用約化方法對可展期的企業(yè)債券定價

任學敏,劉紅梅

(同濟大學 數(shù)學系,上海200092)

,化為拋物型方程的基本形式為

隨著金融市場的發(fā)展和完善,投資者對金融風險的承受力的增強,發(fā)行企業(yè)債券成為公司融資的重要渠道.企業(yè)債券的明顯特性是具有信用風險.目前處理企業(yè)債券定價和信用風險主要有兩種方法,結(jié)構(gòu)化方法和約化方法.結(jié)構(gòu)化方法是把公司債券看成是關(guān)于公司資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán),其敲定價格為債務額.最早由Merton等人[1]提出.為解決由Merton模型得到的公司違約概率過低問題,考慮到公司可在債券到期前破產(chǎn),Black和Cox等人[2]提出了首次通過模型,即當公司資產(chǎn)值下降到事先約定的閾值(違約邊界)時,債權(quán)人有權(quán)強制公司破產(chǎn)以保護債券持有人的利益.Longstaff和Schwartz[3]把首次通過模型推廣到隨機利率情形.為解決連續(xù)模型的在債券快到期時的違約概率幾乎為零的問題, Zhou[4]引入了跳擴散模型.而約化方法則把公司違約看成是一個外在的過程,用Poisson過程來描述,即第一次發(fā)生跳時公司就違約.約化方法由Jarrow和 Turnbull[5],Jarrow,Lando和 Turnbull[6]以及Duffie和Singleton[7]等人最早采用.

本文考慮一種可展期的企業(yè)債券,即企業(yè)在發(fā)行債券時事先約定,企業(yè)有權(quán)在債券到期日 T視市場利率水平?jīng)Q定是否以發(fā)行時的收益率把企業(yè)債的到期日延長到T1(T1＞T).顯然,在到期日T,如果市場利率上升,企業(yè)的重新融資的成本將提高,企業(yè)將會選擇延展債券的到期日;反之,如果市場利率下降,企業(yè)的重新融資的成本將下降,企業(yè)將不會延展債券的到期日.從債券投資人角度看,這給了企業(yè)一個規(guī)避利率風險的權(quán)利,同時,由于是企業(yè)債券,在可能的延展期[T,T1]內(nèi),投資人還要承受企業(yè)可能破產(chǎn)的風險,因此,必須給投資人以補償,即提高其收益率或等價地降低售價.

1 約化方法簡介及偏微分方程推導

約化方法僅考慮違約時間,回收率通常是外在(exogenous)給定的.跳的強度λ可為常數(shù)、確定的函數(shù)或隨機過程.由于λ為常數(shù)時模型簡單,使用上比較容易并能得到解析解,所以本文中采用λ為常數(shù),λ為隨機過程的情形可參閱文獻[5-7].

由于Poisson過程在時段[s,t]發(fā)生k次跳的概率為

記τ為第一次跳發(fā)生的時刻,則公司[0,T]時段的違約概率為

1.1 利率r為常數(shù)時企業(yè)零息票債券定價

對可能違約的企業(yè)零息票債券,P(t,T)為其在t時刻的價格,假定其回收率為R∈[0,1].

(1)面值回收情形:回收在T時刻,原定在到期日T投資人可得1元的,一旦違約,則只能在到期日得到R元,其現(xiàn)值為

這里E(?)為數(shù)學期望.

如R=0,則

這等價于違約日拿相應的無風險零息票的R倍,即

(2)市價回收情形:投資人在違約日拿違約前有風險零息票價值的R倍,這時

式(6)中第二個等號成立是因為問題類似于面值回收中回收為零的情形.可把回收率R看成是概率,公司在[t,t+dt]以概率λ dt違約,其中又以概率R不造成損害,以概率1-R得到零回收,亦即相當于公司以(1-R)λ dt的概率破產(chǎn)并回收為零,所以,由式(4)可得結(jié)論.式(4)和式(6)是很有啟發(fā)性的,即在面值零回收和市價回收時,企業(yè)債券的處理與國債類似,只是由于信用風險的原因,其貼現(xiàn)率分別用r +λ和r+(1-R)λ代替以補償投資者.

1.2 利率是隨機時企業(yè)零息票債券定價

由于影響企業(yè)債券價格的主要因素是信用風險和利率的變化,因此通常應假定利率是隨機的.記P(r,t)和D(r,t)分別為有相同到期日的零息票企業(yè)債券和國債的價格,在風險中性鞅測度下,假定短期利率服從Vasicek模型[8]

式中:α,θ,σr為正常數(shù);Wt為標準布朗運動.構(gòu)造一個投資組合Π=P(r,t)-Δ D(r,t),Δ為國債的份數(shù).在[t,t+dt]時段,企業(yè)以概率1-λ dt不破產(chǎn),由Ito公式,組合的價值變化為

可得

如果采用市價回收,即Q=ε P,這里0≤ε≤1,則企業(yè)債券滿足

可得

從而

2 模型和求解

2.1 基本假設

(1)公司發(fā)行了零息票公司債券,到期日為 T,同時公司有權(quán)在到期日T決定是否以發(fā)行時的名義收益率把到期日延展到T1.

