流向磁場作用下二維磁流體槽道湍流直接模擬

陳 智 張勁柏 李椿萱

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

流向磁場作用下二維磁流體槽道湍流直接模擬

陳 智 張勁柏 李椿萱

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

對低磁雷諾數(shù)近似下流向磁場作用的二維磁流體槽道湍流進(jìn)行了直接數(shù)值模擬(DNS，Direct Numerical Simulation)，給出了Re=10000時(shí)不同磁相互作用數(shù)下二維磁流體槽道湍流的近壁速度分布、湍流脈動(dòng)速度均方根、雷諾應(yīng)力等統(tǒng)計(jì)量的變化，并與中性流體二維槽道湍流進(jìn)行了比較.結(jié)果表明:流向磁場作用會(huì)導(dǎo)致對數(shù)區(qū)上移;雷諾應(yīng)力最大值隨磁相互作用數(shù)呈線性變化;隨著磁相互作用數(shù)的增大，下壁面平均渦量的時(shí)間演化由擬周期性向周期性轉(zhuǎn)變，且脈動(dòng)周期逐漸增大并當(dāng)流動(dòng)層流化后下壁面平均渦量成為常值.

磁流體力學(xué);湍流;槽道流動(dòng);直接數(shù)值模擬

航空航天領(lǐng)域?qū)Υ帕黧w湍流的研究主要基于磁流體強(qiáng)化超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)和湍流控制技術(shù)的應(yīng)用背景.然而，目前對磁流體湍流的認(rèn)識仍極有限.長期以來，磁流體湍流的實(shí)驗(yàn)研究大部分在液態(tài)金屬中進(jìn)行，其測量手段迄今仍十分匱乏，從而嚴(yán)重制約了實(shí)驗(yàn)研究的進(jìn)展.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)用直接數(shù)值模擬(DNS，Direct Numerical Simulation)開展湍流基礎(chǔ)研究已逐步成為現(xiàn)實(shí).近年來國外在磁流體湍流的DNS研究上也取得了一定的成果［1－3］.但除中性流體湍流所含無量綱參數(shù)外，磁流體湍流中尚含若干表征電磁效應(yīng)與流動(dòng)效應(yīng)相關(guān)性的無量綱參數(shù).其中表征電磁力與慣性力之比的磁相互作用數(shù)N直接影響磁場對磁流體湍流的抑制作用.當(dāng)N足夠大時(shí)，可令流動(dòng)層流化.為了研究N不同時(shí)磁場與湍流場相互作用的機(jī)理，需要計(jì)算不同磁相互作用數(shù)下磁流體湍流流動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性.因此，應(yīng)用DNS對磁流體湍流開展參數(shù)研究時(shí)所需計(jì)算量將遠(yuǎn)大于對中性流體湍流的直接模擬.

湍流在本質(zhì)上具有三維屬性，特別是在渦的扭轉(zhuǎn)和拉伸起重要作用的壁湍流中.但在數(shù)值模擬過程中，確實(shí)可以得到二維擾動(dòng)的飽和態(tài)流場.該流場具有諸多與三維湍流相似的特征，如對初始條件十分敏感;具有至少一個(gè)正的Liapunov分量;均具有上拋、下掃、間歇現(xiàn)象等.因此，分析二維湍流不僅可大量節(jié)約機(jī)時(shí)，同時(shí)對實(shí)際湍流的機(jī)理研究有一定的借鑒意義［4－5］.據(jù)此，本項(xiàng)研究提出通過“二維低磁雷諾數(shù)磁流體湍流”的直接數(shù)值模擬觀察不同磁相互作用數(shù)下二維磁流體槽道湍流統(tǒng)計(jì)特性的變化.本文給出了Re=10 000時(shí)，磁場沿流向作用，磁相互作用數(shù)從0～10的30個(gè)算例的計(jì)算結(jié)果.

1 數(shù)學(xué)模型與計(jì)算方法

1.1 控制方程

完整的磁流體流動(dòng)控制方程由描述流動(dòng)的N-S(Navier-Stokes)方程和描述電磁效應(yīng)的Maxwell方程組成.對于低磁雷諾數(shù)不可壓縮流動(dòng)，即當(dāng)Rem=μ0σUδ?1(σ 為電導(dǎo)率;μ0為磁導(dǎo)率;U為流動(dòng)特征速度;δ為流動(dòng)特征長度)時(shí)，感生磁場相對于外加磁場可忽略不計(jì)，又假設(shè)流體電導(dǎo)率為常數(shù)，上述方程組的無量綱形式可退化為

其中，u為速度矢量;p為壓力;B為外加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度;φ為電勢.可以看到，式(1)中包含2個(gè)無量綱參量，即雷諾數(shù)Re=ρUδ/μ和磁相互作用數(shù) N= σB2δ/ρU.

