模型的應(yīng)用。

以安徽省合肥市夢園小區(qū)為例來進(jìn)行說明。安徽省合肥市夢園小區(qū)位于合肥市高新區(qū)，小區(qū)的東、南、西、北各邊分別由天柱路、夢園路、香樟大道以及海關(guān)路所圍成，長度分別為550、480、560、470 m，粗略計算之下，鄰邊道路相互垂直且各條道路均為直線，因此可視為一個矩形區(qū)域。小區(qū)內(nèi)僅有A、B 2家包子店，將小區(qū)的地理位置抽象為一個矩形，并作出如圖3所示的坐標(biāo)系。

圖3 2家包子店的初始位置 A′、B′與均衡位置A″、B″

由于2家店主一開始都各自選擇其居住地作為其店址，這樣就產(chǎn)生了A與B的初始位置A′、B′。

使用本文模型的解決辦法，2家店面都進(jìn)行了重新選址。由于包子店重新選址的成本可以忽略不計，因此符合本文的假設(shè)。重新選址后2家店面的位置分別位于A″與B″。其中，A″位于小區(qū)的北門旁，位置距離小區(qū)的東北角為180 m;B″位于小區(qū)南門往里20m處。鑒于實際問題的復(fù)雜性以及各種粗略的近似，A″與B″可視為符合模型的均衡位置。

由該案例可以看出，本文模型在實際中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是考慮到面向小區(qū)服務(wù)的各種便利店。由于實際問題的復(fù)雜性，實際的商店位置可能會與理論上的均衡位置存在細(xì)微的差異，但這并不影響本文模型在實際中的應(yīng)用。

5 結(jié)束語

本文研究了在二維矩形市場中，消費者需要考慮空間距離成本的情況下，銷售同質(zhì)商品的2個寡頭銷售商在Bertrand-Stackelberg博弈下對商品的定價與選址問題，并提供一個實例來說明其應(yīng)用。通過與 Bertrand-Nash均衡利潤的比較，得出如下結(jié)論:

(1)在均衡位置方面，2個銷售商仍然遵循著“最大-最小”原則。

(2)Bertrand-Stackelberg博弈更能使銷售商獲益，尤其是對扮演追隨者角色的銷售商而言更是如此，這提供了一定的管理啟示。

進(jìn)一步研究的問題是:對于2個銷售商來說，追隨者將比領(lǐng)先者更具有獲利能力，那么，究竟由誰來扮演領(lǐng)先者的角色。此外，本文沿用文獻(xiàn)[11]的假設(shè)，將2個銷售商初始位置設(shè)為對稱，然而，現(xiàn)實中銷售商的位置可能是任意的。因此，進(jìn)一步研究可以放寬該假設(shè)條件，將其擴(kuò)展為初始位置任意的情況。另外，本文研究限于二維市場中的矩形市場，可以將矩形市場擴(kuò)展為其它形狀的市場來進(jìn)行研究，甚至可以擴(kuò)展為不規(guī)則形狀的二維市場。

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