Alpha穩(wěn)定分布隨機(jī)變量仿真及模型參數(shù)估計(jì)

康亞明，曹保衛(wèi)

（1.榆林學(xué)院信息工程學(xué)院，陜西榆林719000；2.榆林學(xué)院圖書館，陜西榆林719000）

α穩(wěn)定分布是滿足廣義中心極限定理的唯一一類分布。常規(guī)高斯分布的動(dòng)因也是中心極限定理，可見α穩(wěn)定分布在理論上的合理性與高斯分布是一樣的。α穩(wěn)定分布能夠描述更加廣泛的數(shù)據(jù)，甚至可以描述很多不滿足中心極限定理的數(shù)據(jù)，因此具有更普遍的意義。α穩(wěn)定分布能夠非常好的和數(shù)據(jù)相吻合。Stuck等人已經(jīng)證明，電話線路中的噪聲可以有效地利用α穩(wěn)定分布描述[1]。Nikias等人證明了α穩(wěn)定分布是描述大氣噪聲的非常好的模型[2]。Ilow的研究表明穩(wěn)定分布與無(wú)線網(wǎng)絡(luò)中的多徑干擾和雷達(dá)系統(tǒng)的反向散射回波相符合[3]。Mandelbrot利用α穩(wěn)定分布對(duì)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列建模工作也很成功[4]。

1 Alpha穩(wěn)定分布序列分布

1.1 Alpha穩(wěn)定分布的概念

α穩(wěn)定分布是一類適用范圍很寬并得到廣泛應(yīng)用的隨機(jī)信號(hào)模型，包括高斯分布（α=2）和分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布（0＜α＜2）兩種情況。與大多數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型不同，除了幾種已知的分布情況之外，α穩(wěn)定分布沒有一個(gè)概率密度函數(shù)的閉式解。1978年Sutkc利用特征函數(shù)對(duì)α穩(wěn)定分布作了最有效的描述[5]，α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)可以表示為：

其中

可見，通過4個(gè)參數(shù):α，a，β，γ便可以完全確定一個(gè)穩(wěn)定分布的特征函數(shù)。其中

1）α稱為特征指數(shù)，它是被唯一確定的。特征指數(shù)用來(lái)度量分布函數(shù)拖尾的厚度。一個(gè)穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量，其值越小，表明其拖尾越厚，則偏離其中心值（均值或中值）的樣本越多。其α值越大，則越趨向于高斯過程。α=2表示分布為高斯分布。α=l，β=0表示分布為柯西分布。

2）γ稱為分散系數(shù)，其意義與高斯分布中的方差類似，在高斯分布的情況下等于方差的一半。

3）β稱為對(duì)稱參數(shù)，β=0表示分布為對(duì)稱α穩(wěn)定分布或稱SαS。

4）a稱為位置參數(shù)0，對(duì)于SαS分布，當(dāng)1＜a≤2時(shí)，a為α穩(wěn)定分布的均值。當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a表示其中值。

分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布的顯著特征是它具有比高斯分布的指數(shù)（exponential）拖尾明顯厚的代數(shù)（algebraic）拖尾，α越小，拖尾越重。這個(gè)性質(zhì)使得分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布可以較為理想地描述某些沖激信號(hào)。

圖1給出了不同的特征指數(shù)α下的標(biāo)準(zhǔn)SαS分布的概率密度函數(shù)曲線。從圖中可以看出，α=2時(shí)的SαS概率密度函數(shù)曲線與零均值方差為2的高斯分布一致，α=1時(shí)與柯西分布一致。同時(shí)，SαS分布的概率密度函數(shù)保留了許多高斯分布的特征：光滑，單峰分布，關(guān)于中值或均值對(duì)稱的，鐘型。對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)和SαS密度函數(shù)的細(xì)節(jié)可以看到，非高斯α穩(wěn)定分布與高斯分布有以下不同:x的絕對(duì)值較小時(shí)，SαS密度函數(shù)比正態(tài)分布有更尖的峰，對(duì)于一些中間值，SαS分布低于正態(tài)分布。最重要的是，SαS分布的概率密度函數(shù)有著比高斯分布更厚重的拖尾，α的值越小，拖尾越厚重。