對于均勻外加磁場，由速度場和磁場的螺旋條件(零散度)可將電勢方程簡化為

1.2 二維粘性不可壓導(dǎo)電流體槽道流動(dòng)

現(xiàn)考慮兩平行無限大平板間的二維粘性不可壓低磁雷諾數(shù)導(dǎo)電槽道流動(dòng)，如圖1所示.假設(shè)平板為絕緣壁;流動(dòng)由x(平行于平板)方向的平均壓力梯度驅(qū)動(dòng);流體的電導(dǎo)率為常數(shù);恒定、均勻的外加磁場作用于x方向.由于 Δ×u為z向渦量，則由式(2)可得到

圖1 二維粘性不可壓導(dǎo)電流體槽道流動(dòng)

結(jié)合絕緣壁面條件及電場的流向周期條件:

有φ=0，于是式(1)可化簡為

可以看到，式(5)是以洛侖茲力N(u×B)×B為徹體力的經(jīng)典N-S方程.由于B是沿x方向布置的常矢量，因此洛侖茲力僅出現(xiàn)在y方向的動(dòng)量方程中，且為速度的線性項(xiàng).因此可以使用譜方法求解方程式(5).

1.3 計(jì)算方法

算例的直接數(shù)值模擬采用Fourier-Chebyshev譜方法，即在流向采用周期性邊界條件的Fourier級數(shù)展開，在法向用Chebyshev多項(xiàng)式展開.計(jì)算域取為4π×2，相應(yīng)的計(jì)算網(wǎng)格為128×129.時(shí)間推進(jìn)采用二階時(shí)間分裂格式.在計(jì)算過程中運(yùn)用3/2法則消除混淆誤差.有關(guān)數(shù)值方法的細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)［6］.

為了維持槽道內(nèi)的湍流流動(dòng)，需要給定外加驅(qū)動(dòng)力.驅(qū)動(dòng)力的給定一般存在兩種形式:①給定平均壓力梯度為常值，此時(shí)應(yīng)以壁面摩擦速度uτ作為參考速度;②給定槽道流量為常值，以層流中心線最大速度uc或槽道平均速度um為參考速度.為便于與文獻(xiàn)［4］的工作相對比，本文采用了后者，即維持x方向槽道的流量不變，并以uc為參考速度.

2 中性流體二維槽道湍流的DNS

為驗(yàn)證本文所采用算法及供磁流體算例對比之用，首先對Rec=10000的中性流體二維槽道湍流進(jìn)行了直接數(shù)值模擬.

表1和表2分別給出了不同雷諾數(shù)下無量綱的下壁面平均渦量ω的時(shí)均值及脈動(dòng)均方根值.從表中可以看出本文結(jié)果與文獻(xiàn)［4］結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了本文程序的正確性.

表1 不同Re下壁面平均渦量的時(shí)均值

表2 不同Re下壁面平均渦量的脈動(dòng)均方根

3 二維磁流體槽道湍流的統(tǒng)計(jì)特性

為了取得二維磁流體槽道湍流在流向磁場作用下的統(tǒng)計(jì)特性，在此計(jì)算了Rec=10000時(shí)磁相互作用數(shù)從0～10的30個(gè)算例.

3.1 平均速度

圖2所示是以流向壁面剪切速度無量綱化后的流向平均速度型.從圖中可以看出，在粘性底層(y+＜5)，不同磁相互作用數(shù)下速度型基本重合，說明流向磁場對粘性底層的影響十分有限.而在對數(shù)區(qū)(y+＞30)，隨著磁相互作用數(shù)的增加，流向平均速度型相對于中性流體湍流有所抬高，而當(dāng)N＞0.1時(shí)已基本與層流速度型相重合.該趨勢與三維模擬的結(jié)果是一致的［1］.在一些以抑制湍流脈動(dòng)的方式進(jìn)行減阻的技術(shù)如聚合物減阻、主動(dòng)吹吸減阻中也出現(xiàn)對數(shù)區(qū)上移的現(xiàn)象.