(2)公司的違約強度λ是常數(shù),違約時間記為τ.一旦公司發(fā)生違約,回收為違約前市價的ε份, 0≤ε≤1,即采用市價回收.

(3)公司是否延展債券的到期日由在到期日 T的市場情況決定,即公司再舉債的所需名義收益率高于初始的名義收益率時,公司將延展債券的到期日.

(4)市場利率滿足Vasicek模型,即

2.2 定價公式

記D(t,r)為與公司的債券有相同到期日的無風險零息票的價格,則其有仿射結(jié)構(gòu)解[8]

其中

由式(13)和(15)可知,如果公司在T時刻發(fā)行在T1時刻到期的零息票公司債券,則其價格為

其中

由于在到期日投資人可得1元,其平均收益率RT,T1(連續(xù)復利)滿足

從而

記τ=T-t,則方程可以改寫為

其中

下面,用基本解的方法[9-10]求解方程(20),即設G(τ,r;ξ)為下面方程的解:

這里δ(?)為δ函數(shù).則問題(20)的解可以表示為

下面先求解問題(21),基本思路是化為標準型.

首先做函數(shù)變換G(τ,r;ξ)=ue-β(τ)r,以消去函數(shù)項系數(shù)中的r,則函數(shù)u滿足下面的方程:

其中

再對問題(25)作函數(shù)變換u=Ve-ξ(τ)及自變量變換x=y+γ(τ),以消去函數(shù)和其一階導數(shù)項,則V (τ,y)滿足下面的問題:

,化為拋物型方程的基本形式為

由基本解的公式可得

將變換還原到原變量以及函數(shù)即得

其中β(τ),η,γ(τ)如前定義.故問題(20)的解為

由R滿足等式eRTP(0,r)=1,可得R為下面的超越方程的解:

因為P(0,r)包含R.利用數(shù)值方法可求出名義收益率.

上述方法可進一步考慮公司信用等級的變化對債券價格的影響,利用標普或穆迪的信用等級轉(zhuǎn)換概率矩陣可知在名義到期日時公司違約強度的改變的概率,只要在最后定價時取數(shù)學期望即可.

2.3 一些數(shù)值結(jié)果和分析

影響可展期企業(yè)債券名義收益率的因素有發(fā)行時的利率水平、到期日、可展期限、利率模型的參數(shù)、公司的違約概率和一旦違約時的回收率等,以下分析單個因素對可展期債券的收益率的影響.取參數(shù)α =0.379,r0=0.05,ε=0.4,σr=0.077,θ=0.098.

(1)在其他條件不變時,可展期債券的名義收益率比普通債券的收益率高以補償投資者.

由圖1可知,收益率差在可展期限固定時(3年),差額隨到期日變大而減少,原因是補償額分攤到了更長的時間段.其金融意義是顯然的,理論證明也不復雜,因為可展期和普通債券滿足的方程一樣,但終值是普通債券的大,由極值原理即得結(jié)果.

(2)公司違約時回收越低或違約可能越大,可展期債券的名義收益率越高,以補償投資人在可能的延展期內(nèi)承受的更高的信用風險,但隨著延展期變長,收益率曲線呈駝峰狀,這與從普通企業(yè)債所得到的結(jié)果類似,實證研究也發(fā)現(xiàn)該結(jié)果.圖2是在違約概率一定時,不同的回收率對債券收益率的影響.圖3是在回收率一定時,不同的違約概率對債券收益率的影響.而圖4是綜合違約概率和回收率,即違約損失對收益率的影響.

(3)發(fā)行時的利率水平越高,可展期債券的收益率也越高,且隨著可展期限的增加而增加,這是因為需給投資人的補償增加(圖5),但在可展期限一定時(3年),收益率并不一定隨著債券到期日的增大而增加,這是由于補償在更長期限的分攤和隨著到期日變大,利率變化中的均值回歸現(xiàn)象變得明顯(圖6).

圖1 名義到期日與收益率差的關(guān)系Fig.1 Relationship betwee n the nominal maturity and diffrence of return rate s

圖2 回收率和可展期期限對收益率影響Fig.2 Impact of re cove ry rate and e xte ndable maturity on the return rate

圖3 違約率和可展期期限對收益率影響Fig.3 Impact of default rate and extendable maturity on thereturn rate

圖4 回收率和違約率及可展期期限對收益率綜合影響Fig.4 T otal impact of recovery rate and default rate and e xte ndable maturity on the return rate

圖5 初始利率水平和可展期期限對收益率的影響Fig.5 Impact of initial inte rest rate and exte ndable maturity on thereturn rate

圖6 初始利率水平和首次到期日大小對收益率的影響Fig.6 Impact of initial inte rest rate and first maturity on thereturn rate

3 結(jié)論

從以上的討論可知,可展期企業(yè)債券實際是一張嵌入利率期權(quán)并有違約風險的合約,相應的期權(quán)金和信用風險補償體現(xiàn)在較高的回報率上.與一般的企業(yè)債券不同,其到期的名義回報(不違約時的回報)事先是不確定的,它依賴于將來的利率水平.補償水平與利率未來的波動、可延展的期限及公司的違約可能的大小等因素有關(guān).

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