圖1 特征指數(shù)α取不同值時(shí)的SαS分布概率密度函數(shù)曲線Fig.1Probability density function curve of SαS distribution for different α

1.2 Alpha穩(wěn)定分布的兩個(gè)重要特性

α穩(wěn)定分布的兩個(gè)重要特性是穩(wěn)定特性和符合廣義中心極限定理特性，Breiman于1968年提出α穩(wěn)定分布的穩(wěn)定特性和廣義中心極限定理特性[2]：

1）穩(wěn)定特性一個(gè)隨機(jī)變量X具有穩(wěn)定分布的充分必要條件為，存在隨機(jī)變量X1andX2相互獨(dú)立，且具有與X相同的參數(shù)，對(duì)任意常數(shù)α1，α2有常數(shù)a和b使等式α1X1+α2X=aX+b成立。Xd=Y表示隨機(jī)變量X和Y具有相同的分布。利用穩(wěn)定分布的特征函數(shù)，可以得到更具一般性的結(jié)論：如果隨機(jī)變量X1，X2....，Xn是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且均為符合相同的（α，β）參數(shù)確定的穩(wěn)定分布，則具有形如∑ajXj的所有線性組合都是穩(wěn)定分布的，且具有相同的參數(shù)α和β。

2）廣義中心極限定理特性X1，X2，....，Xn為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，當(dāng)n→∞時(shí)，它們的極限和Sn=（X1，X2，....，Xn）/αn-bn的分布為穩(wěn)定分布。特別地，如果Xi（i=1，2，...，n）是獨(dú)立同分布的且具有有限方差，那么此極限和的分布為高斯分布。即一般的中心極限定理。

因此，用α穩(wěn)定分布作為基本的統(tǒng)計(jì)建模工具的理論依據(jù)如同高斯分布的情況相同，均源于中心極限定理。中心極限定理是指，具有有限方差的充分多的獨(dú)立同分布（IID）的隨機(jī)變量，它們和的分布近似為高斯分布。廣義中心極限定理指出，無(wú)限多的獨(dú)立同分布隨機(jī)分量，無(wú)論是否有有限的方差，它們的和將收斂于穩(wěn)定分布。因此，非高斯穩(wěn)定分布源于隨機(jī)變量的和，這和高斯分布是一樣的。如果觀測(cè)信號(hào)或噪聲可被看作很多獨(dú)立同分布分量疊加的結(jié)果，則由廣義的中心極限定理可知，用穩(wěn)定分布模型建模是合適的。

2 α隨機(jī)變量的產(chǎn)生

在進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真研究中，經(jīng)常需要利用特定的算法，根據(jù)給定的要求來(lái)產(chǎn)生有關(guān)信號(hào)和噪聲。假定我們要產(chǎn)生階數(shù)為（0＜α≤2）的α穩(wěn)定分布序列x（n）,滿足α=0和－1＜β＜1。若α=1，則定義

若α≠1，則定義

這樣滿足給定α值的分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量X由下式給出

對(duì)上述過程進(jìn)行循環(huán)，則可以得到一個(gè)滿足給定條件的分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布序列x（n）。

3 數(shù)據(jù)產(chǎn)生結(jié)果

1）不同α值對(duì)峰值的影響對(duì)比如圖2所示。

2）不同β值對(duì)累積概率分布的影響如圖3所示。

圖2 概率累積分布（β=0）Fig.2Cumulative probability distribution（β=0）

?圖3不同β值對(duì)累積概率分布的影響Fig.3Effect to the cumulative probability distribution of differentβ