圖2 不同磁相互作用數(shù)下的平均速度剖面

3.2 脈動(dòng)速度均方根

圖3給出了中性流體二維槽道湍流用壁面剪切速度uτ0無量綱化后的脈動(dòng)速度均方根urms，vrms分布.需要指出，二維槽道湍流的脈動(dòng)速度均方根分布與三維槽道湍流存在相當(dāng)大的差異.三維湍流在槽道中心線附近各方向的脈動(dòng)速度均方根基本相同，而二維槽道湍流在槽道中心線附近法向速度的脈動(dòng)速度均方根遠(yuǎn)大于流向，速度脈動(dòng)呈現(xiàn)很大的各向異性.因此，可以預(yù)料磁場對速度脈動(dòng)的影響也將有顯著的差異，相關(guān)的二維湍流研究的意義亦僅局限在磁場對二維湍流速度脈動(dòng)的影響上，與三維流動(dòng)無可比性.

圖3 無量綱的二維湍流脈動(dòng)速度均方根

圖4、圖5給出了流向磁場作用下以中性流體二維槽道湍流壁面剪切速度uτ0無量綱化的脈動(dòng)速度均方根與壁面距離間的關(guān)系.可以看到，磁場對槽道中心區(qū)域流向速度脈動(dòng)的抑制作用要弱于對數(shù)區(qū)，磁場有抹平流向速度脈動(dòng)分布的作用.這是由于此時(shí)磁場的作用是將y方向的脈動(dòng)轉(zhuǎn)化為沿y方向的脈動(dòng)洛侖茲力.該額外的剪切應(yīng)力將對數(shù)區(qū)的脈動(dòng)能量傳遞到了中心線區(qū)，從而維持了中心線區(qū)的脈動(dòng).

圖4 無量綱流向脈動(dòng)速度均方根

圖5 無量綱法向脈動(dòng)速度均方根

圖6顯示了以uτ0無量綱的中心線脈動(dòng)速度均方根隨磁相互作用數(shù)的變化.從圖中可以看出，隨著磁相互作用數(shù)的提高，法向脈動(dòng)速度均方根vrms單調(diào)減小，而流向脈動(dòng)均方根urms則呈現(xiàn)非線性變化，開始逐漸減小，當(dāng)N達(dá)到0.004 2左右時(shí)突然增大到略大于N=0時(shí)的值，此后又逐漸減小，該現(xiàn)象在三維磁流體槽道湍流中并未見報(bào)道，其具體機(jī)理有待進(jìn)一步研究.

圖6 中心線上無量綱脈動(dòng)速度均方根隨磁相互作用數(shù)的變化

3.3 雷諾應(yīng)力

圖7給出了以τ0無量綱的不同磁相互作用數(shù)下雷諾應(yīng)力的分布，τ0是中性流體二維槽道湍流的壁面剪切應(yīng)力.可以看到，雷諾應(yīng)力的峰值位置并不隨磁相互作用數(shù)的變化而變化.而其峰值大小隨磁相互作用數(shù)的變化見圖8，在未層流化前雷諾應(yīng)力的峰值與磁相互作用數(shù)近似呈線性關(guān)系.

圖7 無量綱雷諾應(yīng)力隨磁相互作用數(shù)的變化

圖8 無量綱雷諾應(yīng)力最大值隨磁相互作用數(shù)的變化

3.4 下壁面平均渦量

文獻(xiàn)［4］指出，在Rec=10 000的中性流體二維槽道流動(dòng)中，下壁面平均渦量呈現(xiàn)擬周期的變化規(guī)律.本文的計(jì)算結(jié)果很好地重現(xiàn)了該規(guī)律(圖9a).