3）不同α值對(duì)累積概率分布曲線的拖尾的影響，如圖4所示。

圖4 概率密度曲線Fig.4Probability density curve

4 動(dòng)態(tài)樣本方差檢測(cè)

上面的內(nèi)容簡(jiǎn)單介紹了α穩(wěn)定分布的基本模型及性質(zhì)，在實(shí)際的應(yīng)用問題中，往往需要判斷給定序列是高斯分布（α=2）的，還是分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布（α＜2）的，以便決定采取不同的信號(hào)處理方法。判斷序列高斯特性的常用方法是計(jì)算該序列的動(dòng)態(tài)樣本方差[6]。若xk，k=1，2，...，N是一個(gè)隨機(jī)序列，對(duì)于1≤n≤N，其動(dòng)態(tài)樣本方差定義為

其中

繪出S2n隨n變化的曲線，如果序列為高斯分布，則其具有有限的方差，對(duì)應(yīng)的S2n曲線收斂為一個(gè)有限值。反之，若序列為非高斯的α穩(wěn)定分布序列，則它沒有有限的方差，對(duì)應(yīng)的S2n曲線不能穩(wěn)定的收斂。由此可以粗略判斷給定序列是否為高斯分布的序列。這種方法稱為動(dòng)態(tài)樣本方差檢驗(yàn)。

圖5 α=1.5，β=0時(shí)的動(dòng)態(tài)樣本方差Fig.5Dynamic sample variance of α=1.5，β=0

圖6 α=2.0，β=0時(shí)的動(dòng)態(tài)樣本方差Fig.6Dynamic sample variance of α=2.0，β=0

由圖5與圖6對(duì)比可知，當(dāng)α≠2.0時(shí)，方差不能趨向于一個(gè)恒定值，當(dāng)α=2.0時(shí)α穩(wěn)定分布的方差值趨向于一個(gè)均值，因?yàn)楫?dāng)α=2.0時(shí)α穩(wěn)定分布就是一個(gè)正態(tài)分布。

5 α穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)

如果知道一個(gè)分布序列如何得知它們的具體參數(shù)，從而方便一個(gè)系統(tǒng)的仿真更能很好地描述實(shí)際情況，下面具體介紹如何得出一個(gè)已知序列的α，β的近似值。

由于對(duì)于不同β值的α分布，只要α給定，無(wú)論β值如何變化，它的累積概率分布函數(shù)的峰值不會(huì)變化；與此相同，如果β值一定，無(wú)論α如何變化，它的累積概率分布函數(shù)的偏度不會(huì)變化?；谏蠑?shù)特性，可以建立一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，從得知的已知分布序列的累積概率分布的峰值和偏度可以大致得知該分布近似于的α，β兩個(gè)參數(shù)。

通過已知標(biāo)準(zhǔn)的α穩(wěn)定分布序列得知以下參數(shù)：

表1 偏度和峰值分布對(duì)照表Tab.1Compared table of skewness and peak

例如：已知一個(gè)分布序列的累積概率分布函數(shù)的參數(shù)為：偏度：－0.705 6峰值：109.100 5，查表1可知該分布的大致范圍為0.4＜β＜0.6，0.6＜α＜0.8，而事實(shí)上這是一個(gè)α=0.7，β=0.51的α穩(wěn)定分布。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文通過描述α分布的累積概率密度函數(shù)的圖像來(lái)分析α穩(wěn)定分布的特性，結(jié)論基本符合要求。通過對(duì)α穩(wěn)定方差的描述可以得出α穩(wěn)定分布和正態(tài)分布的差異，得出正態(tài)分布是α穩(wěn)定分布的一個(gè)特殊情況，所以α穩(wěn)定分布更能描述信道中的噪音。最后做了未知序列的參數(shù)估計(jì)，本估計(jì)比較粗略，可以更近一步細(xì)化估計(jì)，但是考慮到工程要求，只做誤差為0.2的參數(shù)估計(jì)。

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