圖9 不同磁相互作用數(shù)無量綱下壁面平均渦量隨無量綱時(shí)間演化圖

本文進(jìn)一步研究了流向磁場作用下下壁面平均渦量時(shí)間演化隨磁相互作用數(shù)的變化規(guī)律，如圖9b～圖9f所示.可以看到，隨著磁相互作用數(shù)的增加，下壁面平均渦量時(shí)間演化的擬周期性變化不斷增強(qiáng)(圖9b～圖9d)，而后完全形成周期性變化(圖9e).與此同時(shí)，其脈動(dòng)周期也逐漸增大，直至進(jìn)入層流狀態(tài)后變化才終止，此時(shí)下壁面平均渦量成為一個(gè)常數(shù)，不隨時(shí)間變化(圖9f).該變化趨勢可解釋為磁場將y方向的速度脈動(dòng)轉(zhuǎn)化為y方向的剪切應(yīng)力，增強(qiáng)了y方向的混合作用，從而令x方向的剪切作用得到了加強(qiáng)，消耗了湍流脈動(dòng)能量，使流場趨于穩(wěn)定，并最終層流化.

4 結(jié)論

本文在低磁雷諾數(shù)近似下對流向磁場作用下二維磁流體槽道湍流進(jìn)行了直接數(shù)值模擬.計(jì)算結(jié)果表明:

1)粘性底層基本不受磁場的影響，而對數(shù)區(qū)則相較于無磁場作用時(shí)有所抬高.

2)磁場對槽道中心區(qū)流向脈動(dòng)速度的抑制弱于對數(shù)區(qū).中心線上壁面法向脈動(dòng)速度均方根隨磁相互作用數(shù)的增強(qiáng)單調(diào)減小，流向脈動(dòng)速度均方根則呈非線性變化.

3)磁場不影響雷諾應(yīng)力峰值的位置，且其峰值與磁相互作用數(shù)呈近似線性關(guān)系.

4)隨著磁相互作用數(shù)的增強(qiáng)，下壁面平均渦量的擬周期性變化不斷增強(qiáng)，并逐步演變?yōu)橹芷谛宰兓瑫r(shí)其脈動(dòng)周期逐步增大，并在進(jìn)入層流狀態(tài)后下壁面平均渦量成為一個(gè)常數(shù)，不隨時(shí)間變化.

References)

［1］ Lee D，ChoiH.Magnetohydrodynamic turbulent flow in a channel at low magnetic Reynolds number［J］.JFluid Mech，2001，439(1):367－394

［2］ Krasnov D S，Zienicke E，Zikanov O，et al.Numerical study of the instability of the Hartmann layer［J］.J Fluid Mech，2004，504:183－211

［3］ Krasnov D S，Zikanov O，Schumacher J，et al.Magnetohydrodynamic turbulence in a channelwith spanwisemagnetic field［J］.Physics of Fluids，2008，20(9):095105 －095105-19

［4］ Javier J.Transition to turbulence in two-dimensional poiseuille flow［J］.JFluid Mech，1990，218:265 －297

［5］李新亮，馬延文，傅德薰，二維槽道湍流的標(biāo)度率分析［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)［J］，2002，34(5):604－608 Li Xinliang，Ma Yanwen，F(xiàn)u Dexun.Scaling law in two-dimensional turbulent channel flow［J］.Acta Mechanica Sinica，2002，34(5):604－608(in Chinese)

［6］ Kamiadakis G E，Israeli M，Orszag S A.High-order splitting methods for the imcompressible Navier-Stockes equations［J］ .J Com Phys，1991，97(2):414 －443

(編 輯:李 晶)

DNS of two-dimensionalMHD turbulent channel flow under action of streamw ise magnetic field

Chen Zhi Zhang Jinbai Lee Chun-Hian

(School of Aeronautic Science and Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China)

A direct numerical simulation(DNS)of two dimensional，conducting turbulent channel flow under the action of applied streamwise magnetic fields was performed based on the low magnetic Reynolds number approximation.The numerical results with Re=10000 under the action of different magnetic interaction numbers ranging from 0.001 to 10 were analyzed.The computed variations of the near-wall velocity distribution，root mean squares(RMS)of the fluctuation velocity，and the Reynolds stresses were presented and compared to the case with neutral fluid.The results show that stream wise magnetic field results in an upward shift of the log layer，the maximum of Reynolds stress varies linearly with interaction number.With the increment of interaction number，the time evolution of average vorticity of the bottom wall shows a growing trend in periodicity and the average vorticity of the bottom wall becomes a constant value finally when relaminarization happens.

magnetohydrodynamics(MHD);turbulence;channel flow;direct numerical simulation(DNS)

O 361.5

A

1001-5965(2011)05-0605-05

2010-01-29

陳 智(1983－)，男，湖北武漢人，博士生，chenzhi110@gmail.com.